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Indice

Introduzione                                               7

Parte prima - Dallo zero all'infinito


Capitolo I - I numeri interi e la numerazione             11

1 - Pitagora e i numeri naturali.
2 - Il problema della numerazione.
3 - Lo zero e la numerazione decimale.
4 - Il sistema binario e i computer.
5 - I numeri in cosmologia e in microfisica.

Capitolo II - Le operazioni aritmetiche                   24

1 - L'addizione e la sottrazione.
2 - La moltiplicazione e la divisione.
3 - Potenza, radice, logaritmo.
4 - Iperpotenza, iperradice, iperlogaritmo.
5 - I legami tra le operazioni dei vari ordini.

Capitolo III - La teoria dei numeri                       38

1 - Multipli, divisori, numeri primi.
2 - Alla ricerca dei numeri primi.
3 - I numeri perfetti e i numeri di Mersenne.
4 - L'ultimo teorema di Fermat.
5 - Problemi e sviluppi della teoria dei numeri.

Capitolo IV - I numeri negativi. razionali. irrazionali   52

1 - La sottrazione e i numeri negativi.
2 - La divisione ed i numeri razionali.
3 - Le frazioni ed i numeri decimali.
4 - Pitagora e i numeri irrazionali.
5 - Numeri computabili e non computabili.

Capitolo V - I paradossi dell'infinito                    66

1 - Il problema dell'infinito.
2 - La teoria degli insiemi di Cantor.
3 - Potenza di un insieme e numeri transfiniti.
4 - Russell ed i paradossi degli insiemi.
5 - I sistemi formali ed il teorema di Gödel.


Parte seconda - Dal reale all'immaginario


Capitolo VI - I numeri immaginari e complessi             81

1 - Radici quadrate, immaginari, trigonometria.
2 - Le operazioni con i numeri complessi.
3 - I numeri complessi e le funzioni trigonometriche.
4 - Esponenziali e logaritmi dei numeri complessi.
5 - Numeri complessi e frattali.

Capitolo VII - Le equazioni algebriche                    96

1 - Le equazioni algebriche di primo e secondo grado.
2 - Le equazioni algebriche di grado n.
3 - Le equazioni algebriche di terzo grado.
4 - Le equazioni algebriche di quarto grado.
5 - Equazioni binomie, biquadratiche e reciproche.

Capitolo VIII - Risolubilità delle equazioni             109

1 - Le equazioni di grado superiore al quarto.
2 - Le ricerche di Ruffini e di Abel.
3 - Galois e le equazioni algebriche.
4 - Le funzioni speciali e le equazioni algebriche.
5 - I numeri algebrici e i numeri trascendenti.

Capitolo IX - Le curve algebriche                        122

1 - I punti reali, immaginari e all'infinito.
2 - Punti semplici e multipli di una curva algebrica.
3 - Studio delle coniche (curve del 2° ordine).
4 - Studio delle cubiche (curve del 3° ordine).
5 - Studio delle quartiche (curve del 4° ordine).

Capitolo X - Gli immaginari e la fisica                  140

1 - Idrodinamica piana e numeri complessi.
2 - Relatività e tempo immaginario.
3 - La cosmologia e l'Universo ipersferico.
4 - I numeri complessi e la fisica quantistica.
5 - L'Universo olistico ipersferico.


 

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L'opera rivoluzionaria di Cantor ha portato a un approfondimento della problematica dell'infinito, e alla scoperta di tutta una serie di paradossi che rimettevano in discussione la teoria degli insiemi infiniti.

Per comprendere questi importanti sviluppi della matematica, occorre ricordare che il logico tedesco G. Frege, con la sua famosa opera in due volumi, Grundgesetze der Arithmetik, ha cercato di fondare l'Aritmetica su solide basi, utilizzando la teoria degli insiemi. Per esempio, Frege definiva il numero intero (n) come l'insieme di tutti gli insiemi con n elementi (4).

Il secondo volume della sua opera venne pubblicato nel 1903, e si chiude con questa confessione: "Non c'è nulla di più spiacevole per uno scienziato che il vedere crollare i fondamenti della sua opera, nel momento stesso in cui viene ultimata. Io sono stato messo in questa situazione da una lettera del sig. Bertrand Russell, ricevuta nel momento in cui il mio lavoro era sotto stampa".

Cosa era successo? Russell aveva comunicato a Frege il suo celebre paradosso, che rimetteva in discussione tutti i suoi ragionamenti. Secondo la definizione di Cantor è possibile definire "l'insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di se stessi". Russell poneva allora la domanda: "Tale insieme è membro di se stesso, oppure no?". Comunque rispondiamo a questo quesito, si arriva ad una contraddizione. Ci sono infatti due possibilità:

a) Se supponiamo che l'insieme R di Russell è membro di se stesso, questo contraddice alla sua definizione.

b) Se invece supponiamo che R non è membro di se stesso, se ne deduce che, pur soddisfacendo alla definizione, non vi appartiene.

Nasce allora un circolo vizioso da cui non si può uscire, derivante dal fatto che la definizione dell'insieme di Russell è contraddittoria (5). Una semplice versione della antinomia di Russell è la seguente: se definiamo il barbiere di un piccolo villaggio come "l'uomo che rade tutti e solo gli uomini che non si radono da sé", allora il barbiere si trova in una situazione assurda. Infatti, sia che si rada da sé e sia che non si rada da sé, contraddice alla sua definizione, come è facile verificare.

Lo sforzo per comprendere la natura di queste difficoltà è iniziato con le ricerche del grande matematico tedesco David Hilbert. Egli è tornato all'antichità greca per porre su nuove basi la matematica. Riprendendo il programma pitagorico di basare la matematica su una serie di postulati, enunciò dei postulati più precisi di quelli dei greci, e nel 1899 pubblicò la sua famosa opera sui fondamenti della geometria (6). Hilbert si propose di dimostrare che i postulati della geometria formano un sistema coerente, cioè privo di contraddizioni, e arrivò alla conclusione che tale dimostrazione equivale a far vedere che l'Aritmetica è coerente. Siamo così ricondotti al problema di comprendere cosa sono i numeri. Dedekind e Frege sono ricorsi all'infinito per spiegare i numeri: Dedekind definiva i numeri irrazionali con le classi infinite, mentre per Frege i numeri cardinali erano definiti come l'insieme di tutti gli insiemi con la stessa potenza. Anche Hilbert era convinto che per comprendere il finito bisognava ricorrere all'infinito.

Infine, secondo Brouwer, per gli insiemi infiniti non vale più la logica aristotelica: essa porta infatti a contraddizioni se viene applicata a tali insiemi, che non possono essere costruiti in modo preciso. Non c'è quindi alcun motivo per credere che la logica, valida per il finito, continui a valere per l'infinito. Il punto chiave della difficoltà sta nella teoria di Cantor dell'infinito reale. La sua definizione di insieme, secondo la quale tutte le cose che godono di una certa proprietà sono riunite per formare un insieme, non è accettabile perché non è costruttiva, o suppone una costruzione di cui nessun mortale è capace.

Hilbert però rifiutava la posizione costruttivistica di Brouwer, perché con questo metodo si rischia di rifiutare gran parte delle più preziose scoperte della matematica.

5 - I sistemi formali e il teorema di Gödel

Il progetto di Hilbert di fondare la matematica su solide basi logiche, fu demolito da un giovane matematico austriaco, Kurt Gödel, il quale dimostrò che qualunque sistema formale di assiomi e regole procedurali, contiene proposizioni indecidibili. Esse non sono né dimostrabili né confutabili con i mezzi consentiti dal sistema formale.

Se ci riferiamo all'Aritmetica, i matematici avevano cercato di costruire un sistema formale che fosse: (a) consistente, cioè tale che se dimostriamo una proprietà dei numeri, non è possibile dimostrare la sua negazione; (b) corretto, cioè ogni teorema è vero quando è applicato ai numeri naturali; (c) completo, cioè ogni verità sui numeri naturali, esprimibile nel simbolismo del sistema, è un teorema. Esiste infine una procedura di decisione (o algoritmo) con la quale ogni problema esprimibile nel sistema, può essere risolto con un numero finito di passi.

La costruzione di un sistema formale con queste proprietà avrebbe permesso ai matematici di risolvere i problemi teorici dell'Aritmetica. Inoltre sarebbe stato possibile costruire dei sistemi formali più potenti in grado di risolvere tutti i problemi della matematica. È stata una delle grandi conquiste della logica matematica l'aver dimostrato che questi progetti non sono realizzabili.

L'esposizione dettagliata del teorema di incompletezza di Gödel è difficile e complicata, ma lo spirito della dimostrazione può essere facilmente compreso. A tale scopo consideriamo il paradosso del mentitore formulato dagli antichi greci, e cioè il problema di decidere se la proposizione: questo enunciato è falso è vera oppure no. Comunque rispondiamo nasce una contraddizione, da cui segue che qualunque sistema formale in cui tale proposizione è esprimibile deve essere inconsistente.

Supponiamo ora che il potere espressivo di un certo sistema formale sia tale da potere esprimere invece di vero oppure falso, le due possibilità dimostrabile oppure indimostrabile. L'analogo del paradosso del mentitore sarebbe allora: questo enunciato non è dimostrabile. Si indichi con P questo enunciato, e allora l'esistenza di P non rende inconsistente il sistema, ma produce qualcosa di sconcertante. P infatti è vero se e solo se P non è dimostrabile!

Possiamo quindi concludere che se abbiamo un sistema formale abbastanza complesso da esprimere P, allora viene a cadere la semplice relazione tra verità e dimostrabilità, che si tende a raggiungere in un sistema formale (7).

Un secondo importante teorema è quello trovato da A. Church, il quale ha dimostrato che non c'è alcuna procedura di decisione in qualsiasi sistema formale dell'Aritmetica. Non esiste quindi nessun algoritmo che permetta di individuare la verità aritmetica. Ne segue che ci saranno sempre verità dell'Aritmetica per la cui dimostrazione non sono adeguati i metodi attuali, e che richiedono quindi la creazione di nuovi metodi. Questo significa che ci sono problemi della matematica destinati a rimanere insoluti.

Per concludere osserviamo che occorre fare una distinzione tra indecidibile e insolubile. Un enunciato è indecidibile in un dato sistema formale se né l'enunciato né la sua negazione sono dimostrabili entro il sistema. Però ciò che è indecidibile in un sistema può essere decidibile in un altro, e quindi tale nozione è relativa al sistema formale (8).

Invece, il concetto di insolubilità è assoluto: l'insolubilità significa infatti che non c'è nessuna tecnica di nessun tipo in grado di funzionare sempre in modo corretto, allo stesso modo con cui il prodotto di due numeri funziona sempre.

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Il problema della risolubilità delle equazioni algebriche venne chiarito nel modo più brillante dal giovane matematico francese Evariste Galois (1811-1832), applicando la teoria dei gruppi di sostituzioni. Infatti, le n! sostituzioni sulle n radici (x1, x2, ..., xn) formano un gruppo, il cui studio ci permette di stabilire la risolubilità per radicali dell'equazione.

Galois morì in un duello a soli 21 anni, e la notte prima di morire scrisse un riassunto delle sue idee e dei risultati ottenuti, e lasciò una lettera al suo amico A. Chevalier (29 maggio 1832). Dopo la morte di Galois, la famiglia consegnò il manoscritto a Chevalier, mentre la lettera venne pubblicata nel 1832 nella Révue enciclopedique (4).

Argomento principale del lavoro di Galois è quello di stabilire le condizioni di risolubilità per radicali delle equazioni algebriche. Egli pose le basi di una teoria generale, e la applicò dettagliatamente a tutte le equazioni il cui grado è un numero primo. Galois studiò questo difficile problema quando aveva solo 16 anni ed era ancora studente. In seguito presentò all'Accademia di Francia alcuni risultati delle sue ricerche, ma essi furono giudicati scritti in modo poco chiaro.

Nel 1870, quasi quarant'anni dopo la sua morte, il matematico Jordan scrisse un trattato sulla teoria di Galois. Il problema delle risoluzione delle equazioni algebriche, che in una prima fase sembrava costituire il solo oggetto della teoria delle equazioni, ci appare adesso come il primo anello di una lunga serie di problemi sulla trasformazione dei numeri irrazionali e la loro classificazione. Galois, applicando i suoi metodi generali a questo particolare problema, ha trovato facilmente le proprietà che caratterizzano le equazioni risolubili per radicali, ma nell'affrettata formulazione della sua teoria, aveva dimostrato in modo incompleto alcuni teoremi fondamentali (5).

Vi sono tre nozioni base nella teoria dei gruppi di sostituzioni, che hanno grande importanza nel problema della risolubilità delle equazioni algebriche: (a) La primitività del gruppo, già indicata nelle opere di Gauss e di Abel; (b) la transitività del gruppo, introdotta da Cauchy; (c) la distinzione tra i gruppi semplici e quelli composti, che è la più importante e che si deve a Galois.

Egli infatti dimostrò che perché un'equazione algebrica sia risolubile per radicali, è necessario e sufficiente che il gruppo di Galois associato all'equazione sia risolubile. Questo significa che esso è formato da una successione di sottogruppi, l'uno interno all'altro, aventi certe proprietà. Questa regola generale non semplifica la soluzione pratica di una equazione algebrica, ma consente di ritrovare facilmente tutti i precedenti teoremi, e dimostrare che l'equazione generale di grado superiore al quarto non è risolubile per radicali.

Alla fine del XIX secolo le idee di Galois erano ormai largamente diffuse, ed egli venne considerato tra i maggiori matematici del secolo, insieme a Gauss, Cauchy e Abel. L'edizione critica delle sue opere venne pubblicata a Parigi nel 1962 con il titolo: Écrits et mémoires mathématiques d'Evariste Galois (6).

4 - Le funzioni speciali e le equazioni algebriche

Di notevole importanza è stata l'opera del matematico italiano E. Betti (1823-1892) che ha studiato profondamente le opere di Abel e di Galois, e nel suo lavoro dal titolo: Sulla risoluzione delle equazioni algebriche (1853) ha sviluppato in modo rigoroso la teoria dei gruppi di sostituzioni (7).

Secondo il Beni i problemi più importanti dell'algebra sono due: (a) trovare la soluzione numerica di un'equazione algebrica, cioè calcolare in modo approssimato le sue soluzioni; (b) calcolare le radici dell'equazione a partire dai coefficienti, cioè trovare la sua soluzione analitica.

Mentre il primo problema puo essere risolto con vari metodi più o meno efficaci, il secondo problema è risolubile solo per le equazioni dei primi 4 gradi, oppure in casi particolari, se ci limitiamo ai radicali. Se invece introduciamo delle funzioni speciali, che generalizzano quelle trigonometriche, è possibile ottenere le soluzioni di grado superiore al quarto.

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Con la meccanica di Galilei-Newton è possibile prevedere il moto di un corpo nello spazio, una volta note le condizioni iniziali. Si arriva così alla sorprendente conclusione che il presente è determinato dal passato e determina il futuro, e quindi l'intera storia del cosmo è contenuta nel presente! La nostra libertà è quindi solo apparente, perché tutto è già stato fissato, e il cosmo viene ridotto a una meravigliosa macchina, in cui ogni particella si limita ad eseguire quanto è stato programmato all'inizio.

Inoltre, il paradigma newtoniano porta al riduzionismo nel senso che il comportamento di un corpo microscopico può essere ricondotto al moto degli atomi che lo costituiscono. Però, come ha osservato I. Prigogine (9), questa conclusione è in netto contrasto con la nostra esperienza : il mondo ci appare in continuo cambiamento ed evoluzione, il tempo che scorre ha un ruolo attivo, e la Natura risulta impegnata in uno sviluppo irreversibile, cioè secondo una freccia del tempo diretta dal passato al futuro.

Il tempo reversibile newtoniano deriva dal fatto che le leggi del moto sono invarianti per le inversioni del tempo. In effetti i fenomeni naturali sono irreversibili, perché se ad esempio rompiamo un vaso, esso non si può più ricomporre. Per superare la contraddizione tra le leggi elementari reversibili e i fenomeni macroscopici irreversibili, bisogna tener conto della termodinamica, in base alla quale si ha un aumento del disordine (entropia). Se applichiamo il secondo principio della termodinamica all'Universo nella sua totalità, si arriva alla drammatica conclusione che esso tende alla sua morte termica, in cui tutte le temperature sono livellate. Ne segue che l'Universo avrebbe avuto inizio da uno stato di estrema complessità, e tende verso la disgregazione e la morte.

Per lungo tempo è rimasto avvolto nel mistero il fatto che l'Universo, destinato irreversibilmente alla sua morte termica, tende in effetti ad aumentare la sua organizzazione e a passare a stati più complessi. Solo adesso si comincia a comprendere che esiste un profondo collegamento tra l'aumento dell'entropia e quello della organizzazione. Questo ci rivela che deve esistere una doppia freccia verso il disordine e verso l'ordine. P. Davies osserva che "mentre l'Universo gradualmente si evolve a partire dalla sua semplice struttura originaria, materia ed energia si rivelano continuamente seguendo vie alternative di sviluppo: la via passiva che conduce alla sostanza semplice, statica e inerte, correttamente descritta dai paradigmi newtoniano e termodinamico, e la via attiva che trascende questi paradigmi e conduce alla complessità e alla varietà, impredicibile e in evoluzione” (10).

Abbiamo così la migliore conferma della famosa teoria unitaria del mondo fisico e biologico, proposta da Fantappié nel 1942, in cui vengono introdotti i fenomeni sintropici accanto a quelli entropici, e cioè una doppia tendenza verso l'ordine e verso il disordine (11). L'importanza di questa teoria sta nel fatto che essa è una necessaria conseguenza della fisica relativistica e quantistica.

Per affrontare la problematica cosmologica occorre poi introdurre l' Universo ipersferico a tempo immaginario, che tradotto in termini fisici ci dà un Universo in espansione-collasso (n. 4).

Infine, se la realtà è una unità indivisibile che include l'Uomo, essa implica un fattore organizzante di natura psichica (12). In altri termini l'Universo materiale studiato dalla fisica non è la totalità dell'Universo, esso invece maschera, dimostra e lascia intravedere l'esistenza di un altro Universo, più primordiale, di natura psichica, di cui sarebbe in un certo modo un doppione parziale e passivo (13).

Per tener conto della parte psichica dell'Universo l'unica possibilità è quella di introdurre un Universo ipersferico complesso, in modo da tener conto del mondo psichico accanto a quello fisico.

Questo conferma l'importanza dei numeri complessi che si rivelano utili nella costruzione di una scienza olistica in cui esiste una profonda armonia tra le leggi del microcosmo e quelle del macrocosmo.

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