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Indice

    Prefazione alla seconda edizione inglese      9
    Prefazione alla prima edizione inglese       13
    Prefazione alla prima edizione russa         15
    Nota della redazione                         17

1   Singolarità, biforcazioni e catastrofi       21
2   La teoria di Whitney delle singolarità       23
3   Applicazioni della teoria di Whitney         27
4   Una macchina delle catastrofi                30
5   Biforcazioni di stati di equilibrio          34
6   Perdita di stabilità di stati di equilibrio  41
7   Singolarità ai confini dei domini di
    stabilità e il principio di fragilità
    delle cose migliori                          50
8   Caustiche, fronti d'onda e loro perestroike  52
9   Distribuzione su grande scala della materia
    nell'universo                                65
10  Singolarità in problemi di ottimizzazione    69
11  Singolarità dei confini di accessibilità     72
12  Superfici lisce e loro proiezioni            82
13  Il problema di evitare un ostacolo           88
14  Geometria simplettica e di contatto          92
15  Singolarità complesse                       100
16  Il misticismo della teoria delle catastrofi 112

    Appendice                                   117
    Bibliografia                                129
    Indice analitico                            141

 

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Pagina 9

Alla fine degli anni trenta la teoria delle singolarità aveva raggiunto un livello altamente sofisticato, grazie soprattutto a Whitney (1955), Thom (1959) e Mather (1965). Questa teoria si è rivelata un nuovo strumento molto potente che trova applicazioni in vari campi della scienza e dell'ingegneria, specialmente se combinata con la teoria delle biforcazioni, fondata da Poincaré (Thèse, 1879) e sviluppata da Andronov (1933).

Lo scopo di questo libro è spiegare come funziona questa teoria a un lettore senza una particolare preparazione matematica. Spero comunque che anche gli esperti possano trovare qualche fatto e qualche idea per loro nuova.

Alcuni considerano la teoria delle catastrofi una parte della teoria delle singolarità, mentre altri, al contrario, includono la teoria delle singolarità nella teoria delle catastrofi. Per evitare discussioni accademiche, considererò teorico delle catastrofi chiunque dichiari di lavorare sulla teoria delle catastrofi, lasciando così agli autori dei lavori discussi la scelta tra i termini «singolarità» «biforcazioni» o «catastrofi».

[...]

Io ho imparato la teoria delle singolarità durante una conversazione di quattro ore con B. Morin, dopo il suo ispirato intervento sulle singolarità di Whitney e Morin al seminario di Thom del 1965. Morin mi spiegò i teoremi fondamentali di Mather sulla stabilità, secondo quanto Mather stesso gli aveva comunicato di recente in una lettera (e più tardi, nello stesso giorno, trovai una dimostrazione diversa). Il lavoro non pubblicato di Mather del 1968 sulla corretta equivalenza mi era sfortunatamente (o fortunatamente) sconosciuto, e mi resi conto della relazione tra il lavoro di Tjurina del 1967 (pubblicato nel 1968), analogo a quello di Mather, e il mio articolo del 1972 «A, D, E» a lei dedicato, solo dopo che Milnor me lo fece notare.

Né nel 1965 né più tardi fui in grado di capire una parola dei discorsi di Thom sulle catastrofi. Una volta egli me le spiegò (in francese?) come «bla, bla, bla», dopo che, erano i primi anni settanta, gli chiesi se avesse dimostrato le sue affermazioni. Ancora oggi non so se gli enunciati di Thom sulla classificazione topologica delle biforcazioni nei sistemi dinamici dipendenti da quattro parametri siano veri (in una forma corretta, ossia per metriche e potenziali generici: un controesempio all'originale «teorema di Thom», come fu enunciato in «Topology» nel 1969, è stato trovato da Guckenheimer nel 1973, e anche il «magico numero 7», così sacro per i teorici delle catastrofi, deve essere aumentato affinché il teorema sia corretto).

Tantomeno mi sento in grado di discutere altre dichiarazioni di Thom più filosofiche o poetiche, formulate in modo tale da rendere impossibile decidere se siano vere o false (come nella scienza medievale prima di Descartes o di Bacone (o dei Baconi)). Fortunatamente le scoperte matematiche fondamentali del grande topologo non sono affette da alcuna filosofia irrazionale.

Come disse una volta Poincaré, i matematici non eliminano gli ostacoli in cui la loro scienza si imbatte, ma li spingono semplicemente ai confini di essa. Possano questi ostacoli particolari essere portati oltre i confini il più lontano possibile, fino a raggiungere il dominio dell'inconscio e dell'irrazionale.

V. I. ARNOL'D

Mosca, febbraio 1986

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Pagina 21

Nei primi anni settanta la teoria delle catastrofi diventò rapidamente una teoria alla moda ampiamente divulgata, che per le sue pretese di abbracciare tutto lo scibile, richiamava alla mente le teorie pseudo-scientifiche del secolo scorso.

Gli articoli del fondatore della teoria delle catastrofi, Rene Thom, vennero ristampati in un libro in edizione tascabile, cosa che in matematica non succedeva più dalla nascita della cibernetica, da cui la teoria delle catastrofi ha tratto molte delle sue tecniche propagandistiche.

Dopo l'eccessiva esaltazione per la teoria delle catastrofi, furono pubblicati lavori critici più sobri. Alcuni di questi apparvero anche in pubblicazioni destinate alla divulgazione con titoli eloquenti del tipo Il re nudo. Ora sono ormai molti gli articoli dedicati alla critica della teoria delle catastrofi. Si veda per esempio John Guckenheimer (1978), che fornisce una panoramica generale, e la parodia della critica alla teoria delle catastrofi del 1979.

Le origini della teoria delle catastrofi risiedono nella teoria di Whitney sulle singolarità delle applicazioni continue e differenziabili e nella teoria di Poincaré e Andronov sulle biforcazioni di sistemi dinamici.

La teoria delle singolarità è un'ampia generalizzazione dello studio delle funzioni nei punti di massimo e di minimo. Nella teoria di Whitney le funzioni sono sostituite dalle mappe, ossia da collezioni di più funzioni di molte variabili.

La parola biforcazione è usata in senso generale per designare ogni sorta di riorganizzazione o perestrojka di diverse entità, risultate da un cambiamento dei parametri da cui dipendono.

Le catastrofi sono bruschi mutamenti che avvengono come reazione improvvisa di un sistema sottoposto a una variazione regolare delle condizioni esterne. Per capire di che cosa si occupa la teoria delle catastrofi è necessario conoscere gli elementi della teoria delle singolarità di Whitney.

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