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Indice

Prefazione, IX


     Relatività


1.   Introduzione, 3

1.1. Le radici della relatività, 4
1.2. La meccanica newtoniana, 6
1.3. Il principio di relatività, 8
1.4. Le trasformazioni di Galilei, 11
1.5. Elettromagnetismo, 15
1.6. Complementi, 18
     1.6.1. La relatività pre-einsteiniana, 18
     1.6.2. Trasformazioni fra sistemi inerziali, 19
     1.6.3. La forma più generale delle trasformazioni di Galilei, 20
     1.6.4. Sistemi accelerati, 20
     1.6.5. Sistemi approssimativamente inerziali, 21
     1.6.6. Trasformazioni dei campi nel limite di basse velocità, 22
            Problemi, 23

2.   Le basi della relatività speciale, 27

2.1. Il principio di inerzia, 27
2.2. Sincronizzazione degli orologi, 28
2.3. I postulati della relatività speciale, 30
2.4. La velocità della luce, 32
2.5. Eventi, 34
2.6. Le trasformazioni di Lorentz, 37
2.7. La relatività della simultaneità, 44
2.8. Successione temporale degli eventi, 44
2.9. Classificazione degli intervalli, 45
2.10.I diagrammi di Minkowski, 47
2.11.Complementi, 52
     2.11.1. L'esperimento di Michelson e Morley, 52
     2.11.2. Sulla derivazione delle trasformazioni di Lorentz, 56
     2.11.3. Leggi di similitudine, 59
     2.11.4. Le trasformazioni di Carroll, 61
     2.11.5. Fisica e filosofia: la realtà del futuro, 62
             Problemi, 64

3.   Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz, 67

3.1. La contrazione delle lunghezze, 67
3.2. La dilatazione degli intervalli temporali, 70
3.3. Il tempo proprio, 73
3.4. La legge di trasformazione della velocità, 74
3.5. Proprietà gruppali dei boost, 78
3.6. L'aberrazione della luce stellare, 79
3.7. Effetto Doppler, 82
3.8. Complementi, 86
     3.8.1. Propagazione della luce in un mezzo in movimento, 86
     3.8.2. Dilatazione della vita media dei muoni cosmici, 87
     3.8.3. 11 paradosso degli orologi (o dei gemelli), 89
     3.8.4. Osservare e misurare:
            la contrazione delle lunghezze è visibile?, 94
     3.8.5. La precessione di Thomas, 96
     3.8.6. Verifiche della relatività speciale (I), 100
     3.8.7. Alternative alla teoria einsteiniana?, 103
            Problemi, 105

4.   La dinamica relativistica, 112

4.1. La legge fondamentale della dinamica, 112
4.2. Il momento, 114
4.3. Il momento angolare, 118
4.4. L'energia cinetica, 118
4.5. Energia totale ed energia di massa, 120
4.6. L'equivalenza di massa ed energia, 121
4.7. Massa di un sistema composto, 125
4.8. La relazione tra momento ed energia, 127
4.9. Particelle di massa nulla, 128
4.10.Trasformazioni di Lorentz del momento e dell'energia, 130
4.11.Trasformazione di Lorentz della forza, 133
4.12.La legge di azione e reazione, 135
4.13.Moto di una particella carica in un campo elettromagnetico, 136
     4.13.1. Campo elettrico costante e uniforme, 137
     4.13.2. Campo magnetico costante e uniforme, 140
4.14.Complementi, 144
     4.14.1. Il problema di Keplero in relatività speciale, 144
     4.14.2. La stringa rotante, 146
     4.14.3. Verifiche della relatività speciale (II), 149
     4.14.4. Relatività, meccanica quantistica e antiparticelle, 150
     4.14.5. I tachioni, 151
     4.14.6. Acceleratori di particelle, 153
     Problemi, 157

5.   Lo spazio-tempo, 161

5.1. Rotazioni nello spazio euclideo tridimensionale, 162
5.2. Vettori e tensori in R^3, 164
5.3. Covarianza delle leggi fisiche, 165
5.4. Lo spazio di Minkowski, 167
5.5. Le trasformazioni di Lorentz, 170
5.6. Classificazione delle trasformazioni di Lorentz omogenee, 173
5.7. Calcolo tensoriale nello spazio di Minkowski, 179
     5.7.1. Quadrivettori e quadritensori, 181
     5.7.2. Proprietà dei quadritensori, 184
     5.7.3. Combinazioni scalari, 185
     5.7.4. Quadritensori simmetrici e antisimmetrici, 186
     5.7.5. Pseudotensori e simbolo di Levi-Civita, 186
5.8. Derivazione e integrazione nello spazio di Minkowski, 188
5.9. Il gruppo di Lorentz, 193
5.10.L'algebra del gruppo di Lorentz ristretto, 196
5.11.Il gruppo di Poincaré, 202
5.12.Complementi, 205
     5.12.1. Basi in M, 205
     5.12.2. Omomorfismo tra SL(2,C) e il gruppo di Lorentz
             ristretto, 206
     5.12.3. Rappresentazioni spinoriali del gruppo di Lorentz
             ristretto, 208
     5.12.4. L'equazione di Dirac, 210
     5.12.5. Il gruppo di Galilei, 212
     Problemi, 213

6.   Formulazione covariante della dinamica, 215

6.1. La linea di universo, 215
6.2. La quadrivelocità e la quadriaccelerazione, 216
6.3. Il quadrimomento, 218
6.4. Il tensore del momento angolare, 219
6.5. Moto del centro di massa, 220
6.6. Le equazioni del moto in forma covariante, 221
     6.6.1. Particella libera, 221
     6.6.2. La quadriforza, 222
6.7. L'azione relativistica di una particella, 224
6.8. Meccanica analitica non covariante, 227
     6.8.1. Particella libera, 228
     6.8.2. Particella interagente, 229
     6.8.3. Simmetrie e leggi di conservazione, 229
6.9. Meccanica analitica covariante, 233
     6.9.1. Formalismo lagrangiano, 233
     6.9.2. Formalismo canonico e invarianza
            per riparametrizzazioni, 235
     6.9.3. Particella libera, 238
     6.9.4. Particella interagente, 240
     6.9.5. Leggi di conservazione, 241
6.10.Complementi, 242
     6.10.1. Lo spin, 242
     6.10.2. Lagrangiane alternative di particella libera, 245
     6.10.3. Sistemi di più particelle, 246
     Problemi, 249

7.   Applicazioni della meccanica relativistica, 251

7.1. I processi d'urto, 251
7.2. Descrizione generale degli urti, 253
7.3. Sistemi di riferimento, 255
7.4. Invarianti cinematici, 257
     7.4.1. Prodotti scalari dei quadrimomenti e massa invariante, 258
     7.4.2. Velocità relativa, 259
     7.4.3. Variabili di Mandelstam, 260
7.5. Descrizione degli urti a due corpi mediante le variabili
     di Mandelstam, 261
     7.5.1. Descrizione nel sistema del centro di massa, 261
     7.5.2. Descrizione nel sistema del laboratorio, 264
7.6. Urti elastici, 265
     7.6.1. Descrizione nel sistema del centro di massa, 265
     7.6.2. Descrizione nel sistema del laboratorio, 266
     7.6.3. Relazione tra KCM e Klab, 267
     7.6.4. Distribuzione di momento delle particelle, 268
7.7. La diffusione Compton, 270
7.8. Urti anelastici, 274
     7.8.1. Processi di formazione, 274
     7.8.2. Processi di produzione, 276
     7.8.3. Urti parzialmente inclusivi, 277
7.9. Annichilazione elettrone-positrone, 279
7.10.Decadimenti, 281
     7.10.1. Decadimenti in 2 corpi, 282
     7.10.2. Decadimenti in 3 corpi, 284
7.11.Reazioni nucleari, 285
7.12.Radioattività, 288
7.13.Complementi, 289
     7.13.1. Sezioni d'urto e spazio delle fasi, 289
     7.13.2. Urti elettrone-nucleone, 292
     7.13.3. Emissione e assorbimento di fotoni, 296
     7.13.4. Decadimento beta e massa del neutrino, 300
     7.13.5. La radiazione Cerenkov, 302
     Problemi, 304

8.   La teoria elettromagnetica, 308

8.1. Le equazioni di Maxwell, 308
8.2. Conservazione della carica elettrica, 309
8.3. Campi longitudinali e campi trasversi, 312
8.4. La forza di Lorentz, 313
8.5. I potenziali elettromagnetici, 314
8.6. Le trasformazioni di gauge, 315
     8.6.1. Gauge di Lorentz, 316
     8.6.2. Gauge di Coulomb, 317
     8.6.3. Gauge temporale, 319
     8.6.4. Gauge di radiazione, 319
8.7. Leggi di conservazione, 320
     8.7.1. Conservazione dell'energia, 320
     8.7.2. Conservazione lei momento, 322
     8.7.3. Conservazione del momento angolare, 325
8.8. Campo elettromagnetico libero, 327
8.9. Interazione di una particella carica con il campo
     elettromagnetico, 332
8.10.Complementi, 335
     8.10.1. Il problema di Cauchy per le equazioni di Maxwell, 33
     8.10.2. Le equazioni di Maxwell in un mezzo dispersivo
             e le relazioni di Kramers-Kronig, 338
     8.10.3. Causalità e velocità limite dei segnali, 342
     Problemi, 345

9.   Formulazione covariante dell'elettrodinamica, 349

9.1. L'azione dell'elettrodinamica e il quadripotenziale, 349
9.2. Il quadritensore del campo elettromagnetico, 351
9.3. La quadridensità di corrente, 352
9.4. Le equazioni di Maxwell in forma covariante, 354
9.5. Onde piane, 356
9.6. L'equazione di Minkowski-Lorentz in forma covariante, 361
9.7. Trasformazioni di Lorentz dei potenziali e dei campi, 362
9.8. Campi generati da una carica in moto uniforme, 364
9.9. Risoluzione delle equazioni di Maxwell, 367
     9.9.1. Funzioni di Green del d'Alembertiano, 370
     9.9.2. Soluzioni dell'equazione di d'Alembert omogenea, 375
     9.9.3. Soluzioni dell'equazione di D'Alembert non omogenea, 377
9.10.I potenziali di Liénard-Wiechert, 379
9.11.Irraggiamento di cariche in moto, 383
9.12.Reazione di radiazione, 386
9.13.Complementi, 390
     9.13.1. L'equazione di Bargmann-Michel-Telegdi, 390
     9.13.2. L'elettrodinamica come teoria di azione a distanza, 392
     9.13.3. La Lagrangiana di Darwin, 394
     Problemi, 396

10.   Teoria relativistica dei campi, 400

10.1. La corda vibrante, 401
10.2. La Lagrangiana e l'azione di un campo, 404
10.3. Formalismo canonico, 408
10.4. Simmetrie in teoria dei campi, 411
10.5. Invarianza per traslazioni spazio-temporali e
      tensore canonico, 416
10.6. Invarianza di Lorentz e correnti di Noether associate, 420
10.7. Simmetrizzazione del tensore canonico, 425
10.8. Campi scalari, 427
      10.8.1. Il campo di Klein-Gordon, 429
10.9. Invarianza di gauge globale, 432
10.10.La Lagrangiana del campo elettromagnetico, 433
10.11.Il tensore di energia-momento del campo elettromagnetico, 437
10.12.Il momento angolare del campo elettromagnetico, 439
10.13.Interazione di una particella col campo elettromagnetico, 441
10.14.Invarianza di gauge locale, 444
10.15.Invarianza di gauge non abeliana e teorie di Yang-Mills, 446
10.16.Complementi, 451
      10.16.1. Dilatazioni, 451
      10.16.2. Invarianza conforme, 453
      10.16.3. Lagrangiana elettromagnetica di Fermi e
               gauge di Lorentz, 453
      10.16.4. Limiti su una possibile violazione
               dell'invarianza di Lorentz, 454
      10.16.5. I fluidi perfetti relativistici, 457
      Problemi, 458

11.   Introduzione alla relatività generale, 463

11.1. Il principio di equivalenza, 464
11.2. Applicazioni del principio di equivalenza, 466
11.3. Relatività speciale e gravitazione, 470
11.4. Spazi curvi, 471
11.5. Lo spazio-tempo in relatività generale, 476
11.6. Trasporto parallelo e derivazione covariante, 478
11.7. L'equazione delle geodetiche, 481
11.8. Il tensore di curvatura, 484
11.9. Il campo gravitazionale, 486
11.10.Lo spostamento gravitazionale verso il rosso, 488
11.11.Le equazioni di Einstein, 490
11.12.La metrica di Schwarzschild, 491
11.13.La precessione del perielio, 494
11.14.La deflessione della luce, 496
11.15.Conclusioni, 498
11.16.Complementi, 499
      11.16.1. Il principio di Mach e l'origine delle forze
               inerziali, 499
      11.16.2. Le onde gravitazionali, 501
      11.16.3. L'azione di Hilbert-Einstein, 501
      11.16.4. Il «paradosso degli orologi» in relatività
               generale, 505
      11.16.5. I buchi neri, 507
      Problemi, 510

Appendici
      A. Calcolo vettoriale, 515
      B. Nozioni di teoria dei gruppi, 525
      C. Unità di misura naturali, 532
      D. La delta di Dirac, 534
      E. Elementi di meccanica analitica, 537

Bibliografia, 543
Indice analitico, 547

 

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Pagina XI

Quasi un secolo ci separa dal 1905, l'anno in cui un impiegato ventiseienne dell'Ufficio Brevetti di Berna, Albert Einstein, pubblicava sugli Annalen der Physik una serie di fondamentali articoli destinati a rivoluzionare la fisica. Uno di questi articoli, intitolato «Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento», poneva le basi della teoria della relatività, sconvolgendo le concezioni tradizionali dello spazio e del tempo. Alla relatività speciale (o ristretta), che era oggetto della memoria del 1905, fece seguito un decennio dopo – sempre ad opera di Einstein – la relatività generale, una nuova teoria della gravitazione che rifondava integralmente il rapporto tra fisica e geometria.

A cento anni dalla sua nascita, la relatività speciale è uno dei linguaggi e degli strumenti di lavoro abituali della fisica. È alla base della fisica nucleare e subnucleare, della fisica dei plasmi, dell'astrofisica, dell'ingegneria degli acceleratori, e in tutti questi ambiti le sue predizioni sono verificate quotidianamente. Quanto alla relatività generale, essa costituisce il fondamento della moderna cosmologia, ha importanti applicazioni in campo tecnologico (sistemi di posizionamento, ora esatta ecc.) ed è ampiamente corroborata da tutte le osservazioni finora effettuate, a cominciare dalle famose misure della deflessione della luce da parte del Sole compiute nel 1919 a Sobral e all'isola del Principe. Dal punto di vista culturale, poi, la relatività ha avuto sin dal suo apparire, e ha tuttora, una vastissima risonanza. L'intero sapere umano, dalla conoscenza comune alla riflessione filosofica, ne è stato inevitabilmente e profondamente influenzato.

Vista la posizione di rilievo che occupa nell'educazione e nella pratica corrente dei fisici, non stupisce che la relatività sia stata oggetto di decine di trattazioni di vario tipo. Questo libro, indirizzato agli studenti universitari di discipline fisiche e matematiche, si sforza di offrire una presentazione moderna e ragionevolmente completa della teoria einsteiniana. La relatività speciale vi è esposta a partire dai suoi fondamenti, fino allo sviluppo teorico più importante – la teoria classica dei campi. Alla relatività generale è dedicato l'ultimo capitolo. Le preferenze (e le lacune) dell'autore sono, ovviamente, ineludibili. Esse si manifestano in qualche omissione (ad esempio, la termodinamica relativistica) e nell'enfasi posta su altri argomenti (ad esempio, la meccanica analitica relativistica e le applicazioni alla fisica delle particelle).

Il libro è strutturato in tre parti.

La prima parte è costituita dai capitoli 1-4 (cui si possono aggiungere alcuni paragrafi del capitolo 7), nei quali vengono esposte, senza appesantimenti matematici, le basi della relatività ristretta (le trasformazioni di Lorentz, la cinematica e la dinamica relativistiche). Questa parte può essere affrontata sin dal primo anno di università e per il suo taglio pedagogico e l'attenzione rivolta agli aspetti concettuali, è indirizzata anche agli studenti delle scuole di specializzazione per l'insegnamento secondario.

La seconda parte comprende i capitoli 5-9, nei quali il lettore trova la teoria geometrica dello spazio-tempo e la formulazione covariante della meccanica relativistica e dell'elettromagnetismo. Questa parte può rientrare nei programmi di un corso del secondo anno. Il capitolo 7, che discute in dettaglio la cinematica degli urti e dei decadimenti, può anche rappresentare un utile riferimento per i corsi di fisica nucleare e subnucleare.

La terza parte è costituita dal capitolo 10, dedicato alla teoria dei campi, e dal capitolo 11, che introduce la relatività generale. Questa parte può essere oggetto di studi nel terzo anno universitario o in anni successivi.

Il testo comprende una serie di complementi che, non essendo necessari alla comprensione del resto del libro, possono essere omessi in prima lettura, o in un corso abbreviato. Il lettore è comunque invitato a non ignorarli, giacché contengono applicazioni, approfondimenti e sviluppi di un certo interesse. I vari capitoli si concludono con una scelta di problemi, i più difficili dei quali sono accompagnati da soluzioni e/o suggerimenti.

I prerequisiti per lo studio del testo si limitano alle nozioni elementari della meccanica newtoniana e dell'elettromagnetismo, e al calcolo differenziale e integrale. Altri strumenti matematici, quali il calcolo tensoriale e la teoria dei gruppi, sono introdotti e discussi là dove vengono utilizzati, o nelle appendici.

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Pagina 3

Introduzione

A grandi linee possiamo dire che la teoria della relatività si occupa del rapporto esistente fra le descrizioni dei fenomeni fisici compiute da osservatori diversi. Occorre precisare che esistono due teorie della relatività: la relatività speciale (o ristretta) e la relatività generale. La prima prende in considerazione una classe particolare di osservatori, gli osservatori inerziali; la seconda fa cadere questa limitazione ed estende lo studio a osservatori accelerati o soggetti a campi gravitazionali. La differenza fondamentale tra le due teorie riguarda la geometria dello spazio-tempo: lo spazio-tempo della relatività speciale è piatto, mentre quello della relatività generale è curvo.

In questo libro tratteremo prevalentemente la teoria speciale della relatività, riservando alla teoria generale l'ultimo capitolo. La relatività speciale introduce una nuova cinematica e una nuova dinamica, rispetto alle quali la cinematica e la dinamica newtoniane si pongono come casi limite. Il limite in questione è quello in cui le velocità dei corpi sono molto inferiori alla velocità della luce nel vuoto. Quando ciò si verifica, la meccanica newtoniana rappresenta un'ottima approssimazione della meccanica relativistica. Per questo motivo, nella stragrande maggioranza delle situazioni a noi familiari, che coinvolgono velocità basse rispetto a quella della luce, non si osserva alcuna deviazione dalle leggi di Newton. Queste leggi, però, risultano inadeguate a descrivere i fenomeni di alta energia: ad esempio, il moto delle particelle all'interno di un acceleratore. L'elevata velocità di queste particelle (elettroni, protoni ecc.), solo di poco inferiore a quella della luce, fa sì che gli effetti relativistici siano importanti e che le equazioni che governano il loro moto non siano quelle di Newton, ma quelle prescritte dalla teoria della relatività (le cosiddette equazioni di Minkowski-Einstein).

Già da queste considerazioni preliminari si intuisce come la velocità della luce nel vuoto, indicata tradizionalmente con c, svolga in relatività un ruolo cruciale. Essa infatti è presente in tutte le leggi relativistiche. La comparsa di un parametro elettromagnetico, quale è c, nelle equazioni della meccanica può risultare sorprendente. Questa, in effetti, è una delle grandi novità della teoria relativistica. Mentre la meccanica newtoniana, di per sé, non contiene alcuna costante fondamentale, se non quelle, come la costante di Newton G o la carica elementare e, che appaiono in qualche tipo specifico di interazione (gravitazionale, elettromagnetica ecc.), la meccanica relativistica incorpora una costante fondamentale, c, che compare sempre, indipendentemente da ogni particolare interazione. Questa costante ha il ruolo di velocità limite: nessun segnale e nessuna particella possono viaggiare a velocità superiori a c. Il fatto che esista una velocità limite e che essa coincida con la velocità della luce nel vuoto è uno degli aspetti più significativi della relatività.

1.1. Le radici della relatività

È opinione diffusa che la teoria della relatività sia nata per superare le difficoltà che l'ipotesi dell'etere incontrava nello spiegare i risultati di alcuni esperimenti di ottica condotti alla fine dell'Ottocento (in particolare gli esperimenti di Michelson e Morley del 1887 e degli anni seguenti). In realtà, le radici della relatività furono altre, e gli esperimenti volti a misurare il vento d'etere svolsero un ruolo secondario nella sua nascita. Come ebbe a ricordare lo stesso Einstein un anno prima di morire:

L'esito dell'esperimento di Michelson non ebbe una grande influenza sull'evoluzione delle mie idee [...] La spiegazione di ciò sta nel fatto che ero, per ragioni di caratttere generale, fermamente convinto che non esista il moto assoluto, e il mio unico problema era come ciò potesse conciliarsi con quello che sapevamo dell'elettrodinamica.

Non abbiamo motivo di dubitare della veridicità di questa ricostruzione, tanto più che la memoria originale del 1905 è, a questo proposito, alquanto esplicita. Einstein enuncia sin dall'inizio quello che considera il problema da risolvere, la difficoltà che la teoria relativistica è chiamata a superare. L'articolo Zur Elektrodynamik bewegter Körper («Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento») comincia infatti così:

È noto che l'elettrodinamica di Maxwell — così come essa è oggi comunemente intesa — conduce, nella sua applicazione a corpi in movimento, ad asimmetrie che non sembrano conformi ai fenomeni. Si pensi ad esempio alle interazioni elettrodinamiche tra un magnete e un conduttore. Laddove la concezione usuale contempla due casi nettamente distinti, a seconda di quale dei due corpi sia in movimento, il fenomeno osservabile dipende, in questo caso, solo dal moto relativo di magnete e conduttore. Infatti, se si muove il magnete e rimane stazionario il conduttore, si produce, nell'intorno del magnete, un campo elettrico con una ben determinata energia, il quale genera una corrente nei luoghi dove si trovano parti del conduttore. Se viceversa il magnete resta stazionario e si muove il conduttore, non nasce, nell'intorno del magnete, alcun campo elettrico; tuttavia si osserva, nel conduttore, una forza elettromotrice, alla quale non corrisponde, di per sé, un'energia, ma che - supponendo che il moto relativo sia lo stesso nei due casi - genera correnti elettriche della stessa intensità di quelle prodotte dalle forze elettriche nel caso precedente, e che hanno lo stesso percorso.

Ciò che Einstein si propone di fare è ristabilire una simmetria tra due descrizioni fisicamente equivalenti ma formalmente diverse dello stesso fenomeno (nella fattispecie, l'interazione tra un magnete e un filo conduttore). È quella che Abraham Pais ha chiamato la «radice estetica» della relatività.

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Pagina 27

Le basi della relatività speciale

In questo capitolo presenteremo i rudimenti della relatività speciale: i due postulati che sono alla base della teoria e le trasformazioni relativistiche fra sistemi di riferimento inerziali (le cosiddette trasformazioni di Lorentz, che prendono il posto delle trasformazioni di Galilei della meccanica newtoniana).

Il linguaggio matematico che utilizzeremo sarà, per il momento, quello del calcolo nello spazio euclideo tridimensionale, in linea con l'articolo originale di Einstein. Il lettore deve però sapere che la teoria relativistica può essere pienamente apprezzata solo adottando un formalismo matematico più sofisticato, il calcolo tensoriale nello spazio-tempo a 3 + 1 dimensioni. Questo approccio verrà adottato a partire dal capitolo 5.

2.1. Il principio di inerzia

Nella teoria speciale della relatività, così come nella meccanica newtoniana, i sistemi inerziali occupano un posto particolare. Il principio di relatività ristretta, infatti, riguarda esclusivamente sistemi di riferimento di questo tipo.

Cominciamo col ricordare alcune nozioni generali. Per sistema di riferimento intendiamo una terna di assi cartesiani dotata di orologi identici e sincronizzati posti in ogni punto dello spazio (fig. 2.1). Un sistema di riferimento in cui tutti i corpi liberi, cioè non soggetti a interazioni, sono a riposo oppure in moto rettilineo uniforme è detto inerziale.

Il principio di inerzia, che è a fondamento sia della meccanica newtoniana che della relatività speciale, postula l'esistenza dei sistemi di riferimento inerziali. Esso afferma che è sempre possibile, almeno in linea teorica, trovare un sistema di riferimento (attrezzato con orologi che mantengono un'unità di tempo costante) tale che un osservatore solidale con esso veda i corpi liberi muoversi a velocità costante (nel concreto, tuttavia, occorre accontentarsi di sistemi di riferimento approssimativamente inerziali quali la Terra, il Sole ecc.). Si tratta, per così dire, di un principio di semplicità: di un principio, cioè, che garantisce che le leggi della fisica possano scriversi in maniera «semplice». Il moto di un corpo, osservato in un sistema non inerziale, appare infatti estremamente più complicato, a causa della presenza di forze fittizie (vedi § 1.6.4).

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Lo spazio-tempo

«Lo spazio in sé e il tempo in sé sono destinati a svanire come pure ombre, poiché solo un genere di unione tra i due conserverà una realtà indipendente». Quando Hermann Minkowski presentò al Convegno dei naturalisti tedeschi questo punto di vista «radicale» – come egli stesso lo definì – erano passati appena tre anni dalla pubblicazione della memoria di Einstein sulla relatività ristretta. Molti di più ne sarebbero trascorsi prima che i fisici di tutto il mondo si convincessero definitivamente della validità della teoria einsteiniana. Minkowski aveva già compreso le profonde implicazioni della relatività; in particolare, la rivoluzione che essa segnava nella concezione fisica dello spazio e del tempo. Non più di spazio e di tempo come entità separate si sarebbe dovuto parlare, bensì di qualcosa che unisce in maniera inscindibile lo spazio e il tempo. Il trattino che separa spazio e tempo nel titolo di questo capitolo indica dunque non un binomio ma un'unità; a rigore, esso dovrebbe essere eliminato e i due termini andrebbero fusi in un'unica parola, «spaziotempo».

La formulazione geometrica della relatività, che Minkowski abbozzò ma non ebbe il tempo di sviluppare pienamente a causa della morte prematura avvenuta nel 1909, permette di riottenere in maniera naturale ed elegante – a costo di qualche piccolo appesantimento matematico che si digerisce facilmente – i risultati che abbiamo già derivato, di generalizzarli e di tradurre il principio di relatività in una condizione di invarianza facile da applicare anche a teorie più complicate della meccanica delle particelle, ad esempio alla teoria dei campi. Studiando questa formulazione, ci renderemo conto che il calcolo vettoriale (o, più generalmente, tensoriale) nello spazio euclideo R^3, su cui è basata la fisica newtoniana, non è il più adatto a descrivere i fenomeni relativistici. Sarà necessario costruire un nuovo calcolo, il calcolo tensoriale nello spazio-tempo (3+1)-dimensionale.

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Teoria relativistica dei campi

Nella visione classica, il mondo fisico è fatto di due tipi di entità: le particelle e i campi. La materia è costituita da particelle, mentre le interazioni (gravitazionale ed elettromagnetica – le due interazioni coinvolte nei processi classici) sono descritte da campi.

Le particelle, che ci sono familiari dallo studio della meccanica elementare, sono oggetti localizzati, la cui dinamica è governata dalle ben note equazioni del moto: le equazioni di Newton nel caso non relativistico, le equazioni di Minkowski nel caso relativistico. Un sistema di N particelle è rappresentato, nella meccanica non relativistica, dalle leggi orarie

    z1(t), z2(t), ..., zN(t),                       [10.1]

e, nella meccanica relativistica, dalle linee di universo

    z1^µ(s), z2^µ(s), ..., zN^µ(s),                 [10.1]

I campi, invece, sono enti fisici delocalizzati su una regione finita o infinita dello spazio. Come le particelle, essi possiedono energia, impulso e momento angolare. Due esempi ben noti sono il campo elettrico e il campo magnetico

    E(x,t),   B(x,t)                                [10.3]

Il dualismo ontologico particelle-campi è evidente nella scrittura dell'azione di una particella carica in un campo elettromagnetico [9.6], dove il termine di interazione è un termine ibrido che accoppia due oggetti sostanzialmente differenti: la linea di universo della particella z^µ(s) e il potenziale elettromagnetico A^µ(x).

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Introduzione alla relatività generale

La teoria speciale della relatività ha due limitazioni: innanzi tutto, privilegia una classe particolare di sistemi di riferimento, quelli inerziali (ai quali soltanto si applica il principio di relatività ristretta); in secondo luogo, non descrive i fenomeni gravitazionali. Viene naturale pensare a un'estensione della teoria che, da un lato, non discrimini tra osservatori inerziali e osservatori accelerati, dall'altro, incorpori la gravitazione. Ci vollero circa dieci anni, dal 1905 al 1916, perché Einstein portasse a compimento questo programma, elaborando la teoria generale della relatività.

Le due limitazioni della relatività speciale di cui si è detto sono in realtà collegate: non è possibile, infatti, descrivere gli effetti della gravità senza prendere in considerazione dei sistemi di riferimento non inerziali. Uno dei punti di partenza della teoria generale è proprio la relazione tra inerzia e gravitazione, in particolare l'uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale, che fa sì che tutti i corpi cadano con la stessa accelerazione. Come fa notare Einstein, questa uguaglianza – confermata da esperimenti di grande precisione – è, nella fisica newtoniana, un dato di fatto, privo di giustificazione teorica. La relatività generale si propone invece di spiegare l'equivalenza di inerzia e gravitazione, unificando i due concetti.

L'altro elemento fondamentale alla base della teoria del 1916 è una nuova concezione del rapporto tra geometria e fisica, che supera l'idea tradizionale dello spazio-tempo come qualcosa di separato da ogni contenuto fisico. Secondo Einstein, è impensabile che lo spazio agisca sugli oggetti (come fa lo spatium absolutum di Newton) senza che gli oggetti, a loro volta, agiscano sullo spazio. Ne consegue che lo spazio-tempo deve avere una dinamica, descritta da un campo – il tensore metrico gµv(x) – che interagisce con le distribuzioni di materia e di energia. La gravità si manifesta allora geometricamente come curvatura dello spazio-tempo.

Uguaglianza di massa inerziale e massa gravitazionale, equivalenza tra osservatori accelerati e osservatori soggetti a campi gravitazionali, metrica come campo fisico, gravità come curvatura dello spazio-tempo: questi, a grandi linee, gli ingredienti della teoria generale della relatività. Ancora una volta emerge il genio unificante di Einstein: la teoria generale dello spazio-tempo e la teoria della gravitazione sono la stessa teoria.

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