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Indice

Prefazione alla quarta edizione americana xi
Nota sugli Autori xv
Prefazione alla terza edizione italiana xvii
Nota biografica del curatore xxi
Elenco dei principali simboli usati xxiii

1  INTRODUZIONE - CONCETTO DI TENSIONE                     2

1.1  Introduzione                                          2
1.2  Breve riepilogo dei metodi della statica              2
1.3  Tensioni negli elementi di una struttura              5
1.4  Analisi e progetto                                    6
1.5  Carico assiale; tensione normale                      7
1.6  La tensione tangenziale                               9
1.7  Tensioni derivanti da connessioni meccaniche         11
1.8  Applicazione all'analisi ed al progetto
     di strutture semplici                                12
1.9  Come affrontare e risolvere i problemi               14
1.10 Precisione numerica                                  15
1.11 Tensione su un piano obliquo dovuta a un carico
     assiale                                              18
1.12 Tensioni in condizioni generali di carico;
     componenti di tensione                               19
1.13 Considerazioni per la progettazione                  22
Riepilogo del Capitolo 1                                  28
Esercizi                                                  31

2  TENSIONE E DEFORMAZIONE - CARICO ASSIALE               41

2.1  Introduzione                                         41
2.2  Deformazione lineare sotto carico assiale            42
2.3  Diagramma tensione-deformazione                      43
2.4  Tensione effettiva e deformazione effettiva          48
2.5  Legge di Hooke; modulo di elasticità;
     isotropia e anisotropia                              49
2.6  Comportamento elastico e comportamento plastico      50
2.7  Carichi ripetuti; fatica                             52
2.8  Deformazione di elementi soggetti a carico assiale   54
2.9  Problemi staticamente indeterminati                  58
2.10 Problemi che coinvolgono variazioni di temperatura   62
2.11 Il coefficiente di Poisson                           67
2.12 Carico pluriassiale; legge di Hooke generalizzata    68
2.13 Dilatazione; il modulo di volume                     70
2.14 Deformazioni angolari (o trasversali)                72
2.15 Ancora sulle deformazioni sotto carico assiale;
     relazione tra E, ν, e G                              75
2.16 Distribuzione delle tensioni e deformazioni sotto
     carico assiale; principio di Saint-Venant            79
2.17 Concentrazioni di tensione                           81
2.18 Deformazioni plastiche                               83
Riepilogo del Capitolo 2                                  88
Esercizi                                                  94

3  LA TORSIONE                                           112

3.1  Introduzione                                        112
3.2  Discussione preliminare sulle tensioni in un albero 114
3.3  Deformazioni in un albero circolare                 116
3.4  Tensioni in campo elastico                          119
3.5  Angolo di torsione in campo elastico                125
3.6  Alberi staticamente indeterminati                   128
3.7  Progetto di alberi di trasmissione                  133
3.8  Concentrazioni di tensione in alberi circolari      135
3.9  Torsione di elementi non circolari                  137
3.10 Alberi cavi con parete sottile                      140
Riepilogo del Capitolo 3                                 144
Esercizi                                                 147

4  FLESSIONE SEMPLICE                                    165

4.1  Introduzione                                        165
4.2  Elemento simmetrico in flessione semplice           167
4.3  Deformazioni in un elemento simmetrico
     in flessione semplice                               169
4.4  Tensioni e deformazioni in campo elastico           172
4.5  Deformazioni in una sezione trasversale             176
4.6  Flessione di travi composte di più materiali        180
4.7  Concentrazioni di tensione                          184
4.8  Carico assiale eccentrico in un piano di simmetria  188
4.9  Flessione non simmetrica                            192
4.10 Caso generale di carico assiale eccentrico          198
4.11 Flessione di elementi curvi                         202
Riepilogo del Capitolo 4                                 209
Esercizi                                                 212

5  ANALISI E PROGETTO DI TRAVI INFLESSE                  232

5.1  Introduzione                                        232
5.2  Diagrammi del taglio e del momento flettente        235
5.3  Relazioni tra carico, taglio e momento flettente    240
5.4  Progettazione di travi prismatiche per la flessione 246
5.5  Travi non prismatiche                               251
Riepilogo del Capitolo 5                                 253
Esercizi                                                 256

6  TENSIONI TANGENZIALI IN TRAVI E IN ELEMENTI
   CON PARETE SOTTILE                                    272

6.1  Introduzione                                        272
6.2  Forza tangenziale sulla faccia orizzontale
     di un elemento di trave                             274
6.3  Determinazione delle tensioni tangenziali
     in una trave                                        276
6.4  Tensioni tangenziali τxy, in travi di tipo comune   277
6.5  Forza tangenziale longitudinale in una trave
     di forma arbitraria                                 281
6.6  Tensioni tangenziali in elementi di parete sottile  283
6.7  Carico non simmetrico di elementi con parete sottile;
     centro di taglio                                    287
Riepilogo del Capitolo 6                                 291
Esercizi                                                 294

7  TRASFORMAZIONI DI TENSIONI E DEFORMAZIONI             305

7.1  Introduzione                                        305
7.2  Trasformazione di tensioni piane                    307
7.3  Tensioni principali; tensione tangenziale massima   309
7.4  Circonferenza di Mohr per la tensione piana         314
7.5  Stato tensionale generico                           321
7.6  Applicazione della circonferenza di Mohr per
     l'analisi della tensione tridimensionale            322
7.7  Criteri di snervamento per materiali duttili
     soggetti a tensione piana                           325
7.8  Criteri di frattura per materiali fragili soggetti
     a tensione piana                                    327
7.9  Tensioni in contenitori a pressione di parete
     sottile                                             331
7.10 Trasformazione di deformazioni piane                335
7.11 Circonferenza di Mohr per la deformazione piana     338
Riepilogo del Capitolo 7                                 341
Esercizi                                                 346

8  DEFORMAZIONI DELLE TRAVI                              360

8.1  Introduzione                                        360
8.2  Deformazione di una trave caricata trasversalmente  361
8.3  Equazione della linea elastica                      362
8.4  Determinazione diretta della linea elastica
     dalla distribuzione del carico                      367
8.5  Travi staticamente indeterminate                    369
8.6  Metodo di sovrapposizione                           374
8.7  Applicazione del metodo di sovrapposizione a travi
     staticamente indeterminate                          375
Riepilogo del Capitolo 8                                 380
Esercizi                                                 384

9  PILASTRI E COLONNE                                    393

9.1  Introduzione                                        393
9.2  Stabilità delle strutture                           393
9.3  Formula di Eulero per pilastri incernierati
     alle estremità                                      396
9.4  Estensione della formula di Eulero a pilastri
     con altre condizioni alle estremità                 400
9.5  Progetto di pilastri soggetti a un carico centrato  405
9.6  Progetto di pilastri sotto un carico eccentrico     414
Riepilogo del Capitolo 9                                 419
Esercizi                                                 421

10  METODI ENERGETICI                                    434

10.1 Introduzione                                        434
10.2 Energia di deformazione                             434
10.3 Densità di energia di deformazione                  436
10.4 Energia di deformazione elastica per tensioni
     normali                                             438
10.5 Energia di deformazione elastica per tensioni
     tangenziali                                         441
10.6 Energia di deformazione per uno stato generale
     di tensione                                         444
10.7 Carico impulsivo (impatto)                          449
10.8 Progetto per carichi impulsivi                      451
10.9 Lavoro ed energia sotto un singolo carico           452
10.10 Spostamento sotto un carico singolo con il metodo
      energetico                                         454
10.11 Lavoro ed energia sotto più carichi                459
Riepilogo del Capitolo 10                                461
Esercizi                                                 465

11  IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI E LE SUE APPLICAZIONI
    (di Giuliano Augusti e Paolo Maria Mariano)          478

11.1 Introduzione                                        478
11.2 Il Principio dei Lavori Virtuali per atti
     di moto rigido                                      479
11.3 Il Principio dei Lavori Virtuali per atti
     di moto deformativo                                 485
11.4 Il PLV nella ricerca di spostamenti in travi
     elastiche caricate trasversalmente                  487
11.5 Il PLV nell'analisi di strutture elastiche
     staticamente indeterminate                          490
11.6 Il PLV nella ricerca di spostamenti in strutture
     elastiche staticamente indeterminate                494
Riepilogo del Capitolo 11                                495
Esercizi                                                 496

APPENDICI                                                501

A    Geometria delle aree                                502
B    Proprietà caratteristiche di alcuni materiali
     utilizzati in ingegneria                            514
C    Proprietà dei profili laminati in acciaio           516
D    Spostamenti e rotazioni nelle travi                 522

Fonti delle illustrazioni                                523
Soluzioni degli esercizi                                 525
Indice analitico                                         533

 

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Pagina xi

OBIETTIVI

L'obiettivo principale di un corso di base di meccanica deve essere quello di sviluppare nello studente di ingegneria l'abilità ad analizzare un dato problema in una maniera semplice e logica, ed applicare alla sua soluzione un certo numero di regole fondamentali e ben comprese. Questo testo è pensato per il primo corso in meccanica dei materiali – ovvero "Resistenza dei materiali" ovvero "Meccanica dei solidi" ovvero "Scienza delle Costruzioni", a seconda del paese e della lingua - che praticamente in tutto il mondo viene proposto agli studenti di ingegneria del secondo o terzo anno. Gli autori sperano che questo testo possa aiutare i docenti a realizzare l'obiettivo in questo specifico corso nello stesso modo in cui i loro precedenti testi possono averli aiutati in statica e dinamica.

APPROCCIO GENERALE

In questo testo lo studio della meccanica dei materiali si basa sulla comprensione di pochi concetti di base e sull'uso di modelli semplificati. Questo approccio rende possibile sviluppare tutte le formule necessarie in una maniera logica e razionale ed indicare chiaramente le condizioni sotto le quali concetti e modelli possono essere applicati in sicurezza per l'analisi ed il progetto di reali strutture ingegneristiche e componenti di macchina.

Largo uso degli schemi di corpo libero Per determinare le forze esterne ed interne, in tutto il testo sono largamente usati gli schemi di corpo libero. L'uso delle "equazioni illustrate" aiuterà gli studenti anche a capire la sovrapposizione dei carichi e le tensioni e deformazioni risultanti.

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Pagina xvii

La precedente edizione italiana del testo di Mechanics of Materials di Ferdinand Beer, Russell Johnston e John DeWolf fu pubblicata mentre in tutte le Facoltà di Ingegneria italiane era in pieno sviluppo l'introduzione della riforma didattica universitaria e l'istituzione dei corsi di laurea triennali e specialistici: una riforma che era stata suggerita dalla necessità di rinnovare e moltiplicare l'offerta didattica, ma in gran parte anche — nel bene e nel male — dall'opportunità di adeguarci a modelli internazionali nella organizzazione dei titoli di studio.

Quella edizione ha quindi permesso ai docenti che l'hanno adottata, o almeno suggerita come lettura ai loro studenti, di verificare direttamente su di uno dei testi "classici" della didattica americana, consultato e adottato da vari decenni in molte primarie Università americane (e — in traduzione — di tutto il mondo), il tipico modo anglosassone di porgere la materia: si presuppone la conoscenza di pochissime nozioni e procedimenti matematici e si sviluppano in modo elementare i concetti della disciplina, partendo dai casi più semplici e via via arrivando a quelli più complicati. Gli sviluppi sono corredati da esempi di applicazione che in questo testo — come in tutti i trattati "classici" — sono decine e decine, tra "esempi", "esercizi svolti" ed esercizi da svolgere (di gran parte dei quali le soluzioni sono fornite in calce al volume). Così facendo si permette uno studio graduale, che conduce a un punto in cui le conoscenze dello studente sono mature per essere immediatamente applicate a casi concreti della pratica ingegneristica.

E questa "applicabilità" delle nozioni acquisite è accentuata e facilitata dal fatto che, a differenza dei testi tradizionali di Scienza delle Costruzioni, gli esercizi non si riferiscono a schemi astratti, ma (come è sottolineato anche dai disegni che illustrano gli esercizi, molto più "realistici" degli usuali) a esempi concreti e ben definiti, i quali molto spesso si richiamano a problemi reali della ingegneria e in particolare di quel settore che — ormai da più di un decennio — è definito in Italia come Ingegneria industriale.

Anche per questo motivo per l'edizione italiana si è scelto come titolo Meccanica dei Solidi, cioè il nuovo nome della disciplina che in vari corsi di laurea ha sostituito la tradizionale "Scienza delle Costruzioni", una denomonazione tipicamente (ed esclusivamente) italiana, che - a parte le indubbie glorie "storiche" e la sua validità come "settore disciplinare" – risulta nell'accezione comune ancora troppo legata alle Costruzioni Civili (mentre più correttamente dovrebbe intendersi altrettanto la base delle Costruzioni di Macchine, Costruzioni Aeronautiche, Costruzioni Ferroviarie ecc.).

Nel frattempo il testo del Beer è giunto alla quarta edizione americana, che si è ritenuto opportuno fare immediatamente seguire da una nuova edizione italiana.

Facendo tesoro dell'esperienza maturata, e in particolare della necessità di rendere più agile il volume, in questa edizione sono stati soppressi alcuni paragrafi che nel testo originale sono definiti "opzionali" dagli Autori (e che contengono materiale normalmente non utilizzato nei corsi di Scienza delle Costruzioni), e si è anche ridotto il numero degli esercizi, non tralasciando peraltro di introdurne di nuovi dall'ultima edizione americana. I materiali soppressi nell'attuale edizione italiana sono però stati collocati sul sito web dedicato al libro www.ateneoonline.it/beer. Sul sito web sono disponibili con accesso protetto, per gli studenti che acquistano il libro, le seguenti risorse:

• Test interattivi a risposta multipla suddivisi per capitolo di pertinenza

• Esercizi aggiuntivi, con relative soluzioni per la maggior parte dei problemi proposti

• Materiali di approfondimento: in particolare, alcuni paragrafi di livello più avanzato e il capitolo "Tensioni principali sotto un dato carico", che nella precedente edizione italiana costituiva il Capitolo 8.

Gli studenti potranno collegarsi al sito tramite il codice segreto impresso sulla cartolina allegata al libro.

Per i docenti che adottano il testo, invece, sono disponibili anche le seguenti risorse:

• Figure del libro

• Lucidi in lingua inglese

È stato invece aggiunto nella nuova edizione italiana un nuovo capitolo, il Capitolo 11, dedicato al Principio dei Lavori Virtuali, assente nell'edizione originale e scritto ex novo dal Curatore insieme al Prof. Paolo M. Mariano.

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Pagina 1

L'obiettivo principale dello studio della meccanica dei solidi è di fornire al futuro ingegnere i mezzi per analizzare e progettare macchine e strutture portanti.

L'analisi e la progettazione di una data struttura richiedono la determinazione delle tensioni e delle deformazioni. Questo primo capitolo è dedicato al concetto di tensione.

Il Paragrafo 1.2 è dedicato ad un breve rassegna dei metodi fondamentali della statica e alla loro applicazione per la determinazione delle forze negli elementi di una semplice struttura formata da elementi connessi da perni o incernierati. Il Paragrafo 1.3 vi introdurrà al concetto di tensione in un elemento di una struttura e vi sarà mostrato come quella tensione può venire determinata dalla forza nell'elemento. Dopo una breve discussione sull'analisi e la progettazione in ingegneria (Paragrafo 1.4), considererete successivamente le tensioni normali in un elemento caricato assialmente (Paragrafo 1.5), le tensioni taglianti o tangenziali dovute all'applicazione di forze trasversali uguali e contrarie (Paragrafo 1.6) e le tensioni portanti causate da bulloni e perni negli elementi da loro connessi (Paragrafo 1.7). Questi concetti saranno utilizzati nel Paragrafo 1.8 per determinare le tensioni negli elementi della semplice struttura già considerata nel Paragrafo 1.2.

La prima parte del capitolo si conclude con una descrizione del metodo che dovete utilizzare per la risoluzione di un problema assegnato (Paragrafo 1.9) e con una discussione sulla più opportuna precisione numerica da introdurre nei calcoli ingegneristici (Paragrafo 1.10).

Nel Paragrafo 1.11, dove nuovamente viene preso in esame il caso di un elemento caricato da due forze assiali, si noterà che le tensioni su un piano obliquo comprendono sia una tensione normale che una tensione tangenziale, mentre nel Paragrafo 1.12 imparerete che per descrivere lo stato tensionale in un punto di un corpo nelle condizioni di carico più generali sono necessarie e sufficienti sei componenti di tensione.

Infine, il Paragrafo 1.13 sarà dedicato alla determinazione della resistenza a rottura di un dato materiale mediante prove su campioni, ed all'uso di un coefficiente di sicurezza per calcolare il carico ammissibile per un elemento strutturale di tale materiale.

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Gli elementi strutturali ed i componenti di macchine fabbricati con materiale duttile sono solitamente progettati in modo tale che, sotto le condizioni di carico previste, il materiale non si snervi. Quando l'elemento o componente è sottoposto a tensione uniassiale (Figura 7.38), il valore della tensione normale σx corrispondente allo snervamento del materiale può essere ottenuto direttamente da una prova di trazione su un provino dello stesso materiale, dato che il provino e l'elemento strutturale o componente di macchina sono nello stesso stato di tensione. Così, indipendentemente dal reale meccanismo che causa lo snervamento del materiale, possiamo affermare che l'elemento o il componente saranno sicuri fino a che σx < σY dove σY è la tensione di snervamento del provino.

Quando invece un elemento strutturale o componente di macchina è in uno stato di tensione piana (Figura 7.39a), è conveniente utilizzare uno dei metodi sviluppati precedentemente per determinare le tensioni principali σa e σb in un generico punto dato (Figura 7.39b). Dobbiamo considerare che il materiale, in quel punto, è in una condizione di tensione biassiale: dato che questo stato è differente da quello di tensione uniassiale riscontrato in un provino soggetto ad una prova di trazione, non è chiaramente possibile dedurre direttamente da una tale prova se l'elemento strutturale o componente di macchina che stiamo studiando collasserà o meno. Devono prima essere stabiliti alcuni criteri riguardo al reale meccanismo di collasso, che renderanno possibile confrontare gli effetti dei due differenti stati di tensione del materiale. Questo paragrafo si propone di presentare i due criteri di snervamento più frequentemente usati per materiali duttili.

Criterio della massima tensione tangenziale. Questo criterio è basato sull'osservazione che lo snervamento nei materiali duttili è causato da slittamenti del materiale su superfici oblique ed è dovuto principalmente alle tensioni tangenziali (Paragrafo 2.3). Secondo questo criterio, un dato elemento strutturale è sicuro fino a che il massimo valore τmax della tensione tangenziale resta più piccolo del corrispondente valore della tensione tangenziale all'inizio dello snervamento in un provino dello stesso materiale sottoposto a trazione.

Ricordando dal Paragrafo 1.11 che il massimo valore della tensione tangenziale sotto un carico assiale centrato è uguale alla metà del valore della corrispondente tensione normale assiale, concludiamo che la massima tensione tangenziale, in un provino sottoposto a trazione nel momento in cui inizia lo snervamento, è σY/2. Dall'altra parte, abbiamo visto nel Paragrafo 7.6 che per la tensione piana, il massimo valore τmax della tensione tangenziale è uguale a |σmax|/2 se le tensioni principali sono entrambe positive o negative, ed a |σmax - σmin|/2 se la tensione massima è positiva e la tensione minima è negativa. Così, se le tensioni principali σa e σb hanno lo stesso segno, il criterio della massima tensione tangenziale stabilisce che

Se le tensioni principali σa e σb hanno segni opposti, il criterio della massima tensione tangenziale diventa

Le relazioni ottenute sono state rappresentate graficamente in Figura 7.40. Ogni dato stato di tensione piano sarà rappresentato in questa figura da un punto di coordinate σa e σb dove σa e σb sono le due tensioni principali. Se questo punto cade nell'area mostrata in figura (che può definirsi dominio di resistenza), il componente strutturale è sicuro. Se cade fuori da quest'area, il componente collasserà a seguito dello snervamento del materiale. L'esagono associato con l'inizio dello snervamento nel materiale è conosciuto come esagono di Tresca, dal nome dell'ingegnere francese Henri Edouard Tresca (1814-1885).

Criterio della massima energia di distorsione. Questo criterio è basato sulla determinazione dell'energia di distorsione in un dato materiale, cioè, dell'energia associata con i cambiamenti di forma del materiale (da non confondere con l'energia associata ai cambiamenti di volume nello stesso materiale). In accordo con questo criterio, conosciuto anche come criterio di Mises dal nome del matematico applicato tedesco-americano Richard von Mises (1883-1953), un dato componente strutturale è sicuro fino a che il massimo valore dell'energia di distorsione per unità di volume in quel materiale rimane minore rispetto all'energia di distorsione per unità di volume necessaria per causare lo snervamento in un provino sottoposto a trazione dello stesso materiale.

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