TecaLibri: Richard Brown: Matematica in 30 secondi

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INTRODUZIONE

Richard Brown

Si dice che la matematica sia l'arte del ragionamento puro. Rappresenta, in effetti, la struttura logica alla base di tutto ciò che esiste, così come di tutto ciò che non esiste. Tutt'altro che riducibile ai semplici calcoli che ci permettono di far quadrare i conti o determinare gli esiti dei nostri affari, la matematica ci aiuta a comprendere la natura profonda di tutto ciò che possiamo immaginare. Come per la musica, l'arte e il linguaggio, i simboli e i concetti fondamentali della matematica, molti dei quali sono definiti e spiegati in questo libro, ci permettono di esprimerci in modi articolati e di definire strutture incredibilmente complesse e meravigliose.

Se da un lato i suoi impieghi pratici sono numerosi, a rendere la matematica così magica sono la sua eleganza e bellezza al di là di qualsiasi applicazione concreta. Siamo in grado di dare significato ai concetti matematici solo perché hanno senso logico e ci aiutano a mettere ordine nella nostra esistenza. Ma indipendentemente dal significato che attribuiamo a questi elementi, essi non esistono realmente se non nella nostra immaginazione.

Le scienze naturali e sociali fanno uso della matematica per descrivere le loro teorie e fornire una struttura ai loro modelli, mentre l'aritmetica e l'algebra ci permettono di condurre le nostre attività e di imparare a ragionare. Ma la vera natura della disciplina si trova al di là di queste applicazioni pratiche: la matematica rappresenta l'impianto e fornisce le regole del gioco per l'intero sistema del ragionamento strutturato.

Questo testo getta uno sguardo sul mondo di tutti i giorni come lo vede un matematico. Vi si possono trovare alcuni degli elementi a oggi più importanti e fondamentali di questo campo, insieme a definizioni, richiami storici e approfondimenti sulla natura di molti concetti matematici. Il libro contiene 50 brevi saggi, ciascuno incentrato su un argomento essenziale della matematica. I testi sono suddivisi in sette capitoli che contribuiscono a definirne il contesto.

In Numeri e numerazione si esplorano gli elementi di base che ci consentono di enumerare tutto ciò che ci circonda. I numeri all'opera è incentrato su alcune delle operazioni e strutture numeriche. Questi saggi descrivono di fatto il sistema aritmetico che ci aiuta a utilizzare la matematica nella vita di tutti i giorni. La sorte è una gran bella cosa esplora in dettaglio alcune idee e conseguenze relative all'uso della matematica per comprendere le dinamiche degli eventi casuali. In Algebra e astrazione vengono esposte strutture numeriche più profonde e complesse. È qui che inizia il cammino verso la matematica superiore. A seguire si analizzano gli aspetti più visivi delle relazioni matematiche in Geometria e forme. Poiché l'astrazione matematica è pura immaginazione, Oltre le due dimensioni si sofferma su ciò che accade al di fuori delle usuali tre dimensioni. Infine, in Dimostrazioni e teoremi, vengono discussi alcuni tra i più raffinati concetti alla fine di questo viaggio nella matematica.

Ogni saggio rappresenta di per sé un rapido scorcio su una delle idee più importanti della matematica odierna. Tutti gli argomenti sono presentati con la stessa impostazione, allo scopo di facilitarne la lettura: la sintesi "in 3 secondi" offre una panoramica sintetica, il testo "matematica in 30 secondi" sviluppa l'argomento, mentre l'"approfondimento" introduce alla valutazione delle relazioni più profonde fra il concetto esposto e le sue implicazioni nel mondo reale. Ci auguriamo che questi elementi, nella loro interezza, vi aiuteranno a raggiungere una migliore comprensione delle fondamenta di ciò che è veramente la matematica.

Se utilizzato come testo di consultazione, questo libro fornirà le basi di alcuni tra i concetti più significativi della matematica. Se letto integralmente, fornirà uno scorcio su un altro mondo altrettanto ricco di significati quanto quello in cui viviamo: il mondo della matematica.

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NUMERI PRIMI

___IN 3 SECONDI___

Un numero primo è un intero positivo divisibile solo per 1 e per se stesso. I numeri primi non possono essere "scomposti" e rappresentano per gli interi quello che gli elementi chimici sono per la materia.

___MATEMATICA IN 30 SECONDI___

La maggior parte dei numeri interi si può ridurre in fattori più piccoli. Ad esempio 100 = 4 X 25 o 100 = 20 X 5. Se prendiamo una qualunque delle due e scomponiamo i suoi fattori in altri più piccoli giungiamo alla scomposizione in fattori primi: 100 = 2 X 2 X 5 X 5. Non è possibile scomporre ulteriormente i fattori primi, che sono divisibili solo per 1 e per se stessi. Quando i matematici iniziarono a elencare i numeri primi, cercarono uno schema nella loro successione senza trovarlo. Si chiesero anche se l'elenco fosse finito o se fosse possibile trovare numeri primi sempre più grandi. Euclide fornì nei suoi Elementi una dimostrazione elegante del fatto che esistono infiniti numeri primi. L'intero 17.463.991.229 è un numero primo molto grande. Come facciamo a sapere che è primo? Potremmo dividerlo per tutti gli interi più piccoli, per stabilire infine che non esistono suoi fattori diversi da 1 e pertanto dichiararlo primo. Questo metodo è però molto lento e ne esistono di migliori. I numeri primi più grandi conosciuti hanno oltre 10.000.000 di cifre e servono perciò metodi intelligenti per individuarli. La ricerca di numeri primi molto grandi può sembrare insignificante, ma un'idea rivoluzionaria negli anni '70 consentì lo sviluppo di una tecnica per rendere indecifrabili le comunicazioni criptate mediante un sistema che richiede la generazione di numeri primi molto grandi. Questa tecnica è utilizzata ovunque su Internet e ci permette di effettuare acquisti online in tutta sicurezza.

___APPROFONDIMENTO___

Quando consideriamo la scomposizione in fattori primi dei numeri, sembra evidente che alla fine del procedimento otterremo sempre gli stessi numeri primi. Più si studiano i numeri, però, meno questa considerazione diventa ovvia. Eppure essa è vera ed è così importante che porta il nome di teorema fondamentale dell'aritmetica.

Nonostante non esistano formule per individuare tutti i numeri primi, il teorema ci dà un'idea di quale sia la quantità relativa di numeri primi all'interno degli interi.

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ZERO

___IN 3 SECONDI___

Zero, il cui simbolo è 0, rappresenta l'assenza di quantità.

___MATEMATICA IN 30 SECONDI___

Lo zero veniva utilizzato come simbolo marcaposto nei sistemi numerici di diverse antiche popolazioni, compresi i Babilonesi, i Greci (ma solo dagli astronomi!) e i Maya. Era impiegato in questo modo anche in India, dove ha avuto origine il nostro moderno sistema numerico. Nel 628 d.C. Brahmagupta scrisse il primo libro che trattava lo zero come un numero a tutti gli effetti invece che come semplice marcaposto, fornendo le regole per l'uso aritmetico dello zero e dei numeri negativi. AI-Khwarizmi introdusse il sistema numerico indiano nel mondo islamico nel 820. Fibonacci lo introdusse a sua volta in Europa nel 1202 con il suo Liber abaci, diffondendo nel nostro continente l'uso dello zero. Lo zero è l'unico numero reale che non sia né positivo né negativo. Qualunque numero diverso da zero viene chiamato "non nullo". Zero è l'elemento neutro additivo, ovvero a + 0 = a, dove a è un qualunque numero reale: sommandolo a zero rimane invariato. Inoltre a x 0 = 0 e 0 / a = O per a non nullo. Nonostante si possa pensare che un numero reale diviso per zero dia infinito, non esiste una rigorosa definizione di questo fatto; pertanto i matematici affermano semplicemente che la divisione per zero è indefinita. Essendo divisibile per 2, 0 è un numero pari. Se invece l'esponente è 0 il risultato è sempre 1, ovvero a^0 = 1 per qualunque numero reale a diverso da 0. Alcuni matematici preferiscono contare partendo da 0 invece che da 1.

___APPROFONDIMENTO___

Nella logica booleana 0 indica "falso" e nei dispositivi elettrici è la notazione abbreviata di spento. In fisica, lo zero assoluto è la temperatura minima teorica.

"Sottozero" viene usato per riferirsi a grandezze e numeri negativi. "Azzerare" un dispositivo significa regolarlo sul valore zero.

E con l'espressione "uno zero" ci si riferisce spesso a una persona o cosa insignificante (e a torto, se si considera la grande importanza e l'estrema versatilità di questo numero reale!

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INSIEMI E GRUPPI

___IN 3 SECONDI___

Qualsiasi raggruppamento di oggetti costituisce un insieme matematico.

Un gruppo si ottiene combinando gli elementi di un insieme per ottenere altri elementi dell'insieme.

___MATEMATICA IN 30 SECONDI___

Raggruppare e classificare oggetti è parte fondamentale della matematica. Raggruppamenti di oggetti (insiemi di elementi) permettono di definire le proprietà comuni degli enti studiati. Costruire l'unione di due insiemi (fonderli in un nuovo insieme prendendo ciascuno dei loro elementi) o la loro intersezione (considerare solo gli elementi che sono comuni a entrambi) aiuta a raffinare le loro proprietà. Come per i numeri, si possono combinare gli elementi di un insieme in modo da ottenere altri elementi dello stesso insieme. Un gruppo è un insieme con alcune proprietà speciali: (1) due elementi qualsiasi dell'insieme possono essere combinati tramite un'operazione (l'addizione, per esempio) il cui risultato è ancora un elemento dell'insieme; (2) esiste un elemento speciale dell'insieme, chiamato "elemento neutro", la cui proprietà è tale che qualsiasi altro elemento combinato con esso resta invariato (per esempio 0 è l'elemento neutro per l'addizione, poiché sommandolo a qualsiasi altro intero il valore di quest'ultimo non cambia); (3) per ciascun elemento del gruppo ne esiste un altro chiamato il suo inverso. Qualunque elemento combinato con il suo inverso dà come risultato l'elemento neutro. Si pensi all'insieme di tutti gli interi con l'addizione come operazione e 0 come elemento neutro e se ne avrà un'idea: 5 + -5 = 0.

___APPROFONDIMENTO___

Nonostante finora abbiamo pensato ai numeri come oggetto del nostro studio, le cose possono farsi più interessanti se si introducono come tali altri tipi di elementi. Ad esempio, il famoso circolo delle quinte della teoria musicale è l'insieme delle 12 scale maggiori. Gli si può anche conferire la struttura di un gruppo matematico, chiamato "gruppo ciclico".

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Pagina 120

ANELLO DI MÖBIUS

___IN 3 SECONDI___

L'anello di carta con una sola faccia di August Möbius conduce verso un mondo di forme esotiche.

___MATEMATICA IN 30 SECONDI___

Si prenda un foglio di carta rettangolare. Incollandone due lati opposti si ottiene un anello cilindrico di carta. Ma se prima di unirne le estremità, si effettua sul rettangolo una torsione di mezzo giro si ottiene qualcosa di molto più interessante: un anello di Möbius. L'aspetto interessante di questo semplice anello di carta è che possiede una sola faccia e un unico bordo! Se si inizia a tracciare una linea lungo il centro del nastro questa attraverserà sia la faccia "interna" sia quella "esterna" prima di ricongiungersi con se stessa, dal momento che le due facce sona in realtà una sola.

Ci si potrebbe chiedere cosa accadrebbe se si tagliasse lungo quella linea centrale. È interessante il fatto che tagliando l'anello in due non si ottengono due nuovi anelli, ma solo uno. Provare per credere! Gli anelli di August Möbius hanno affascinato adulti e bambini fin da quando questi li scoprì nel 1858. Ma per i matematici la loro importanza risiede nelle ulteriori forme che possono generare.

Prendendo due anelli di Möbius e incollandoli insieme lungo il loro bordo si ottiene una superficie conosciuta come "bottiglia di Klein" (l'unico problema è che risulta impossibile costruirla nello spazio tridimensionale senza che la superficie della bottiglia compenetri se stessa).

___APPROFONDIMENTO___

Si prenda una sfera, si pratichino in essa due buchi e si uniscano tra loro fino a ricavare un cilindro vuoto all'interno della sfera. Si otterrà così un toro (una figura a forma di ciambella). Si prenda un'altra sfera, si pratichi in essa un solo buco e si cucia lungo il bordo un anello di Möbius (sfortunatamente questo è impossibile da realizzare nello spazio tridimensionale). È un fatto fondamentale della topologia che tutte le superfici possono essere prodotte da una sfera mediante ripetizioni di questi processi, ovvero praticare buchi e cucire cilindri e anelli di Möbius.

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GEOMETRIA DELL'ORIGAMI

___IN 3 SECONDI___

La geometria dell'origami è la matematica alla base dell'arte di piegare un foglio di carta, solitamente quadrato, per creare una forma più complessa.

___MATEMATICA IN 30 SECONDI___

L'origami, la secolare arte giapponese della piegatura della carta, è intrinsecamente geometrica. In anni recenti numerosi progressi sono stati ottenuti grazie alla matematica dell'origami. Huzita, Justin e Hatori hanno formulato un gruppo di assiomi per l'origami, in modo simile a quelli formulati per la geometria. Inoltre, sempre in epoca recente, sono stati dimostrati teoremi matematici nell'ambito di problemi teorici riguardo all'origami. Da Lang e altri sono stati sviluppati algoritmi che aiutano a trovare soluzioni ottimali per la piegatura di figure complesse, oltre a programmi per computer in grado di utilizzarli. Usando questi programmi si possono produrre modelli con piegature che indicano le pieghe necessarie a creare una forma desiderata.

Mentre tradizionalmente l'origami si è concentrato sulla creazione di forme figurative come animali e fiori, le forme geometriche sono l'obiettivo primario di alcune tecniche moderne di origami. Nelle tassellazioni origami viene usata una griglia di piegature come punto di partenza per la creazione di figure geometriche spesso basate sulla ripetizione. Shuzo Fujimoto è largamente accreditato come l'iniziatore di questa branca dell'origami. Nell'origami modulare vengono combinati moduli geometrici multipli, ciascuno realizzato da un unico foglio di carta, per formare modelli più complessi.

___APPROFONDIMENTO___

La matematica degli origami è stata utilizzata per affrontare diversi problemi ingegneristici del mondo reale. Un pannello solare piegato con tecniche derivate dall'origami è stato utilizzato su un satellite giapponese.

Le tecniche origami sono state impiegate per determinare il modo ottimale di piegare gli airbag che si aprono in caso di incidente stradale.

Uno stent ispirato all'origami è stato sviluppato per allargare vene e arterie otturate.

Inoltre, è stata progettata una sottile lente di plastica pieghevole da utilizzare nei telescopi spaziali.

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CUBO DI RUBIK

___IN 3 SECONDI___

Il Cubo di Rubik è un rompicapo meccanico di permutazione che si risolve disponendo i pezzi in modo che ciascuna faccia di un cubo 3 x 3 abbia un solo colore.

___MATEMATICA IN 30 SECONDI___

Il Cubo di Rubik fu inventato dall'ungherese Ernö Rubik nel 1974 e venduto nel suo paese a partire dal 1977. Nel 1980 la Ideal Toy Company iniziò a distribuirlo in tutto il mondo e a oggi ne sono stati venduti più di 300 milioni. Un meccanismo di giunzione a perno permette a ciascuna delle sei facce del Cubo di essere ruotate indipendentemente tra loro.

Esistono più di 43 miliardi di miliardi (10^18) di configurazioni possibili (permutazioni) dei 26 pezzi. La soluzione del Cubo è facilitata dalla memorizzazione di algoritmi in grado di ottenere un risultato desiderato, come scambiare la posizione di tre vertici senza provocare altri effetti. Una notazione delle mosse ideata da David Singmaster permette di dare forma scritta agli algoritmi. Singmaster ha sviluppato anche una delle più conosciute soluzioni generali del Cubo. Per i matematici questo non è altro che la manifestazione fisica di un un gruppo algebrico. Da questo punto di vista le analisi del Cubo dimostrano che può essere risolto da una qualsiasi posizione iniziale in non più di 20 mosse. Una dimostrazione matematica di questo risultato è stata ottenuta solo nel 2010. L'attuale record mondiale di soluzione del Cubo, almeno a metà del 2011, è detenuto da Feliks Zemdegs con meno di sette secondi. Le variazioni alla "gara di velocità" comprendono la soluzione del Cubo con gli occhi bendati, utilizzando una sola mano e perfino usando solo i piedi.

___APPROFONDIMENTO___

Oltre al Cubo di Rubik originale 3x3, sono stati prodotti anche Cubi 2x2, 4x4, 5x5, 6x6 e 7x7. Il numero di permutazioni per il Cubo 7x7 è oltre 10^160 (1 seguito da 160 zeri!). Altre versioni cuboidi comprendono i modelli 2x2x3, 3x3x2 e 3x3x4.

Sono state realizzate anche versioni basate sugli altri quattro solidi platonici, il tetraedro, l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro.

Altre versioni a tre dimensioni comprendono il cubottaedro rombico, il tetraedro troncato, l'ottaedro troncato e il cubottaedro stellato.

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TEORIA DEI NODI

___IN 3 SECONDI___

Si tagli un anello di corda, si eseguano alcuni intrecci e si ricompongano poi gli estremi. Come possiamo determinare se due oggetti qualsiasi creati in questo modo sono in realtà uguali?

Questo rompicapo ha affascinato gli scienziati per oltre un secolo.

___MATEMATICA IN 30 SECONDI___

Come ben sanno tutti i marinai e gli scout, esistono molte tipologie di nodi. Questi si differenziano in base al numero di volte che i capi si incrociano e la corda si attorciglia su se stessa. Nella teoria dei nodi il problema centrale è se due nodi che appaiono differenti lo sono davvero. Due nodi vengono considerati uguali se la forma di uno può essere modificata fino ad assumere quella dell'altro senza tagliare né incollare la corda. Il nodo più semplice di tutti è chiamato "nodo banale": un semplice anello non annodato. Ma perfino questo presenta una difficoltà fondamentale: è facile fare in modo che il nodo banale sembri inestricabilmente annodato (come può assicurare chiunque sia andato a pesca).

Nel 1984 Si ebbe una vera svolta con la scoperta del polinomio di Jones, che assegna un'espressione algebrica a ciascun nodo. Ogni nodo ne ha una e se due nodi hanno differente polinomio di Jones non possono essere uguali. Questo metodo funziona bene per distinguere, ad esempio, un nodo dalla sua immagine speculare, problema che in precedenza era considerato di difficile soluzione. A ogni modo, non è ancora nota alcuna tecnica in grado di rilevare se due nodi qualsiasi siano uguali (alcuni nodi palesemente differenti hanno lo stesso polinomio di Jones) o perfino se un qualsiasi nodo dato sia effettivamente annodato!

___APPROFONDIMENTO___

La matematica della teoria dei nodi è molto importante nel vasto mondo della scienza.

Per esempio, i filamenti di DNA nelle nostre cellule vengono continuamente annodati e disannodati da un esercito di enzimi. Se il DNA si annoda troppo le cellule solitamente muoiono. I biochimici, se vogliono capire che cosa fanno esattamente gli enzimi, devono analizzare matematicamente i nodi da loro prodotti.

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PROBLEMA DEI QUATTRO COLORI

___IN 3 SECONDI___

Per colorare una carta geografica in modo che due paesi adiacenti non abbiano mai lo stesso colore ne bastano quattro; perché non c'è bisogno di un quinto colore?

___MATEMATICA IN 30 SECONDI___

Avete disegnato una carta del mondo e desiderate renderla esteticamente più gradevole colorandone i paesi. Decidete che due paesi confinanti qualsiasi non possono avere lo stesso colore. Francia, Belgio, Germania e Lussemburgo richiederanno tutti un colore diverso, dal momento che ciascuno di questi quattro paesi confina con gli altri tre. Dunque avrete bisogno di almeno quattro colori diversi. Sarete costretti a un certo punto a utilizzarne un quinto? Il teorema dei quattro colori afferma che non ce n'è bisogno. Non importa quanto vasta o complicata sia la carta che desiderate colorare: finché ciascun paese è una regione compatta, risulta possibile eseguire il compito con soli quattro colori. A dispetto del suo semplice enunciato, il teorema dei quattro colori è estremamente difficile da dimostrare. Fu solo nel 1976, cento anni dopo la prima enunciazione del teorema, che i matematici americani Kenneth Appel e Wolfgang Haken trovarono una dimostrazione. Mentre quattro colori sono sufficienti per colorare le carte su una sfera o un piano, questo non è più vero per le carte su altri tipi di superficie. Un cartografo che volesse colorare un toro avrebbero bisogno di non meno di sette colori, mentre su un anello di Möbius ne servirebbero sei.

___APPROFONDIMENTO___

Quello dei quattro colori è il primo teorema di un certo rilievo dimostrato avvalendosi dell'aiuto di un computer. Appel e Haken si ritrovarono coinvolti in una controversia matematica per aver ridotto l'insieme di tutte le possibili carte geografiche alle proprietà di alcune specifiche migliaia di carte, in modo da rendere il problema risolubile mediante il computer.

L'utilizzo di questa nascente tecnologia accese un dibattito, tuttora attuale, sull'opportunità che una dimostrazione ottenuta con l'ausilio del computer venga accettata come valida dimostrazione matematica.

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Indice

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