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Indice

Prefazione                                          IX
Abbreviazioni                                     XIII
Nota sui grafici Datastream                         XV

 1  Concetti di base                                 1

    1.1  Legge della capitalizzazione semplice       6
    1.2  Legge della capitalizzazione composta       9
    1.3  Legge della capitalizzazione continua      13
    1.4  Legge dello sconto commerciale             14
    1.5  Le convenzioni sul conteggio dei giorni    15
    1.6  I tassi (finanziariamente) equivalenti     16
    1.7  I tassi (temporalmente) convertibili       20

 2  I titoli obbligazionari                         23

    2.1  Tipologie di titoli obbligazionari         25
    2.2  Il rendimento di un titolo obbligazionario 30
    2.3  Cedola netta, rateo di cedola,
         corso secco e corso tel quel               34
    2.4  Il Tasso Interno di Rendimento             37
    2.5  Ammortamento di un prestito,
         valore attuale di una rendita              49
    2.6  Accumulazione di un capitale,
         montante di una rendita                    55
    2.7  Quote capitale, quote interessi e
         tipologie di ammortamento                  61
    2.8  Usufrutto e nuda proprietà                 69
    2.9  Estinzione anticipata di un prestito       70
    2.10 La formula ufficiale per il TAEG           72

 3  La struttura per scadenza dei tassi d'interesse 77

    3.1  L'ipotesi di non arbitraggio               82
    3.2  La struttura per scadenza e il TIR
         delle obbligazioni                         91
    3.3  La duration                                99
    3.4  Qual è il titolo più conveniente?         106
    3.5  Tassi lordi e tassi netti                 107
    3.6  Tassi nominali e tassi reali              113
    3.7  Tassi spot e tassi forward                114
    3.8  Teorie della struttura per scadenza       131
    3.9  La stima della struttura per scadenza     136
    3.10 Importanza micro e macroeconomica
         della struttura per scadenza              147
    3.11 I movimenti della struttura per scadenza  149

4 Misura e gestione del rischio di tasso           153

    4.1  Il rischio di tasso per i titoli
         senza cedola                              153
    4.2  Il rischio di tasso per i titoli
         con cedola                                157
    4.3  Significato e limiti della duration       166
    4.4  La duration stocastica                    168
    4.5  La copertura del rischio di tasso         171
    4.6  La gestione attiva del portafoglio
         obbligazionario                           182

Bibliografia                                       189

Indice analitico                                   191



 

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Pagina IX

Finanza Matematica è un termine relativamente nuovo che richiede, forse, qualche spiegazione.

Si danno, di solito, nomi nuovi a soggetti nuovi e questo sembra essere il nostro caso.

Infatti, la classica Matematica Finanziaria ha visto, negli ultimi anni, una così formidabile evoluzione che non è esagerato dire che è nata una nuova disciplina.

Fatto salvo il dovuto omaggio al passato, in ossequio al detto di Bernard de Chartres circa i nani sulle spalle dei giganti, il nuovo approccio alla materia ha letteralmente ribaltato quello precedente.

Se in passato la qualifica "finanziaria" veniva applicata alla Matematica non senza mostrare, in alcuni casi, l'assoluta pretestuosità dell'aggettivo rispetto all'interesse primario nel metodo analitico-quantitativo, ora tale qualifica è passata prepotentemente in primo piano, a sottolineare l'ambito economico, teorico e pratico, all'interno del quale l'analisi delle relazioni matematico-finanziarie nasce, viene formulata, cerca e spesso trova principi risolutivi, si confronta e scontra con gli sviluppi applicativi e la realtà dei mercati.

Si pensi ad esempio al "tasso d'interesse", che in passato era un dato esogeno, costante e senza spessore, a partire dal quale l'analisi procedeva dando per assunto ciò che oggi è un punto d'arrivo e un obiettivo dell'analisi; oppure si pensi alle difficili ma ineludibili questioni legate all'incertezza che hanno costretto la disciplina a dotarsi dei più sofisticati metodi probabilistici e statistici, quando in passato la sola incertezza che si incontrava, nella quasi totalità dei manuali, era quella artificiale dei titoli rimborsati con estrazione a sorte.

Negli anni, la realtà economica, la potenza del calcolo elettronico, la contaminazione dei saperi, le scelte dei singoli hanno prodotto il cambiamento.

Il termine Finanza Matematica vuole quindi mettere in primo piano la sostanza senza nascondere la storia da cui la disciplina proviene e soprattutto la validità di un metodo, quello matematico, che ha permesso il raggiungimento di risultati altrimenti impossibili, in qualche caso insigniti dall'alloro del Nobel: William Sharpe, Myron Scholes (e Fischer Black, prematuramente scomparso), Harry Markowitz, Robert Merton.

Ora la "rivoluzione culturale" dalle pagine dei Journal arriva ai manuali dell'Università, con la certezza di offrire uno strumento indispensabile ad affrontare le problematiche dei mercati finanziari internazionali e con la speranza di trasmettere ai lettori l'entusiasmo che devono aver provato i primi innovatori.

Come già osservato, il tasso d'interesse nella Finanza Matematica è un concetto plurale, dinamico, stocastico.

Se in alcune analisi è un comodo punto di partenza, in un approccio più generale è l'oggetto fondamentale dell'analisi finanziaria, l'obiettivo di sofisticate (e sempre imperfette) teorie, la base di partenza di ogni altro discorso in Finanza.

I tassi d'interesse nelle loro varie definizioni (capitolo 1) sono il portato di particolari contratti, detti obbligazionari, che vengono analizzati e scomposti in termini finanziari (capitolo 2), senza dimenticare che esiste anche una dimensione giuridica e contabile della materia, esaminata in altre sedi.

La pluralità dei tassi, il loro significato, i modelli esplicativi, le relazioni reciproche sono incluse nella cosiddetta struttura per scadenza dei tassi d'interesse (capitolo 3), mentre gli effetti dei loro movimenti stocastici sui titoli e portafogli e sulle strategie gestonali di controllo dei rischi sono esaminati criticamente a partire dagli approcci più semplici e diffusi, affrontati in modo da specificare adeguatamente i concetti fondamentali e porre le basi per gli sviluppi più avanzati (capitolo 4).

Nella nostra visione, tre sono i punti di vista, complementari, di ogni ragionamento in Finanza Matematica: il primo è la valutazione (pricing) dei titoli, il secondo è la copertura (hedging) e il controllo dei rischi, il terzo è la speculazione, la previsione e la gestione attiva dei portafogli (asset management).

Tutti e tre gli aspetti sono sviluppati nel testo avendo in mente un lettore non specialistico che affronti per la prima volta i temi e i metodi della Finanza Matematica.

Si vedrà, infatti, che i prerequisiti matematici sono minimi (le conoscenze delle scuole superiori) e, in molti casi, i risultati un po' più avanzati sono stati richiamati in nota, rendendo il testo pressoché autosufficiente.

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Pagina 1

Concetti di base

È opportuno soffermarci subito su questa definizione elementare.

In primo luogo essa indica che la Finanza Matematica ha per oggetto lo studio di relazioni economiche in linguaggio matematico-quantitativo; in secondo luogo, si puntualizza che tali relazioni riguardano importi monetari (denaro, ricchezza, potere d'acquisto e altri sinonimi); in terzo luogo, si specifica che tali importi devono essere tutti "datati" vale a dire collocati nel tempo.

Importi e date costituiscono la struttura di un'operazione finanziaria (contratto) e l'individuazione di relazioni quantitative tra tali importi è lo scopo della Finanza Matematica.

Per rendere più chiaro ciò che si intende per struttura di una operazione finanziaria si consideri il caso elementare riportato in Figura 1.1.

             +K                      -M
    ----------|-----------------------|----------> tempo
              t                       T

Si tratta di un'operazione finanziaria che prende il nome di (contratto di) prestito. Un soggetto (pubblico o privato, persona fisica o persona giuridica) prende a prestito una somma pari a K da una controparte; l'ammontare di capitale K preso in prestito al tempo t diventa, per colui che lo riceve, un flusso in entrata (in-flow); di qui il segno + messo in evidenza davanti a K in corrispondenza del tempo t; il prestito viene effettuato a fronte di un corrispondente flusso di cassa in uscita (segno meno) che si verificherà in una data futura o scadenza o data di scadenza (T), di entità pari a M (out flow).

Allo stesso modo è possibile considerare la stessa operazione finanziaria elementare dal punto di vista opposto, di colui che concede il prestito, considerando quella che viene definita una operazione di investimento. Infatti, investire vuol dire trasferire denaro, quindi nel grafico riportato in Figura 1.2 cambia il segno del movimento di cassa, in quanto il capitale K al tempo t sarà un flusso in uscita per chi investe, mentre il capitale M in T sarà, per lo stesso soggetto, un flusso in entrata, a conclusione dell'operazione di investimento.

             -K                      +M
    ----------|-----------------------|----------> tempo
              t                       T

Ragionando sul prestito di Figura 1.1, potremmo chiederci a questo punto "A quanto deve ammontare il valore di M per la restituzione del prestito in modo che si abbia uno scambio equo tra le due controparti?", ovvero "Qual è il giusto ammontare (M) che il debitore dovrà restituire per il rimborso, dato che oggi (t) egli ha preso a prestito un capitale pari a K?".

Considerando l'investimento la questione è analoga: "Quale ammontare minimo (M) vorrà ricevere in T l'investitore per rendere conveniente l'investimento K in t?".

             -K                      +M  ?
    ----------|-----------------------|----------> tempo
              t                       T

La dimensione temporale ricopre un ruolo fondamentale nelle valutazioni finanziarie poiché diverse sono le considerazioni da farsi a seconda che vogliamo valutare il valore di un capitale in un istante temporale piuttosto che in un altro.

Guardando il grafico riportato in Figura 1.3, notiamo che se ci troviamo in un epoca t < T con un investimento di un ammontare K e ci chiediamo quanto dovrà valere il capitale M in un epoca successiva, in particolare in T, ci troviamo di fronte a quello che viene definito un problema di capitalizzazione; mentre, come riportato in Figura 1.4, se conosciamo il valore del capitale al tempo T, pari a M (montante), e vogliamo sapere a quanto equivale in un tempo precedente t < T, ci troviamo di fronte ad un problema di attualizzazione. In modo analogo, le stesse considerazioni valgono per un'operazione di prestito.

             -K  ?                   +M
    ----------|-----------------------|----------> tempo
              t                       T

Per poter rispondere al problema della valutazione di ammontari di denaro in epoche diverse e della loro comparazione in termini finanziari è necessario fare riferimento a quella che viene definita equivalenza finanziaria, espressa nella seguente formulazione:

ovvero, il valore del capitale K al tempo t è equivalente in termini fmanziari al capitale M al tempo T, con t < T. Se t è il tempo corrente e T è una data futura.

Il mondo della finanza (teoria e realtà finanziaria) è profondamente legato al futuro e quindi al concetto di incertezza: se non vi fosse incertezza i mercati finanziari non avrebbero ragione di esistere. Infatti, se fosse possibile prevedere tutto e se ogni operatore conoscesse perfettamente il futuro, ognuno potrebbe sottoscrivere oggi, una volta per tutte, tutti i contratti per lui necessari a partire da oggi fino alla fine dei tempi, essendo noto tutto quello che avverrà nel futuro. Ad esempio, un giovane studente, in questo mondo di perfetta certezza, potrà da subito spendere il suo salario futuro firmando un contratto e troverà certamente una controparte, in quanto con certezza tutto il futuro sarà noto a tutti. Tutti i contratti finanziari verrebbero sottoscritti istantaneamente e nient'altro avverrebbe in seguito se non lo scambio dei beni reali tra i diversi soggetti. L'importanza dei mercati finanziari invece, nasce proprio dalla considerazione del fatto che i mercati sono incerti e non abbiamo la possibilità di effettuare previsioni certe. Ad esempio, un giovane studente non può sapere con certezza se lavorerà, che tipo di salario potrà percepire, a partire da quando e fino a quando, se vorrà o potrà acquistare una casa o un'auto e a che prezzo e così via. Per far fronte alle incertezze del futuro ogni operatore dovrà risparmiare e investire il reddito risparmiato sul mercato finanziario, al fine di ottenere, nel futuro, potere d'acquisto spendibile e disponibile per le evenienze prevedibili e imprevedibili. Il mercato finanziario è lo strumento che consente di trasferire potere d'acquisto da oggi a domani: esso è il ponte tra il presente certo e il futuro incerto.

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Pagina 72

Il citato DM del Tesoro 8 luglio 1992 all'art. 2 fornisce una definizione precisa e operativa del TAEG.

«1. Il tasso annuo effettivo globale (TAEG) è il tasso [y] che rende uguale, su base annua, la somma del valore attuale di tutti gli importi [ag] che compongono il finanziamento erogato dal creditore alla somma del valore attuale di tutte le rate di rimborso [ck ]. Il TAEG è calcolato mediante la formula riportata in allegato 1 al presente decreto e va indicato con due cifre decimali.

2. Il TAEG è un indicatore sintetico e convenzionale del costo totale del credito, da determinare mediante la formula prescritta qualunque sia la metodologia impiegata per il calcolo degli interessi a carico del consumatore.

3. Nel calcolo del TAEG sono inclusi:

(a) il rimborso del capitale e il pagamento degli interessi;

(b) le spese di istruttoria e apertura della pratica di credito;

(c) le spese di riscossione dei rimborsi e di incasso delle rate, se stabilite dal creditore;

(d) le spese per l'assicurazione o garanzie, imposte dal creditore, intese ad assicurargli il rimborso totale o parziale del credito in caso di morte, invalidità, infermità o disoccupazione del consumatore;

(e) il costo dell'attività di mediazione svolta da un terzo, se necessaria per l'ottenimento del credito;

(f) le altre spese contemplate dal contratto, fatto salvo quanto previsto dal comma seguente.

4. Sono escluse dal calcolo del TAEG:

(a) le somme che il consumatore deve pagare per l'inadempimento di un qualsiasi obbligo contrattuale, inclusi gli interessi di mora;

(b) le spese, diverse dal prezzo di acquisto, a carico del consumatore indipendentemente dal fatto che si tratta di un acquisto in contanti o a credito;

(c) le spese di trasferimento fondi e di tenuta di un conto destinato a ricevere gli importi dovuti dal consumatore, purché questi disponga di una ragionevole libertà di scelta e le spese non siano anormalmente elevate;

(d) le quote di iscrizione ad enti collettivi, derivanti da accordi distinti dal contratto di credito, anche se incidenti sulle condizioni di esso;

(e) le spese per le assicurazioni o garanzie diverse da quelle di cui alla lettera d) del comma precedente.

5. Fermo restando quanto previsto dall'art. 20, comma 1, della legge, in materia di annunci pubblicitari e di offerte rivolte al pubblico, il calcolo del TAEG di un'operazione di credito al consumo è eseguito al momento della stipulazione del relativo contratto con riferimento alle condizioni in esso praticate. Tale calcolo è effettuato nell'ipotesi che il contratto sia in vigore per il periodo di tempo convenuto e che il creditore e il consumatore soddisfino agli obblighi nei termini ed entro le date concordate.

6. Nei contratti di credito contenenti clausole che permettono di modificare il tasso di interesse e l'importo o il livello di altre spese, il TAEG è calcolato nell'ipotesi che il tasso e le altre spese si mantengano fissi rispetto al livello iniziale e si applichino fino alla scadenza del contratto di credito.

7. Nella formula per il calcolo del TAEG:

(a) gli intervalli di tempo devono essere espressi in anni o in frazioni di anno. Un anno è composto di 365 giorni, 365.25 giorni o (per gli anni bisestili) 366 giorni, 52 settimane o 12 mesi identici, ciascuno dei quali è costituito da 30.41666 giorni. L'indicazione del TAEG deve essere accompagnata da quella del parametro temporale specificamente utilizzato;

(b) tutti i passaggi matematici devono essere eseguiti con una precisione di almeno otto cifre decimali, fermo restando quanto previsto dal precedente comma 1.

8. Il calcolo del TAEG non è richiesto per le operazioni di credito al consumo effettuate nella forma dell'apertura di credito in conto corrente ad utilizzo rotativo, non connessa all'uso di una carta di credito.»

La formula dell'allegato 1 al Decreto, nella nostra simbologia, è:

             m         ag               n         ck
        SOMMATORIA  --------   =   SOMMATORIA  --------
           g = 1    (1+y)^sg          k = 1    (1+y)^tk

ove a1, a2, ..., ag, ..., sono gli importi prestati alle date s1, s2, ..., sg, ..., sm mentre c1, c2, ..., ck, ..., cn sono le rate di rimborso stabilite contrattualmente per le date t1, t2, ..., tk, ..., tn. Il Decreto precisa che il TAEG va calcolato alla seconda cifra decimale con la regola per cui 12.505% diventa 12.51%.

L'allegato 3 al Decreto contiene alcuni utili esempi di calcolo del TAEG.

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