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Indice

Prefazione,                                                                      13
Nota alla 15a edizione inglese,                                                  15

1. La teoria della relatività ristretta,                                         19

    1. Il significato delle proposizioni geometriche,                            19
    2. Il sistema delle coordinate,                                              22
    3. Spazio e tempo nella meccanica classica,                                  26
    4. Il sistema di coordinate galileiano,                                      28
    5. Il principio di relatività (nel senso ristretto),                         29
    6. Il teorema di addizione per le velocità secondo la meccanica classica,    33
    7. L'apparente incompatibilità fra la legge di propagazione della luce e
       il principio di relatività,                                               34
    8. Sul concetto di tempo nella fisica,                                       38
    9. La relatività della simultaneità,                                         42
   10. Sulla relatività del concetto di distanza spaziale,                       45
   11. La trasformazione di Lorentz,                                             47
   12. Come si comportano regoli ed orologi in movimento,                        53
   13. Teorema di addizione per le velocità. L'esperimento di Fizeau,            55
   14. Il valore euristico della teoria della relatività,                        59
   15. Risultati generali della teoria,                                          61
   16. L'esperienza e la teoria della relatività ristretta,                      66
   17. Lo spazio quadridimensionale di Minkowski,                                72

2. La teoria della relatività generale,                                          76

   18. Sul principio ristretto e il principio generale di relatività,            76
   19. Il campo gravitazionale,                                                  80
   20. L'eguaglianza fra massa inerziale e massa gravitazionale come argomento
       a favore del postulato generale della relatività,                         83
   21. In che cosa risultano insoddisfacenti i fondamenti della meccanica
       classica e della teoria della relatività ristretta?                       89
   22. Alcune inferenze dal principio generale di relatività,                    91
   23. Comportamento degli orologi e regoli-campione su di un corpo
       di riferimento in rotazione,                                              96
   24. Il continuo euclideo e non euclideo,                                     100
   25. Le coordinate gaussiane,                                                 104
   26. Il continuo spazio-temporale della teoria della relatività ristretta
       considerato come continuo euclideo,                                      109
   27. Il continuo spazio-temporale della teoria della relatività generale
       non è un continuo euclideo,                                              111
   28. Formulazione esatta del principio di relatività,                         114
   29. La soluzione del problema della gravitazione in base
       al principio generale di relatività,                                     118

3. Considerazioni sull'universo inteso come un tutto,                           123

   30. Difficoltà cosmologiche della teoria di Newton,                          123
   31. La possibilità di un universo "finito" e tuttavia "non limitato",        125
   32. La struttura dello spazio secondo la teoria della relatività generale,   131


   Appendici

1. Derivazione elementare della trasformazione di Lorentz,                      137

2. L'universo quadridimensionale di Minkowski,                                  144

3. Conferma della teoria della relatività generale da parte dell'esperienza,    146

4. La struttura dello spazio in rapporto alla teoria della relatività generale, 157

5. La relatività e il problema dello spazio,                                    160

Indice analitico,                                                               187


 

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Pagina 5

Che in questa collana entri, con Einstein, un autore a noi contemporaneo, non deve recar meraviglia. Un "classico", noi pensiamo, non è essenzialmente chi è vissuto in un'epoca piú o meno remota dal presente, ma anzitutto uno di coloro la cui espressione ha raggiunto un'eccellenza non effimera nel campo della grandezza umana.

Senza dubbio, Einstein fa parte di questa schiera, e la prossimità nel tempo non può falsare, nel caso particolare, la nostra prospettiva. Né si giustifica una sospettosa cautela di giudizio, che adduca lo stato magmatico della scienza fisica contemporanea. In questo magma — che del resto è assai piú creativo che distruttivo — Einstein è il nucleo solido, la roccia stabilmente configurata che sta al centro.

E un altro tratto ci aiuta a vedere in lui un "classico": la chiarezza, lo sforzo di rendere accessibile ciò che in origine si sviluppa nei termini di un tecnicismo matematico, che sembra ovunque condannato ad isolarsi dal resto della cultura. Ciò gli è riuscito, e il libro che presentiamo è il tentativo piú felice, in questo senso, di passare da un'espressione tecnica ad una universale. Il fine, modestamente designato come "divulgativo", è in realtà assai piú ambizioso, vale a dire filosofico. Poiché Einstein, soprattutto nella seconda metà della sua vita, si presentò esplicitamente come filosofo. E con ragione, dobbiamo aggiungere. Con la sola limitazione di non aver affrontato la totalità del reale — il suo interesse si rivolge ai fenomeni fisici ma non a quelli umani — Einstein è stato per altro un vero filosofo, dando un'interpretazione universale dei dati, o almeno giungendovi assai vicino, in base ad una costruzione razionale — sgorgante dall'intuizione — semplice e rigorosa. Non conosciamo filosofi di professione che nel nostro secolo abbiano saputo fare altrettanto. Anzi, uno dei piú notevoli movimenti filosofici contemporanei, il positivismo logico, proprio dalla visione di Einstein trae, piú o meno consapevolmente, l'esigenza di un'accentuazione del formalismo, rispetto ad un Mach, senza tuttavia sapersi poi liberare da questo orizzonte formalistico, e rimanendo quindi, come prestazione filosofica, in un àmbito piú ristretto che non Einstein stesso.

Formatosi alla scuola empiristica di Hume e di Mach, Einstein tenne egualmente fede nella libera invenzione della mente umana, anzi rafforzò con gli anni questa convinzione, talvolta a detrimento del suo credo positivistico. A ciò non fu estraneo lo sviluppo tumultuoso della fisica nei primi decenni di questo secolo. Einstein fu uno degli iniziatori della teoria dei quanti, ma con l'estendersi prodigioso di questa teoria egli si ritrasse poi gradualmente, di fronte alle sue tendenze dominanti, statistiche e probabilistiche, alla sua critica del concetto di causalità, alle sue tesi sull'incertezza delle predizioni e sulla perturbazione dovuta all'osservazione, alla sua indifferenza per le descrizioni totali dei fenomeni. Einstein si irrigidí e si isolò, con un atteggiamento, anche umano, veramente da "classico", ribadí la sua credenza nella causalità, tentò testardamente un'interpretazione universale dei fenomeni. Il moltiplicarsi di esperienze difficilmente unificabili, l'erosione delle spiegazioni univoche provocata dalla teoria dei quanti, e punti deboli, emersi in seguito, di alcune sue concezioni, come quelle cosmologiche, non diminuirono la sua volontà. Tuttavia questi ostacoli gli recarono in qualche modo un danno: forse nell'ultima fase del suo pensiero egli si allontanò troppo dai fenomeni, nella ricerca estenuante di un'irraggiungibile unificazione formale, che la variegata molteplicità dei fenomeni non tollera docilmente, e fa apparire esangue ed astratta.

Ma il suo debito di concretezza Einstein lo aveva pagato in gioventú, forse come mai altro scienziato. La relazione relativistica fra massa ed energia è una proposizione, la cui potenza teorica si è verificata e propagata nella piú terrificante potenza terrena.

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Pagina 13

L'autore ha compiuto ogni sforzo nel tentativo di esporre le idee basilari nella forma piú chiara e piú semplice possibile, presentandole, nel complesso, in quell'ordine e in quella connessione in cui si sono effettivamente formate. Per raggiungere la massima chiarezza mi è parso inevitabile ripetermi di frequente, senza avere la minima cura per l'eleganza dell'esposizione; ho scrupolosamente seguito il precetto del geniale fisico teorico Ludwig Boltzmann, secondo cui i problemi dell'eleganza vanno lasciati al sarto e al calzolaio.

Non ritengo di aver defraudato il lettore di quelle difficoltà che sono insite nell'argomento. Ho invece di proposito trattato le basi empirico-fisiche della teoria "come farebbe una matrigna", per evitare che al lettore, poco pratico di fisica, accada come al viandante, che passando fra gli alberi non riesce a vedere la foresta. Possa questo volumetto procurare a qualche persona alcune ore felici di stimolante meditazione!

Dicembre 1916

A. E.

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Pagina 33

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Pagina 34

In breve, ammettiamo pure che lo scolaro abbia diritto di credere alla semplice legge della costanza della velocità c della luce (nel vuoto). Chi potrebbe immaginare che questa semplice legge abbia gettato in un mare di grandissime difficoltà concettuali il fisico che riflette coscienziosamente su di essa? Esaminiamo in che modo sorgano tali difficoltà.

Il processo di propagazione della luce (analogamente ad ogni altro processo) va naturalmente riferito ad un corpo di riferimento rigido (sistema di coordinate). Come sistema siffatto scegliamo ancora una volta la nostra banchina ferroviaria. Dovremo immaginare che sia stata rimossa l'aria al di sopra di essa. Viene lanciato un raggio di luce, — lungo la banchina, — la cui estremità avanza, in base a quanto detto piú sopra, con la velocità c rispetto alla banchina stessa. Supponiamo ora che il nostro vagone viaggi di nuovo lungo le rotaie con la velocità v, e che la sua direzione sia la stessa di quella del raggio di luce, ma con velocità naturalmente assai minore. Indaghiamo quale sia la velocità di propagazione del raggio di luce relativamente al vagone. È ovvio che possiamo qui applicare la considerazione fatta nel paragrafo precedente, giacché il raggio di luce sta in luogo della persona in marcia rispetto al vagone. La velocità W della persona rispetto alla banchina è qui sostituita dalla velocità della luce rispetto alla medesima. La velocità della luce richiesta rispetto al vagone è w, ed avremo

La velocità di propagazione di un raggio di luce relativamente al vagone sarà cosí inferiore a c.

Questo risultato è però in conflitto col principio di relatività esposto nel paragrafo 5. Infatti, come ogni altra legge generale della natura, la legge di propagazione della luce nel vuoto deve, secondo il principio di relatività, essere eguale tanto per il vagone ferroviario assunto come corpo di riferimento, quanto per le rotaie sempre come corpo di riferimento. Tuttavia, dalla considerazione fatta piú sopra, ciò sembrerebbe impossibile. Se ogni raggio di luce viene propagato relativamente alla banchina con velocità c, allora per la ragione suddetta sembrerebbe dover necessariamente sussistere un'altra legge di propagazione della luce rispetto al vagone, risultato in contraddizione con il principio di relatività.

Di fronte a tale dilemma pare che non vi sia modo di uscirne se non abbandonando o il principio di relatività o la semplice legge di propagazione della luce nel vuoto. Quanti fra i lettori hanno attentamente seguito la precedente discussione si attenderanno certamente che debba venir conservato il principio di relatività, il quale, per la sua semplicità e naturalezza, si raccomanda alla mente come pressoché irrefutabile, e che invece la legge di propagazione della luce nel vuoto debba venir sostituita da una legge piú complicata che si conformi al principio di relatività. Lo sviluppo della fisica teorica ha dimostrato però che non possiamo seguire questa strada. Le indagini teoriche profondamente innovatrici di H. A. Lorentz, sui fenomeni elettrodinamici e ottici nei corpi in movimento, hanno dimostrato che le esperienze in questi campi conducono in modo inequivocabile ad una teoria dei fenomeni elettromagnetici, che ha per conseguenza necessaria la legge della costanza della velocità della luce nel vuoto. Fisici teorici eminenti furono perciò maggiormente inclini a lasciar cadere il principio di relatività, sebbene non si fosse trovato alcun dato empirico in contraddizione con questo principio.

A questo punto entrò in campo la teoria della relatività. Da un'analisi dei concetti fisici di tempo e di spazio, risultò evidente che nella realtà non esiste la minima incompatibilità fra il principio di relatività e la legge di propagazione della luce, e che attenendosi strettamente e sistematicamente ad entrambe queste leggi si poteva pervenire ad una teoria logicamente ineccepibile. Ad essa si dà il nome di teoria della relatività ristretta (o particolare), per distinguerla dalla teoria della relatività generale, della quale tratteremo piú avanti. Nelle pagine seguenti esporremo i concetti fondamentali della teoria della relatività ristretta.

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Pagina 47

1) l'intervallo di tempo fra due eventi è indipendente dalla condizione di moto del corpo di riferimento;

2) l'intervallo di spazio fra due punti di un corpo rigido è indipendente dalla condizione di moto del corpo di riferimento.

Se lasciamo cadere queste ipotesi, scompare il dilemma del paragrafo 7, perché cessa di valere il teorema di addizione per le velocità derivato dal paragrafo 6. Si presenta allora la possibilità che la legge di propagazione della luce nel vuoto possa essere compatibile con il principio di relatività, e sorge la domanda: come dobbiamo modificare le considerazioni esposte nel paragrafo 6, in modo da eliminare l'apparente disaccordo fra questi due fondamentali risultati dell'esperienza? Tale domanda conduce ad un problema generale. Nella discussione svolta nel paragrafo 6 abbiamo considerato luoghi e tempi rispetto al treno e rispetto alla banchina. In che modo possiamo trovare il tempo e il luogo di un evento rispetto al treno, quando ne conosciamo il tempo e il luogo rispetto alla banchina ferroviaria? Si può pensare di dare una risposta a questa domanda tale che — tenuto conto di questa risposta — la legge di propagazione della luce nel vuoto non contraddica il principio di relatività? In altre parole: possiamo concepire una relazione fra tempo e luogo dei singoli eventi rispetto a entrambi i corpi di riferimento, tale che ogni raggio di luce possegga la velocità di propagazione c sia rispetto alla banchina che rispetto al treno? Questa domanda conduce a una risposta nettamente positiva, ad una ben determinata legge di trasformazione per le grandezze spazio-temporali di un evento nel passaggio da un corpo di riferimento ad un altro.

[...]

Ovviamente il nostro problema può venir formulato con esattezza nel modo seguente. Quanto valgono le x', y', z', t', di un evento rispetto a K', quando sono date le grandezze x, y, z, t, dello stesso evento rispetto a K? Le relazioni debbono essere scelte in modo che la legge di propagazione della luce nel vuoto risulti soddisfatta per un medesimo raggio di luce (e naturalmente per ogni raggio) sia rispetto a K che a K'. Quando i sistemi di coordinate sono orientati nello spazio come indicato nella figura 2, tale problema viene risolto mediante le equazioni seguenti:

            x' = (x-vt) / √(1-v^2/c^2)

            y' = y

            z' = z

            t' = (t-(v/c^2)x / √(1-v^2/c^2)

Questo sistema di equazioni è noto col nome di "trasformazione di Lorentz".

Se, anziché la legge di propagazione della luce, avessimo preso come base le tacite ammissioni della vecchia meccanica circa il carattere assoluto dei tempi e delle lunghezze, avremmo ottenuto, invece delle precedenti, le equazioni seguenti:

            x' = x-vt

            y' = y

            z' = z

            t' = t

Questo sistema di equazioni viene spesso indicato come "trasformazione di Galileo". La trasformazione di Galileo può venir ricavata dalla trasformazione di Lorentz ponendo in quest'ultima un valore infinitamente grande in luogo della velocità c della luce.

Possiamo vedere facilmente nel seguente esempio che, con la trasformazione di Lorentz, la legge di propagazione della luce nel vuoto è soddisfatta tanto per il corpo di riferimento K quanto per il corpo di riferimento K'.

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Pagina 59

In questo corso di pensieri ha avuto una parte importante la legge della propagazione della luce, la cui accettazione è giustificata dalle nostre conoscenze effettive. Una volta in possesso della trasformazione di Lorentz, però, possiamo combinarla con il principio di relatività, e riassumere cosí la teoria:

Ogni legge generale della natura deve essere costituita in modo da venire trasformata in una legge avente esattamente la stessa forma quando, in luogo delle variabili spazio-temporali x, y, z, t, dell'originario sistema di coordinate K, noi introduciamo nuove variabili spazio-temporali x', y', z', t', di un sistema di coordinate K', dove la relazione fra le grandezze ordinarie e quelle accentate è data dalla trasformazione di Lorentz.

Questa è una condizione matematica ben precisa che la teoria della relatività prescrive ad una legge naturale; in virtú di ciò, la teoria della relatività diventa un valido aiuto euristico nella ricerca delle leggi generali della natura. Se si dovesse trovare una legge generale della natura che non soddisfacesse a questa condizione, allora risulterebbe contraddetta almeno una delle due ipotesi fondamentali della teoria. Esaminiamo ora quali sono i risultati generali finora indicati da questa teoria.

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Pagina 72

Lo spazio è un continuo tridimensionale. Con ciò intendiamo che è possibile descrivere la posizione di un punto (in quiete) per mezzo di tre numeri (coordinate) x, y, z, e che per ogni punto ne esistono altri ad esso arbitrariamente "vicini", la posizione dei quali può essere descritta da coordinate come x1, y1, z1, che si approssimano a piacere, rispettivamente, alle coordinate x, y, z, del punto anzidetto. In virtú di quest'ultima proprietà noi parliamo di un "continuo", e grazie al fatto che esistono tre coordinate noi diciamo che esso è "tridimensionale".

In modo analogo, il mondo dei fenomeni fisici, che era brevemente chiamato "mondo" da Minkowski, risulta naturalmente a quattro dimensioni in senso spazio-temporale. Esso è infatti composto di eventi singoli, ciascuno dei quali viene descritto da quattro numeri, e precisamente: tre coordinate spaziali x, y, z, e una coordinata temporale, il valore del tempo t. Il "mondo" in questo senso è anche un continuo; per ogni evento infatti esistono altrettanti eventi arbitrariamente "vicini" (realizzati o per lo meno pensabili), le cui coordinate x1, y1, z1, t1, differiscono tanto poco quanto si vuole da quelle dell'evento x, y, z, t, originariamente considerato. Il motivo per cui non siamo abituati a considerare il mondo, preso in questo senso, come un continuo quadridimensionale è dovuto al fatto che nella fisica prerelativistica il tempo aveva una funzione diversa e più indipendente in confronto alle coordinate spaziali. È questa la ragione della nostra inveterata abitudine di trattare il tempo come un continuo indipendente. In effetti, secondo la fisica classica, il tempo è assoluto, cioè indipendente dalla posizione e dallo stato di moto del sistema delle coordinate. Ciò risulta espresso dall'ultima equazione della trasformazione galileiana (t' = t).

È stata la teoria della relatività a suggerirci di considerare il "mondo" come avente quattro dimensioni, poiché secondo tale teoria il tempo viene defraudato della sua indipendenza, come mostra la quarta equazione della trasformazione di Lorentz

            t' = (t-(v/c^2)x / √(1-v^2/c^2)

Quest'equazione ci insegna infatti che la differenza di tempo Δt' di due eventi rispetto a K' non si annulla in generale, anche quando si annulla la differenza di tempo Δt dei medesimi eventi rispetto a K. La pura "distanza spaziale" di due eventi rispetto a K ha per conseguenza una "distanza temporale" degli stessi eventi rispetto a K'. Non consiste però in ciò la scoperta di Minkowski, che ebbe tanta importanza per lo sviluppo formale della teoria della relatività, ma piuttosto nell'aver riconosciuto che il continuo quadridimensionale della teoria della relatività rivela, nelle sue proprietà formali determinanti, la piú stretta affinità con il continuo tridimensionale dello spazio geometrico euclideo. Allo scopo di dare il debito rilievo a questa affinità dobbiamo tuttavia sostituire, in luogo della solita coordinata temporale t, la grandezza immaginaria √(-1)ct, proporzionale ad essa. Operata questa sostituzione, le leggi di natura che soddisfano i requisiti della teoria della relatività (ristretta) assumono forme matematiche, in cui la coordinata temporale riveste esattamente le stesse funzioni delle tre coordinate spaziali. Formalmente, queste quattro coordinate corrispondono esattamente alle tre coordinate spaziali della geometria euclidea. Deve risultare evidente anche al non matematico che, per effetto di questa nuova conoscenza puramente formale, la teoria ha potuto straordinariamente avvantaggiarsi in chiarezza.

Queste osservazioni, del tutto inadeguate, possono dare al lettore soltanto una vaga idea dell'importante concezione di Minkowski, senza la quale la teoria della relatività generale, le cui nozioni fondamentali verranno sviluppate nelle prossime pagine, sarebbe probabilmente rimasta in fasce. La concezione di Minkowski è indubbiamente di difficile comprensione per il lettore non versato in matematica, ma poiché non è necessario averne una conoscenza molto approfondita per afferrare i concetti fondamentali tanto della teoria della relatività ristretta quanto della teoria della relatività generale, non ne parlerò oltre per il momento, e vi ritornerò soltanto verso la fine del secondo capitolo.

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