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Indice

Introduzione             7       Caleidociclo              85

Bicchieri               11       Quarantotto piramidi      89

Moebius                 17       Pop-up                    93

Stelle                  23       Piramide di biglie        99

Tessere di Penrose      29       Stuzzichini geometrici   105

Kolam                   33       Solidi di cerchi         111

Pentamini               37       Flexicubo                115

Mattonelle              41       Piega parabolica         121

Cubo Soma               45       Foglio a quattro facce   125

Serpentelli             49       Cannucce                 129

Calendario              55       Palla di carta           135

Tappeto di origami      59       Nodi                     139

Poliedri di origami     63       Trecce                   143

Tangram                 69       Treccia misteriosa       147

Il libro arrotolato     75       Caleidoscopio            151

La scala infinita       79       Appunti di costruzione   157



 

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Pagina 7

Gli oggetti raccolti qui sono tutti accomunati dall'avere un aspetto matematico interessante. Tuttavia ho voluto anche che avessero un'attrattiva in sé, a prescindere dalla matematica. Così alcuni sono passatempi, altri sono elementi decorativi, altri ancora sono semplicemente cose piacevoli da manipolare. Sperando che altri potessero vederci le bellezze che ci vedo io, ho cercato di descrivere in maniera chiara come costruirli.

A fianco di questo simbolo troverete la lista del MATERIALE OCCORRENTE.

Ho preferito materiali economici e semplici da reperire: spesso troverete già in casa quanto serve e le eventuali spese saranno sempre molto contenute. Nelle descrizioni dell'occorrente ho detto lo stretto indispensabile, precisando il materiale e le dimensioni solo quando necessario. Come amano fare i matematici, ho cercato di evitare i casi specifici, privilegiando procedure generali. Talvolta quindi troverete le istruzioni per calcolare in autonomia le dimensioni di alcuni pezzi in base ad altri che magari avete già in casa, in modo da poter sfruttare al meglio i materiali reperiti.

Le ISTRUZIONI PER LA REALIZZAZIONE degli oggetti si trovano a partire dal simbolo delle forbici.

Le descrizioni e le illustrazioni vi guidano passo dopo passo nel disegnare, ritagliare, incollare. Il livello di difficoltà è vario: alcuni oggetti sono molto semplici da costruire, altri richiederanno un po' più di manualità.

Noterete che seguendo le istruzioni si creano oggetti molto asciutti, in cui l'aspetto matematico domina su quello estetico. Come nella dimostrazione di un teorema, ho puntato ad arrivare al nocciolo con meno orpelli possibile. Così di solito ho omesso le istruzioni per eventuali abbellimenti, lasciando a voi, al vostro estro e alla vostra creatività, il gusto di rendere unici i vostri pezzi.

In qualche caso, un'interpretazione di ciò che si può fare a partire dalle istruzioni di base si trova nelle fotografie.

Dopo il simbolo della lente di ingrandimento trovate infine gli APPROFONPIMENTI, ovvero come far emergere la matematica dagli oggetti che avete costruito. A volte viene fuori nel procedimento seguito, altre sta nella geometria dell'oggetto. Può capitare anche che dall'oggetto si parta per andare all'indietro nella storia, o lontano geograficamente. E, anziché tra pezzi di carta, forbici e righello, vi ritroverete tra matematici del passato, problemi irrisolti, generalizzazioni e dimostrazioni.

Spero che a qualcuno Bricologica possa risvegliare la voglia di lavorare un po' con le proprie mani, e a qualcun altro faccia tornare l'appetito per ragionamenti matematici. Spero possa colmare dei pomeriggi piovosi, essere sorgente di idee per regali, per decorazioni da tenere in camera o per l'albero di Natale. Spero ancora possa essere spunto per chi racconta la matematica in classe o altrove, e contribuire a indirizzare qualche giovane mente nei propri interessi e studi.

Buona lettura, e buon lavoro!

Robert Ghattas

ottobre 2010

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Pagina 69

    Un foglio di carta quadrato
    Forbici

Ricaveremo il nostro da un unico foglio, utilizzando pieghe e tagli.

[...] Questo gioco di origine cinese sembra avere origini molto antiche, mentre il primo uso documentato del nome che gli diamo oggi si ha nel 1861, quando comparve nel dizionario Merriam-Webster come «un gioco usato nelle scuole elementari a scopo didattico».

Le potenzialità didattiche del tangram stanno nel fatto che le tessere hanno molte cose che le accomunano. Eccone alcune.

• Le lunghezze dei lati delle tessere sono solo quattro, di cui due sono il doppio delle altre due.

Ecco le due grandi famiglie: cateto triangolino, lato quadrato, lato corto parallelogramma, metà ipotenusa triangolo, metà cateto triangolone; ipotenusa triangolino, lato lungo parallelogramma, cateto triangolo, metà ipotenusa triangolone.

• Con l'eccezione del triangolino, tutte le tessere possono essere scomposte in due o più altre tessere.

Se controllate con le tessere che compongono il gatto qui a fianco, vedete infatti che quadrato, parallelogramma e triangolo possono infatti essere scomposti nei due triangolini, mentre ogni triangolone si può scomporre nei due triangolini più il triangolo. Questo permette di sapere che, posta pari a 1 l'area del quadrato originale, il triangolino ha area 1/16, il triangolo, il quadrato e il parallelogramma hanno area 1/8 e il triangolone ha area 1/4.

• Tutti gli angoli sono multipli di 45°.

In particolare i triangoli hanno tutti due angoli da 45° e uno da 90°, il quadrato ha quattro angoli da 90° e il parallelogramma ha due angoli da 45° e due da 135°.

• Tutte le tessere tranne il parallelogramma hanno almeno un asse di simmetria.

Una conseguenza di questo fatto è che queste tessere sono invarianti per ribaltamento, ovvero non è possibile distinguere una faccia superiore e una faccia inferiore. Per il parallelogramma che invece non ha assi di simmetria fa la differenza se è poggiato su una faccia o sull'altra.

La sterminata varietà di figure che si possono creare con il tangram, se da un lato spiega il successo di questo gioco intramontabile, dall'altro crea un po' di grane ai matematici. Come dimostrare per esempio quanti sono i QUADRILATERI che si possono costruire utilizzando tutte le tessere? Servono tecniche più raffinate del procedere per tentativi, dato che le prove da fare sarebbero illimitate, e perché una dimostrazione deve avere carattere generale. Non stupisce quindi se ci sono problemi relativi alle configurazioni del tangram che sono stati risolti solo di recente, e altri che ancora restano da risolvere.

Nel 1995 l'insegnante Silvio Giordano ha dimostrato che i quadrilateri possibili sono soltanto sei (un quadrato, un rettangolo, un parallelogramma, un trapezio isoscele e due trapezi rettangoli), mentre tuttora non è stato dimostrato quanti siano i PENTAGONI costruibili.

Volete essere voi a scoprirlo?

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Pagina 115

    Otto cubi di qualsiasi materiale (carta, legno, plastica...)
    Nastro adesivo resistente
    Carta colorata
    Colla

Il flexicubo si costruisce collegando i nostri otto cubi a due a due lungo uno SPIGOLO. Per rendere queste giunture più resistenti utilizziamo sempre due pezzi di nastro adesivo, come indicato in figura (1).

Prendiamo quattro coppie di cubi collegati, affianchiamole come in figura (2) e attacchiamo lateralmente le coppie di cubi centrali, utilizzando due pezzi di nastro per ogni giuntura come abbiamo visto. Ribaltiamo i cubi e creiamo le ultime due giunture (3). Il flexicubo è pronto e si può decorare incollando quadretti di carta sulle facce dei cubi.

Le giunture che abbiamo creato danno al flexicubo la possibilità di compiere una sequenza ciclica di tre movimenti. Partendo dai cubi messi come nell'illustrazione (2), il primo movimento è portare verso l'alto le estremità e chiudere il flexicubo (4). Il secondo movimento è aprire il flexicubo come nell'illustrazione (5). Il terzo movimento è far ruotare le due colonne da quattro cubi verso l'interno (6). A questo punto è possibile ripetere la sequenza di movimenti, ripartendo dal primo.

Il flexicubo è composto da otto cubetti più piccoli con il lato pari a metà di quello del cubo composto.

Come mai se raddoppio il lato del cubo il volume non raddoppia, bensì si moltiplica per 8? La risposta sta nella formula del VOLUME DEL CUBO:

Se il lato è lungo a il volume sarà:

Ma se il lato raddoppia, e diventa 2a, il volume risulta:

Ecco quindi da dove viene quell'8.

Se invece si considera la superficie, è evidente che l'area di una faccia del flexicubo è pari a quattro volte quella della faccia di un cubetto. Anche in questo caso il 4 deriva dalla formula dell'AREA DEL QUADRATO:

Se il lato è lungo a, l'area è:

Mentre con lato doppio, ovvero 2a, l'area diventa:

Di conseguenza, la superficie totale del flexicubo è pari alla superficie totale di un singolo cubetto moltiplicata per 4.

Quanto abbiamo visto non è valido solo nel caso di un cubo e un quadrato. Per esempio, raddoppiando il diametro di una sfera, se ne ottiene un'altra con volume ottuplo e superficie quadrupla. Così accade per qualsiasi altro solido.

Nel 1852 un grande incendio distrusse la cattedrale Saint-Jacques di Montréal, in Canada. Ignace Bourget, il vescovo di allora, ebbe un'idea per la ricostruzione che fu accolta con entusiasmo dai suoi concittadini. Tuttavia il progetto fu reputato irrealizzabile dai primi architetti a cui venne sottoposto.

Solo un frate, Joseph Michaud, accettò l'incarico e partì in missione segreta per Roma. Lo scopo del suo viaggio era studiare di nascosto la basilica di San Pietro in Vaticano, in quegli anni minacciata dalle truppe di Vittorio Emanuele II. Il progetto del vescovo era infatti realizzare nella sua città una replica in scala 1:2 della chiesa romana.

Nel 1894 la nuova cattedrale di Montréal era pronta, l'idea di Ignace Bourget era divenuta realtà. La cattedrale, che dal 1955 è consacrata a Maria Regina del Mondo, è effettivamente una replica di San Pietro, e le sue dimensioni sono circa la metà di quelle della basilica romana: metà sono la larghezza, la lunghezza e l'altezza della cupola.

Ma questa chiesa non può accogliere metà dei fedeli che troverebbero posto in San Pietro, né i mattoni che sono stati necessari alla sua edificazione risultano la metà di quelli che costituiscono la basilica romana. Il numero dei fedeli e quello dei mattoni dipendono infatti dalla superficie della chiesa, non dalla sua lunghezza.

La capienza è quindi quattro volte inferiore a quella di San Pietro, così come il numero di mattoni (sempre che siano stati utilizzati mattoni uguali!) è un quarto.

Il volume complessivo dell'edificio è infine un ottavo di quello dell'imponente basilica romana, così come il volume di un cubetto è un ottavo del volume del flexicubo.

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Pagina 139

    Stelle filanti

Per realizzare un pentagono con una stella filante è sufficiente un semplice nodo, evitando di attorcigliare la striscia di carta. Iniziate flettendo l'estremità di destra indietro e verso il basso, per poi farla tornare verso l'alto facendola passare sopra l'estremità di sinistra. Fate attenzione a non fare ancora pieghe. Flettete ora verso il basso l'estremità e infilatela nel cappio appena creato (1).

Iniziate ora a stringere il nodo facendo scorrere la striscia, sempre senza fare pieghe. Pian piano il nodo tenderà ad appiattirsi (2). Solo quando sarà perfettamente pentagonale schiacciatelo. Questa operazione è delicata: si rischia infatti di fare pieghe troppo presto, o di stringere troppo, strozzando la striscia.

Il nodo è di fatto il modo per far cambiare direzione alla stella filante facendola svoltare di 72°, ampiezza dell'angolo esterno di un pentagono regolare. Se facciamo cinque nodi uguali consecutivi, la stella filante avrà fatto un giro di 5 x 72° = 360°. In altre parole, sarà tornata al punto di partenza, dopo aver disegnato un pentagono più grande. Potete tagliare la stella in modo che la parte avanzata si infili nel primo nodo chiudendo il pentagono (3).

Ripetendo sempre lo stesso nodo le possibilità di creare figure formate da sequenze di nodi sono abbastanza limitate, visto che la svolta è in una sola direzione; ma se ne può fare uno che faccia svoltare la stella filante nell'altra direzione, sempre mantenendo l'angolo di 72°. Questo apre a nuovi scenari, consentendo di realizzare TRAIETTORIE complesse.

Il nuovo nodo è simile al primo, solo che l'estremità di destra torna sopra quella sinistra dopo aver subito una flessione all'indietro e verso l'alto (4). Il finale consiste ancora nel passaggio all'interno del cappio (5).

Una domanda legittima è se i due nodi siano lo stesso, posizionato in maniera diversa, o due nodi differenti, indipendentemente dalla loro posizione. Per verificarlo si possono fare i due nodi su strisce distinte cercando poi di sovrapporli. Ci si accorge presto che è possibile sovrapporre le estremità facendo occupare la stessa posizione ai due nodi. Tuttavia, un occhio attento vede che i nodi sono diversi: più precisamente sono uno l'IMMAGINE ALLO SPECCHIO dell'altro (6).

Provate ora a incrociare le braccia e a farle incrociare ai vostri amici. Vi accorgerete che ci sono due modi speculari di incrociarle, esattamente come ci sono due modi speculari di annodare la stella filante.

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