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In quella fase Boltzmann stava portando la teoria cinetica
in territori inesplorati ed era prossimo a una delle massime
conquiste teoriche dell’era della fisica classica.
Benché avesse fornito alcuni anni prima qualche giustificazione
fisica della correttezza della formula di Maxwell per la distribuzione
delle velocità atomiche in un gas, Boltzmann era perfettamente consapevole
di che cosa ancora mancasse. Non c’era fino a
quel momento alcuna argomentazione che dicesse come e perché
un insieme di atomi che collidono incessantemente tra loro secondo le più
varie modalità dovrebbe arrivare a conformarsi alla formula di
Maxwell-Boltzmann, o se, una volta raggiunta tale distribuzione, vi
rimarrebbe indefinitamente.
Dal momento che gli atomi si urtano così frequentemente, le
velocità e le direzioni di moto di ciascuno di essi cambiano continuamente.
Un atomo che in un dato momento si sta muovendo a
una velocità superiore alla media, potrebbe colpirne un altro e
ritrovarsi improvvisamente in moto con una velocità molto inferiore alla
media. Qualunque formula matematica che pretenda di
descrivere la distribuzione globale delle velocità atomiche in modo
stabile deve chiaramente rappresentare un qualche tipo di media.
Deve fornire, a ogni momento dato, il numero più probabile degli
atomi che si muovono a una qualsiasi velocità assegnata, ma non
può sperare di costituire una specificazione completa del particolare
stato di moto di tutti i singoli atomi.
Qui stava il problema identificato con chiarezza da Boltzmann:
come mai gli atomi che sono perennemente in moto caotico, continuamente
in collisione tra loro, che accelerano, rallentano, cambiano direzione,
sempre in modi apparentemente imprevedibili, nondimeno conservano una
distribuzione media di velocità che segue una formula semplice e invariabile:
la distribuzione di Maxwell-Boltzmann? Come possono la casualità e
l’imprevedibilità che dominano sulla scala dei singoli atomi dare origine a
livello globale d’ordine?
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Boltzmann formulò quella che sarebbe divenuta, per qualsiasi fisico,
un'equazione semplice e famosa, la quale afferma che l'entropia di qualunque
distribuzione di atomi è proporzionale al logaritmo del numero dei modi
equivalenti in cui tale distribuzione può essere realizzata. Tenendo conto
del principio per cui, in un libro rivolto a un pubblico generico, può trovar
posto un’unica equazione, la formula di Boltzmmnn merita di essere
riportata qui nella sua forma canonica moderna:
S = k log W
dove S è l’entropia, W rappresenta il numero dei possibili modi in
cui può essere ottenuta una data distribuzione di atomi nelle celle
e log indica il logaritmo (il logaritmo è la funzione inversa della
funzione esponenziale; esso aumenta all’aumentare di W, ma
sempre più lentamente al crescere di W). Nel 1877 Boltzmann non
disponeva di una determinazione precisa del numero di atomi in
volume assegnato di gas, e pertanto formulò il suo risultato
semplicemente come relazione di proporzionalità tra S e log W.
La grandezza k, oggi nota come costante di Boltzmann, fu determinata
in seguito.
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Boltzmann aveva inoltre lo svantaggio di lavorare all’interno di
(o piuttosto, contro) una tradizione filosofica come quella tedesca.
Kant era l’ultimo di una lunga serie di filosofi, risalente fino a
Platone e Aristotele, i quali assumevano quello che solitamente viene
detto un punto di vista idealista o razionalista. Essi ritenevano che
l'unica fonte di conoscenza sicura e degna di fiducia fosse la mente
umana stessa, e quindi credevano che tutta la conoscenza pratica -
l’astronomia, la geometria, la scienza nel suo insieme - dovesse
basarsi su una qualche combinazione di principi indiscutibili di
ragione e difatti autoevidenti, e quindi anch’essi indiscutibili.
Non era stato di questa opinione Democrito, ma il suo stile di
ragionamento, almeno agli occhi dei filosofi, era stato fuori moda per
molti secoli. Era tornato in auge grazie agli empiristi britannici, in
particolare a Bacone, Locke e Hume. Costoro avevano compreso
che alcuni tipi di conoscenza non sono autoevidenti e non potrebbero
neppure essere generati dalla sola ragione.
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Pochi anni dopo la morte di Boltzmann la sua fisica era ormai
affermata. L’esistenza degli atomi non era più messa in dubbio; la
teoria cinetica appariva indiscutibile. Quanto alla questione del
carattere probabilistico del secondo principio della termodinamica,
che aveva perseguitato Boltzmann per tanti anni, la semplice conclusione
era stata che lui aveva ragione e i suoi critici torto.
Le leggi della termodinamica sono, in effetti, leggi approssimate: il
calore fluisce quasi sempre dai corpi caldi a quelli freddi; l’entropia
aumenta quasi sempre. Per molti fisici classici il fatto che le leggi non
siano assolute può aver rappresentato uno shock, ma le successive
generazioni di fisici hanno superato lo shock.
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