TecaLibri: Federico Peiretti: Il matematico si diverte

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6 LEONHARD EULER. LA PASSEGGIATA DEI SETTE PONTI

Figura chiave della matematica del Settecento, il più grande fisico teorico del secolo, l'uomo che dovrebbe essere accostato ad Archimede, Newton e Gauss. Morris Kline

1. Il ciclope matematico Due mogli, tanti figli e un nugolo di nipoti: una serena vita familiare, quella di Leonhard Euler , italianizzato Eulero, il celebre matematico svizzero, nato a Basilea nel 1707 e vissuto tra San Pietroburgo, alla corte di Caterina la Grande, e Berlino, al servizio di Federico il Grande. Per il divertimento e l'istruzione di figli e nipoti proponeva problemi e realizzava piccoli esperimenti di fisica che dimostravano la sua grande capacità divulgativa, confermata anche da un libro, all'epoca molto popolare, Lettere a una principessa tedesca, che raccoglie più di 200 lettere scritte per insegnare le nozioni fondamentali della fisica e della matematica alla principessa di Anhalt-Dessau, nipote di Federico il Grande.

Eulero, genio precoce, entrò all'Università di Basilea nel 1720, all'età di 14 anni, ed ebbe la fortuna di conoscere il grande matematico Johann Bernoulli che lo aiutò nei suoi studi. Scrive: «Trovai l'occasione per essere presentato a Johann Bernoulli, il quale per la verità era molto impegnato e rifiutò di darmi lezioni private, ma mi diede molti consigli sui libri di matematica che dovevo leggere e studiare. Quando incontravo qualche difficoltà ero autorizzato a fargli visita, ogni domenica pomeriggio, ed egli gentilmente mi spiegava tutto quello che non avevo capito».

Il grande merito di Eulero è stato quello di aver saputo stabilire nuovi collegamenti fra campi diversi della matematica, apparentemente lontani fra loro, utilizzando in modo geniale le risorse della geometria, dell'algebra e dell'analisi, per arrivare a risultati straordinari. Già ai suoi tempi godeva di un enorme prestigio, come testimonia una celebre frase di Lagrange, il matematico torinese successore di Eulero alla corte di Federico il Grande: «Leggete Eulero. Leggete Eulero. Egli è il maestro di tutti noi».

È stato uno dei matematici più prolifici: la sua opera omnia comprende 74 grandi volumi in-quarto, dedicati non solo alla matematica, ma anche alla meccanica, all'astronomia e ancora all'ottica, all'acustica, alla termologia, all'elettricità e al magnetismo. Per cinquant'anni, dopo la sua morte, l'Accademia di San Pietroburgo ha continuato a pubblicare suoi lavori inediti. Alcune delle sue opere rimangono fondamentali, come l' Introductio in analysin infinitorum, la prima presentazione completa del calcolo infinitesimale, e la Meccanica, la prima opera nella quale venga sistematicamente applicata l'analisi alla meccanica.

Eulero aveva una memoria prodigiosa e una geniale inventiva che gli consentiva di affrontare, e risolvere, i problemi più complicati. Poco salottiero e tutt'altro che brillante, non piaceva per questo a Federico il Grande che lo aveva soprannominato il «ciclope matematico». Eulero aveva perso l'occhio destro a trent'anni, sembra come conseguenza dell'impegno eccessivo nel lavoro. Appena raggiunse una sistemazione anche economicamente serena, decise di sposarsi con Katharina Gsell, figlia di un pittore russo, dalla quale ebbe tredici figli, dei quali però soltanto cinque sopravvissero all'infanzia.

Eulero confessò di aver fatto le sue più importanti scoperte matematiche mentre aveva i suoi bambini tra le braccia, e altri marmocchi che ruzzolavano ai suoi piedi. Nel 1766 era a San Pietroburgo, direttore dell'Accademia, e qui, dopo breve tempo, una cataratta all'occhio ancora sano lo portò alla cecità completa, ma questo non fermò i suoi studi, che continuò con l'aiuto dei figli. La sua memoria eccezionale gli consentiva di avere ben presenti le pagine che andava dettando. Eulero ricordava a memoria tutte le più importanti formule matematiche, i quadrati, i cubi e le potenze quarte, quinte e seste dei primi cento numeri, oltre a centinaia di poesie e all'intera Eneide.

Il 7 settembre 1783 Eulero, dopo aver giocato con i nipotini e discusso con alcuni amici le novità del giorno, la mongolfiera e la scoperta di Urano, colpito da emorragia cerebrale, come disse il marchese di Condorcet nell'orazione funebre, «cessò di calcolare e di vivere».

Ricordiamo, tra i meriti di Eulero, l'introduzione di molti simboli usati oggi da tutti gli studenti, quali ad esempio π, i per √(-1), e, la base dei logaritmi naturali, f(x) per la funzione di x, il simbolo Σ per indicare una sommatoria.

Eulero amava il gioco e inventò per i suoi figli e i suoi nipotini giochi di ogni genere, macchinette per divertirli e puzzle per mettere alla prova la loro intelligenza.

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8 LEWIS CARROLL. I GIOCHI PER ALICE

Non credo proprio che possa esistere nell'universo della scienza un campo più affascinante, più ricco di tesori nascosti e di deliziose sorprese, di quello della matematica. Lewis Carroll

1. La matematica per divertire Alice «Era uno zitello meticoloso, compassato, pignolo, ipocondriaco, gentile, mite. Aveva una spalla più alta dell'altra, un sorriso un pochino fuori squadra, e gli occhi azzurri non esattamente alla stessa altezza. Era sottile, non alto, di portamento eretto, rigido, e camminava in modo singolare, a scossoni. Non ci sentiva da un orecchio e balbettava tanto che gli tremava il labbro superiore. Benché ordinato diacono, predicava di rado per via del suo difetto di pronuncia, e non passò mai ai successivi ordini sacri.» Questo è il ritratto impietoso che Martin Gardner fa di Charles Lutwige Dodgson, meglio noto come Lewis Carroll , pseudonimo ricavato dai suoi due nomi, riportati in ordine inverso, tradotti in latino, «Lodovicus Carolus», e anglicizzati.

Nato a Daresbury, nel Cheshire, il 27 gennaio 1832 e morto il 14 gennaio 1898 per le complicazioni di un banale raffreddore, è l'autore di Alice nel paese delle meraviglie, il capolavoro della letteratura per ragazzi. Chi non conosce Alice e le sue avventure nello strano mondo inventato da Lewis Carroll? È uno dei personaggi più popolari. Carroll presenta Alice come un libro «per lo svago innocente dei bambini», ma è veramente un racconto per i bambini? È difficile pensare che un bambino possa capire ed apprezzare lo spirito e le allusioni di uno scrittore dell'epoca vittoriana. Pochi bambini hanno letto la versione originale del racconto e Alice è nota e amata soprattutto attraverso le innumerevoli semplificazioni, alla Walt Disney, che ne sono state fatte. Il racconto non ha una trama chiara e lineare, adatta a un bambino, ed è più una favola per adulti, un capolavoro del nonsense, con un fuoco d'artificio di giochi logici e verbali sempre divertenti.

Si dice che le sue lezioni fossero piuttosto noiose, ed evidentemente non amava molto far lezione, anche a causa della sua balbuzie se, appena possibile, dopo il successo di Alice a 49 anni, lasciò l'insegnamento. Ma continuò a vivere nel collegio, dedicandosi alla ricerca di giochi e rompicapi per i suoi libri e per le sue piccole amiche. La sua grande passione erano infatti le bambine, che amava fotografare sovente in pose leggermente ambigue. Le avvicinava sfruttando le sue doti di prestigiatore, di narratore, con i dolci o i giochi che portava sempre con sé. Una bambina in particolare lo aveva colpito, Alice Liddell, figlia del decano di Christ Church. L'atteggiamento di Carroll nei suoi confronti fu quello di un vero innamorato. Le scrisse lettere appassionate. A lei dedicò i suoi capolavori, Alice nel paese delle meraviglie e Attraverso lo specchio. Il sospetto che i suoi rapporti con Alice o con le altre bambine non siano stati sempre irreprensibili sembra però infondato. Non esiste la minima prova di un suo atteggiamento scorretto nei loro confronti. Ma perché, nel 1862, la madre di Alice, quando questa aveva dieci anni, decise di rompere i rapporti con Carroll, invitandolo a non frequentare più la sua casa? Che cos'era successo? «La signora Liddell – scrive Carroll sul suo diario – dopo la vicenda di Lord Newry, mi ha tolto il suo favore.» Restano per noi un mistero i fatti ai quali egli faceva riferimento.

Carroll non è stato un grande matematico, ma senza una buona conoscenza della matematica non avrebbe potuto scrivere i suoi capolavori. Il suo testo scientifico più noto è Euclide e i suoi rivali, pubblicato nel 1879, un dramma ambientato all'Inferno in cui vengono cacciati i moderni geometri antieuclidei, mentre i loro scritti sacrileghi sono dati alle fiamme. Anche i suoi lavori di logica vennero ignorati dai matematici contemporanei e riscoperti soltanto da Bertrand Russell, che segnalò i suoi problemi di logica simbolica e calcolo delle proposizioni nei Principles of Mathematics.

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11 WALTER ROUSE BALL. MATEMATICA PER LA STORIA E PER IL GIOCO

Rouse Ball non fu soltanto un famoso matematico, ma anche un mago dilettante, con un interesse così vivo per la matematica ricreativa da scrivere l'opera inglese classica in questo campo. Martin Gardner

1. Avvocato mancato per amore della matematica Walter Rouse Ball (1850-1925), contemporaneo di Sam Loyd e di Henry Dudeney, i due massimi esperti di giochi matematici dell'Ottocento, è stato forse meno bravo di loro nei giochi, ma sicuramente migliore come matematico. Era nato a Londra, unico figlio di Walter Frederick Ball, un ricco commerciante inglese di petrolio e derivati. Dopo aver frequentato le scuole secondarie, entrò dapprima allo University College, dove si distinse tra i migliori studenti in matematica. Successivamente, nel 1871, si iscrisse al Trinity College di Cambridge, ottenendo la laurea con il massimo dei voti. Nel 1876 diventò avvocato, ma esercitò la professione per un brevissimo periodo. Nel 1877 ritornò a insegnare matematica, sempre al Trinity College, dove nel 1891 venne nominato «Direttore degli Studi Matematici».

Si è occupato di vari settori della matematica, in particolare di storia e di teoria dei numeri. Fu lui a battezzare «numeri di Mersenne» i numeri del tipo (2^n — 1), dove n è un numero primo.

La sua opera più nota è una storia della matematica, A Short Account of the History of Mathematics, pubblicata nel 1892, che ebbe grande diffusione.

Il libro che a noi interessa è la sua raccolta di giochi matematici, Mathematical Recreations and Essays (Divertimenti matematici e problemi), pubblicata nel 1892 e che ebbe un grande successo, come testimoniano le numerose riedizioni che ne sono state fatte, fino ai giorni nostri. Le ultime quattro sono state curate da H.S.M. Coxeter, considerato uno dei maggiori geometri del XX secolo.

Si tratta in pratica di un'ampia rassegna storica dei giochi e dei problemi più divertenti e più popolari, dai tempi dell'Antica Grecia all'Ottocento. Sono problemi che, in versioni più o meno simili, sono stati ripresi in epoche diverse, dimostrando come i giochi matematici abbiano una grande tradizione.

Grazie a un lascito dello stesso Rouse Ball, che si dice fosse un abile uomo d'affari, nel 1927 venne istituita la Rouse Ball Professorship of Mathematics, una cattedra, sia all'Università di Cambridge che all'Università di Oxford, con «la speranza (senza essere però una condizione) — scrisse Rouse Ball — che venga concessa al docente che vorrà includere nelle sue lezioni gli aspetti storici e filosofici della disciplina». Dal 1973 al 1999, Rouse Ball Professor all'Università di Oxford è stato Roger Penrose (cap. 16).

Mathematical Recreations and Essays è una autentica enciclopedia dei giochi matematici. Si parla, fra l'altro, di teoria dei numeri, di problemi aritmetici e algebrici, di quadrati magici, di geometria e di topologia, di origami e di scacchi, del domino e di tassellature. È un'opera ancora oggi di grande interesse. L'edizione che noi abbiamo sottomano è la traduzione francese della quarta edizione inglese dell'opera, pubblicata a Parigi nel 1908, integrata da alcuni capitoli di autori diversi, che l'editore francese ha ritenuto opportuno aggiungere a complemento di quanto pubblicato da Rouse Ball.

Quelli che seguono sono alcuni dei Problemi e giochi matematici divertenti di Rouse Ball, scelti per il divertimento del lettore.

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14 MARTIN GARDNER. IL GRANDE AMICO DELLA MATEMATICA

L'insegnante di matematica di scuola superiore che rimprovera due studenti sorpresi a giocare di nascosto una partita di filetto invece di stare attenti alla lezione, farebbe meglio a fermarsi e chiedersi: «Per questi studenti questo gioco è più interessante, dal punto di vista matematico, di ciò che sto loro dicendo?» In effetti, una discussione in aula sul filetto non sarebbe una cattiva introduzione a diverse branche della matematica moderna. Martin Gardner, dall'Introduzione a Enigmi e giochi matematici

1. La matematica per divertimento Martin Gardner (1914-2010), sicuramente il più grande esperto in giochi matematici del XX secolo, non ha inventato nuovi giochi straordinari, ma è stato l'amico di tanti matematici, e il loro mentore nel campo dei giochi. Senza il suo intervento, sulla celebre rubrica di giochi matematici di Scientific American (Le Scienze in Italia) che ha curato per trent'anni, chissà se sarebbero diventati mai popolari gli Esaflexagoni, i Polimini, il Gioco della vita, le Tassellature di Penrose e tanti altri giochi cui sono dedicati molti capitoli di questo libro, giochi che Gardner analizzò accuratamente con gli stessi autori e con i suoi numerosi lettori.

Personalmente, quando sono arrivato all'insegnamento, uscivo da una scuola ferma a «formule e calcolo», dove il gioco era considerato una perdita di tempo. Davanti a ragazzi annoiati, che non capivano bene cosa andavo loro insegnando e quale utilità potesse avere, scoprii proprio grazie a Martin Gardner la strada del gioco, la più semplice e immediata per portare gli studenti alla matematica. È grande il mio debito con lui.

Figlio di un geologo che gli insegnò i primi trucchi di magia, non seguì studi matematici, ma si laureò in filosofia all'Università di Chicago, nel 1936. Dopo le prime esperienze come giornalista, nel 1941 si arruolò nella Marina e per quattro anni, come sottufficiale, ebbe il compito di rilevare la presenza di sommergibili nazisti. Alla fine della seconda guerra mondiale ritornò a Chicago continuando la sua carriera di giornalista e scoprendo ben presto la sua vera passione, i giochi matematici. Quando lasciò la sua rubrica di Scientific American, venne chiamato per sostituirlo Douglas Hofstadter , che scrisse: «Martin Gardner è una delle più grandi intelligenze prodotte in questo paese in questo secolo». È morto il 22 maggio 2010. Da qualche anno viveva a Norman (Oklahoma), in un ricovero per anziani.

Ha scritto più di cento libri e migliaia di articoli tra giochi, puzzle e problemi divertenti di matematica. Uno dei suoi libri più famosi è la bellissima edizione delle avventure di Alice nel paese delle meraviglie e Attraverso lo specchio accuratamente annotata.

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15 RICHARD PHILLIPS FEYNMAN. UN ESAGONO PER SCOMPARIRE

Chi non conosce la matematica difficilmente riesce a cogliere la bellezza, la più intima bellezza, della natura. R.P. Feynman

1. La scienza come gioco C'è un premio Nobel tra gli autori dell' Esaflexagono, il gioco che presentiamo e che ha avuto un grande successo dapprima fra gli studenti di Princeton e poi di tutto il mondo. È Richard Phillips Feynman (1918-1988), originale e anticonformista, uno dei grandi protagonisti della fisica del XX secolo. È stato uno degli scienziati più popolari. Oppenheimer lo giudicò il giovane fisico più brillante del progetto Manhattan, il programma per la costruzione della prima bomba atomica, al quale partecipò appena venticinquenne. Quando nel 1965 vinse il premio Nobel per i suoi studi sull'elettrodinamica quantistica, «la strana teoria della luce e della materia», dichiarò: «Non amo i riconoscimenti, questi sono illusori, come i gradi e le uniformi, sono soltanto una noia e una seccatura». Impenitente dongiovanni, frequentatore di nightclub, divenne popolare fra gli studenti come suonatore di bongo. La dote di cui maggiormente si vantava, era la sua abilità nell'aprire qualsiasi cassaforte, ed era sempre pronto a mettere alla prova le sue doti di scassinatore.

«Il mio personale interesse per la scienza riguarda solo la possibilità di scoprire cose sul mondo, e più scopro, più aumenta il piacere della scoperta.» In queste parole sta il segreto del vero scienziato, che dev'essere prima di tutto curioso e saper condurre ogni indagine come un gioco.

«È come se Groucho Marx si trovasse improvvisamente a vestire i panni di un grande scienziato», ha detto di lui lo scrittore inglese C.P. Snow. Feynman sapeva che indossare la maschera del buffone era l'unico modo per far accettare verità scomode.

Feynman rivendicava il diritto dello scienziato al dubbio, a mettere sempre ogni cosa in discussione, a non accettare mai certezze, contro qualsiasi autorità, perché, affermava, la conoscenza scientifica non può portare a verità, ma soltanto a nuovi dubbi: «Lo scienziato convive quotidianamente con l'ignoranza, il dubbio e l'incertezza. Abbiamo scoperto che per poter progredire è fondamentale riconoscere la nostra ignoranza e lasciare spazio al dubbio. Noi scienziati ci siamo abituati e diamo per scontato che sia perfettamente coerente non essere sicuri, che si possa vivere e non sapere. Ma non sono sicuro che tutti se ne rendano conto. La nostra libertà di dubitare è nata da una lotta contro l'autorità, agli albori della scienza. È una lotta dura e difficile, per conquistarsi il diritto di metter le cose in discussione, di non accettare certezze, di dubitare. Non dovremmo dimenticarcene o rischieremmo di perdere quello che abbiamo conquistato. La nostra responsabilità nella società consiste in questo. Come scienziati dobbiamo insegnare che il dubbio non va temuto, ma accolto volentieri e discusso».

Feynman morì per un tumore, probabile conseguenza del suo lavoro in prima linea al progetto per la bomba atomica.

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18 JOHN HORTON CONWAY. IL MAGO DEI NUMERI

Quando ero a Cambridge, mi sentivo sovente in colpa, perché passavo le giornate giocando, mentre si pensava che lavorassi sulla matematica. Ma quando scoprii i numeri surreali, capii che giocare è matematica. John Horton Conway

1. Il sibarita matematico John Horton Conway, tre mogli, sette figli, tre nipoti e due pronipoti, è sicuramente uno dei più grandi matematici viventi e di certo uno dei più originali e simpatici. «Penso di essere un sibarita, amo la bellezza e amo bere e mangiare – affermava – anche se recentemente un infarto ha purtroppo cambiato la mia vita.»

Conway è nato in Gran Bretagna, a Liverpool, il 26 dicembre 1937. A quattro anni, racconta sua madre (ma forse è «leggenda»), recitava già, a memoria, la tabellina del 2. Faceva ancora le elementari quando dichiarava convinto di voler fare, da grande, il matematico, «anche se allora non sapevo bene di che cosa si occupasse realmente la matematica», confessa. «Quello che mi attirò irresistibilmente verso la matematica fu il misterioso rapporto fra oggetti diversi, che ne è la caratteristica fondamentale. C'è questo mondo meraviglioso della logica e delle relazioni, così difficile da vedere. Io posso vedere alberi, gatti e persone, ma c'è anche quest'altro mondo così potente, straordinariamente potente.»

Conway ha studiato all'università di Cambridge, dove divenne popolare per la sua passione per i giochi. Sempre a Cambridge iniziò la sua carriera, come docente di Matematica Pura, nel 1964. Nel 1986 passò a Princeton per occupare la cattedra che era stata di John von Neumann.

Barba e capelli normalmente arruffati, sempre pronto a provocare e stupire l'interlocutore, conosce a memoria le prime mille cifre del π e la posizione di tutte le stelle del cielo. Se gli si dà una data, in pochi secondi calcola il giorno corrispondente e la fase lunare. Potrebbe essere lui il «mago dei numeri», il diabolico personaggio inventato da Enzensberger , che riesce a far amare il mondo dei numeri a un ragazzo per il quale la matematica era soltanto un'ossessione.

Conway non nasconde il suo profondo amore per la matematica che considera il più bel gioco inventato dall'uomo. «Per molti la Matematica è soltanto una serie di sgradevoli artifici meccanici. Ma non è assolutamente vero! Per me è un argomento eccitante e sensuale. Mi piace, e personalmente ne ricavo più piacere di quanto molta gente non ne tragga dall'arte. Mi sento proprio come un artista. Mi piacciono le cose belle e queste sono lì, a portata di mano, l'uomo non le deve creare, ma soltanto scoprire. Io sono veramente stupefatto dalla bellezza della Natura. E la Matematica è Natura. Nessuno può aver inventato l'Universo matematico che aspettava soltanto di essere scoperto. È una cosa pazzesca. È straordinario! La Matematica, ad esempio, spiega perché i petali della rosa sono sistemati in un certo modo. E io ritengo di provare più piacere di altri nell'osservare una rosa perché conosco queste cose.»

I suoi studi riguardano diversi campi, dalla teoria dei gruppi, alla teoria dei giochi, la teoria dei numeri, la teoria dei nodi e tanti altri argomenti, con contributi importanti e originali.

Vedremo alcuni dei suoi lavori, ma vogliamo iniziare dal suo gioco più famoso, quello che lo ha reso popolare, anche al di fuori dell'ambiente matematico.

2. Life, il Gioco della Vita

Il gioco più affascinante, inventato da Conway, quello che personalmente amiamo di più, è il Gioco della Vita, che è diventato uno dei più popolari giochi matematici, anche grazie alle sue versioni per il computer, che ne semplificano l'uso.

Nonostante il nome, Conway era ben lontano dall'idea di voler simulare la vita quando iniziò ad occuparsi di questo gioco. La sua preoccupazione era invece la ricerca di quello che viene definito un Sistema universale. Life, come vedremo, è molto più di un gioco. Le sue origini risalgono a un'idea di von Neumann , il celebre matematico ungherese, uno dei padri del moderno computer e della teoria dei giochi, la cui cattedra, a Princeton, è attualmente occupata proprio da Conway.

Il suo gioco proponeva, almeno all'inizio, soltanto una versione «manuale», che prevedeva semplicemente un foglio di carta quadrettata e una matita, con la quale contrassegnare i quadretti, dei quadretti che verranno poi modificati secondo le regole del gioco. Il foglio rappresentava l'Universo a due dimensioni nel quale ogni quadretto, o cella, poteva avere soltanto due diversi stati, due possibili valori, di «vita» o di «morte».

Una serie di regole consentiva ai quadretti di «riprodursi» e di «aggregarsi» per formare «organismi» sempre più complessi. «Giocammo con ogni tipo di regole, studiando le loro conseguenze sulla popolazione delle cellule, per vedere cosa succedeva – dice ancora Conway. – Le cose tendevano a esplodere in popolazioni sempre più grandi oppure a scomparire. Il problema era quindi quello di trovare delle regole di vita e di morte tali per cui una popolazione tipo avesse una buona probabilità di non scomparire, ma neanche di crescere in maniera esponenziale.»

Dopo due anni di studio, aiutato da un gruppo di studenti e colleghi coinvolti nel gioco, Conway arrivò a un insieme di regole convincenti. Come i frattali, anche gli automi cellulari sono universi in miniatura di incredibile complessità, dai quali però si differenziano per la possibilità di subire trasformazioni nel tempo.

A quel punto, siamo nel 1970, Conway intuì il grande potenziale di gioco del suo sistema, che venne battezzato Life, e decise di scrivere a Martin Gardner (cap. 14), il quale presentò il gioco su Scientific American, rendendolo così immediatamente popolare. La diffusione del nuovo gioco favorì la scoperta di altre sorprendenti proprietà.

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