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Indice

Prefazione                                                  VII
Ringraziamenti                                              XIV
Notazione                                                  XVII
Prologo                                                       1

1   Le radici della scienza                                   7

1.1 La ricerca delle forze che modellano il mondo             7
1.2 Verità matematica                                         9
1.3 Il mondo matematico di Platone è «reale»?                12
1.4 Tre mondi e tre profondi misteri                         17
1.5 Il Buono, il Vero, il Bello                              22

2   Un antico teorema e una questione moderna                25

2.1 Il teorema di Pitagora                                   25
2.2 I postulati di Euclide                                   28
2,3 Dimostrazione del teorema di Pitagora
    per mezzo della similitudine di aree                     31
2.4 Geometria iperbolica: quadro conforme                    33
2.5 Altre rappresentazioni della geometria iperbolica        37
2.6 Aspetti storici della geometria iperbolica               42
2.7 Relazione con lo spazio fisico                           46

3   Tipi di numero nel mondo fisico                          51

3.1 Una catastrofe pitagorica?                               51
3.2 Il sistema dei numeri reali                              54
3.3 Numeri reali nel mondo fisico                            59
3.4 I numeri naturali hanno bisogno del mondo fisico?        63
3.5 I numeri discreti nel mondo fisico                       65

4   I magici numeri complessi                                71

4.1 Il magico numero «i»                                     71
4.2 La risoluzione di equazioni con l'impiego
    dei numeri complessi                                     74
4.3 La convergenza di serie di potenze                       76
4.4 Il piano complesso di Caspar Wessel                      81
4.5 Come costruire l'insieme di Mandelbrot                   83

5   La geometria di logaritmi, potenze e radici              86

5.1 La geometria dell'algebra complessa                      86
5.2 L'idea di logaritmo complesso                            90
5.3 Molteplicità di valori, logaritmi naturali               92
5.4 Potenze complesse                                        96
5.5 Alcune relazioni con la moderna fisica delle particelle 100

6   Il calcolo infinitesimale nel campo reale               103

6.1 Che cosa fa una funzione perbene?                       103
6.2 Pendenze di funzioni                                    105
6.3 Derivate di ordine superiore - Funzioni di classe C∞    107
6.4 La nozione «euleriana» di funzione?                     112
6.5 Le regole di derivazione                                114
6.6 L'integrazione                                          116

7   Calcolo infinitesimale con numeri complessi             122

7.1 Liscezza complessa, funzioni olomorfe                   122
7.2 Integrazione lungo il contorno                          123
7.3 Serie di potenze dalla liscezza complessa               127
7.4 La continuazione analitica                              129

8   Superfici di Riemann e applicazioni complesse           135

8.1 L'idea di superficie di Riemann                         135
8.2 Applicazioni conformi                                   139
8.3 La sfera di Riemann                                     142
8.4 Il genere di una superficie di Riemann compatta         145
8.5 Il teorema di Riemann sulle applicazioni                148

9   Sviluppo in serie di Fourier e iperfunzioni             153

9.1 Serie di Fourier                                        153
9.2 Funzioni su un cerchio                                  157
9.3 La suddivisione delle frequenze sulla sfera di Riemann  161
9.4 La trasformazione di Fourier                            164
9.5 Suddivisione delle frequenze dalla trasformata
    di Fourier                                              166
9.6 Quale genere di funzione è appropriato?                 169
9.7 Iperfunzioni                                            172

10   Superfici                                              179

10.1 Dimensioni complesse e dimensioni reali                179
10.2 Liscezza, derivate parziali                            181
10.3 Campi vettoriali e l-forme                             185
10.4 Componenti, prodotti scalari                           190
10.5 Le equazioni di Cauchy-Riemann                         193

11   Numeri ipercomplessi                                   198

11.1 L'algebra dei quaternioni                              198
11.2 Qual è il ruolo fisico dei quaternioni?                200
11.3 Geometria dei quaternioni                              203
11.4 Come combinare le rotazioni                            206
11.5 Algebre di Clifford                                    208
11.6 Algebre di Grassmann                                   211

12   Varietà di n dimensioni                                217

12.1 Perché studiare varietà di dimensioni maggiori?        217
12.2 Varietà e carte                                        221
12.3 Scalari, vettori e covettori                           223
12.4 Prodotti di Grassmann                                  227
12.5 Integrali di forme                                     229
12.6 Il differenziale esterno                               231
12.7 Elemento di volume; convenzione per le somme           237
12.8 Tensori: indici astratti e notazione diagrammatica     239
12.9 Varietà complesse                                      243

13   Gruppi di simmetria                                    247

13.1 Gruppi di trasformazioni                               247
13.2 Sottogruppi e gruppi semplici                          251
13.3 Trasformazioni lineari e matrici                       254
13.4 Determinanti e tracce                                  260
13.5 Autovalori e autovettori                               263
13.6 Teoria della rappresentazione e algebre di Lie         266
13.7 Rappresentazioni tensoriali; riducibilità              270
13.8 Gruppi ortogonali                                      275
13.9 Gruppi unitari                                         281
13.10 Gruppi simplettici                                    286

14   Calcolo infinitesimale sulle varietà                   292

14.1 Differenziazione su una varietà?                       292
14.2 Trasporto parallelo                                    294
14.3 Derivata covariante                                    298
14.4 Curvatura e torsione                                   301
14.5 Geodetiche, parallelogrammi e curvatura                303
14.6 Derivata di Lie                                        309
14.7 Ciò che una metrica può fare per voi                   317
14.8 Varietà simplettiche                                   321

15   Fibrati e connessioni di gauge                         325

15.1 Alcune motivazioni fisiche per i fibrati               325
15.2 L'idea matematica di fibrato                           328
15.3 Sezioni di fibrati                                     331
15.4 Il fibrato di Clifford                                 334
15.5 Fibrati vettoriali complessi, fibrati (co)tangenti     338
15.6 Spazi proiettivi                                       341
15.7 Non banalità in una connessione di fibrato             345
15.8 La curvatura del fibrato                               349

16   La scala dell'infinito                                 357

16.1 Campi finiti                                           357
16.2 Una geometria finita o infinita per la fisica?         359
16.3 Infiniti di differente grandezza                       364
16.4 Il procedimento diagonale di Cantor                    367
16.5 Enigmi nei fondamenti della matematica                 371
16.6 Macchine di Turing e teorema di Gödel                  374
16.7 Grandezze di infinito in fisica                        378

17   Lo spaziotempo                                         383

17.1 Lo spaziotempo della fisica aristotelica               383
17.2 Spaziotempo per la relatività galileiana               385
17.3 La dinamica newtoniana in termini di spaziotempo       388
17.4 Il principio d'equivalenza                             390
17.5 Lo «spaziotempo newtoniano» di Cartan                  394
17.6 La costanza della velocità finita della luce           399
17.7 Coni luce                                              401
17.8 L'abbandono del tempo assoluto                         404
17.9 Lo spaziotempo della relatività generale di Einstein   408

18   La geometria di Minkowski                              412

18.1 Il 4-spazio euclideo e quello di Minkowski             412
18.2 I gruppi di simmetria dello spazio di Minkowski        415
18.3 Ortogonalità lorentziana; il «paradosso dell'orologio» 417
18.4 Geometria iperbolica nello spazio di Minkowski         422
18.5 La sfera celeste come sfera di Riemann                 428
18.6 Energia, quantità di moto e momento angolare
     in meccanica newtoniana                                431
18.7 Energia, quantità di moto e momento angolare in
     meccanica relativistica                                434

19   I campi classici di Maxwell ed Einstein                440

19.1 L'evoluzione dalla dinamica newtoniana                 440
19.2 La teoria elettromagnetica di Maxwell                  442
19.3 Leggi di conservazione e di flusso nella teoria
     di Maxwell                                             446
19.4 Il campo di Maxwell come curvatura di gauge            449
19.5 Il tensore energia-quantità di moto                    455
19.6 L'equazione di campo di Einstein                       459
19.7 Ulteriori questioni: costante cosmologica;
     tensore di Weyl                                        462
19.8 L'energia del campo gravitazionale                     464

20   Lagrangiane e hamiltoniane                             471

20.1 Il magico formalismo lagrangiano                       471
20.2 Il più simmetrico formalismo hamiltoniano              475
20.3 Piccole oscillazioni                                   478
20.4 La dinamica hamiltoniana come geometria simplettica    483
20.5 Il trattamento lagrangiano dei campi                   486
20.6 Come le lagrangiane guidano la teoria moderna          489

21   La particella quantistica                              493

21.1 Variabili non commutanti                               493
21.2 Hamiltoniane quantistiche                              496
21.3 L'equazione di Schrödinger                             498
21.4 Le basi sperimentali della teoria quantistica          500
21.5 L'interpretazione del dualismo onda-particella         505
21.6 Che cos'è la «realtà» quantistica?                     507
21.7 La natura «olistica» di una funzione d'onda            511
21.8 I misteriosi «salti quantici»                          516
21.9 La distribuzione di probabilità in una funzione d'onda 517
21.10 Stati di posizione                                    520
21.11 Descrizione dello spazio del momento                  521

22   Algebra, geometria e spin quantistici                  527

22.1 Le procedure quantistiche U e R                        527
22.2 La linearità di U e i suoi problemi a causa di R       530
22.3 Struttura unitaria, spazio di Hilbert, notazione
     di Dirac                                               533
22.4 Evoluzione unitaria: Schrödinger e Heisenberg          535
22.5 «Osservabili» quantistiche                             538
22.6 Misurazioni SI/NO; proiettori                          542
22.7 Misurazioni nulle; elicità                             544
22.8 Spin e spinori                                         549
22.9 La sfera di Riemann dei sistemi a due stati            553
22.10 Spin maggiori: descrizione di Majorana                559
22.11 Armoniche sferiche                                    562
22.12 Momento angolare quantistico relativistico            566
22.13 Il generale oggetto quantistico isolato               570

23   Il mondo quantistico entangled                         578

23.1 La meccanica quantistica di sistemi di molte particelle578
23.2 L'enormità dello spazio degli stati di molte particelle580
23.3 Entanglement quantistico; disuguaglianze di Bell       583
23.4 Esperimenti EPR di tipo Bohm                           586
23.5 L'esempio EPR di Hardy: quasi senza probabilità        590
23.6 I due misteri dell'entanglement quantistico            592
23.7 Bosoni e fermioni                                      594
23.8 Gli stati quantici di bosoni e fermioni                597
23.9 Teletrasporto quantistico                              599
23.10 Quanglement                                           603

24   L'elettrone di Dirac e le antiparticelle               609

24.1 Il conflitto tra la teoria quantistica e la relatività 609
24.2 Perché le antiparticelle implicano i campi quantistici?610
24.3 Positività dell'energia in meccanica quantistica       612
24.4 Le difficoltà con la formula relativistica dell'energia614
24.5 La non invarianza di ∂/∂t                              616
24.6 La radice quadrata di Clifford-Dirac dell'operatore
     d'onda                                                 618
24.7 L'equazione di Dirac                                   620
24.8 Il cammino di Dirac verso il positrone                 622

25   Il modello standard della fisica delle particelle      627

25.1 Le origini della moderna fisica delle particelle       627
25.2 La rappresentazione zig-zag dell'elettrone             628
25.3 Interazioni elettrodeboli; asimmetria speculare        632
25.4 Coniugazione di carica, parità e inversione temporale  638
25.5 Il gruppo di simmetria elettrodebole                   640
25.6 Particelle con interazione forte                       645
25.7 I «quark colorati»                                     648
25.8 Al di là del modello standard?                         651

26   La teoria quantistica dei campi                        655

26.1 La posizione fondamentale della QFT
     nella moderna teoria                                   655
26.2 Operatori di creazione e distruzione                   657
26.3 Algebre infinito-dimensionali                          660
26.4 Le antiparticelle nella QFT                            662
26.5 Vuoti alternativi                                      664
26.6 Interazioni: lagrangiane e integrali sui cammini       665
26.7 Integrali divergenti sui cammini:
     la risposta di Feynman                                 670
26.8 La costruzione dei diagrammi di Feynman; la matrice S  672
26.9 La rinormalizzazione                                   675
26.10 I diagrammi di Feynman a partire dalle lagrangiane    680
26.11 I diagrammi di Feynman e la scelta del vuoto          681

27   Il Big Bang e il suo retaggio termodinamico            686

27.1 La simmetria temporale nell'evoluzione dinamica        686
27.2 Ingredienti submicroscopici                            688
27.3 L'entropia                                             690
27.4 La forza del concetto d'entropia                       692
27.5 Derivazione della seconda legge — o no?                696
27.6 L'intero universo è un «sistema isolato»?              699
27.7 Il ruolo del Big Bang                                  702
27.8 I buchi neri                                           707
27.9 Orizzonti degli eventi e singolarità spaziotemporali   712
27.10 L'entropia dei buchi neri                             714
27.11 Cosmologia                                            717
27.12 I diagrammi conformi                                  723
27.13 Il nostro straordinariamente speciale Big Bang        726

28   Teorie speculative sull'universo primordiale           735

28.1 La rottura spontanea di simmetria nell'universo
     primordiale                                            735
28.2 Difetti topologici cosmici                             739
28.3 Problemi per la rottura di simmetria nell'universo
     primordiale                                            743
28.4 La cosmologia inflazionaria                            746
28.5 Le motivazioni per l'inflazione sono valide?           753
28.6 Il principio antropico                                 757
28.7 La natura speciale del Big Bang:
     una soluzione antropica?                               762
28.8 L'ipotesi della curvatura di Weyl                      765
28.9 La proposta «senza frontiera» di Hartle-Hawking        769
28.10 Parametri cosmologici: stato delle osservazioni?      772

29   Il paradosso della misura                              782

29.1 Le ontologie convenzionali della meccanica quantistica 782
29.2 Ontologie non convenzionali per la teoria quantistica  785
29.3 La matrice densità                                     791
29.4 Matrici densità per spin 1/2 : la sfera di Bloch       793
29.5 La matrice densità in situazioni EPR                   797
29.6 Filosofia FAPP della decoerenza ambientale             802
29.7 Il gatto di Schrödinger con l'ontologia di «Copenaghen»804
29.8 Altre ontologie convenzionali possono risolvere
     il «paradosso del gatto»?                              806
29.9 Quali ontologie non convenzionali possono essere
     d'aiuto?                                               810

30   Il ruolo della gravità nella riduzione dello stato
     quantico                                               816

30.1 L'odierna teoria quantistica è destinata a rimanere?   816
30.2 Indizi dall'asimmetria temporale cosmologica           817
30.3 Asimmetria temporale nella riduzione dello stato
     quantico                                               820
30.4 La temperatura di Hawking dei buchi neri               823
30.5 La temperatura dei buchi neri dalla periodicità
     complessa                                              827
30.6 Vettori di Killing, flusso d'energia - e viaggio
     nel tempo!                                             833
30.7 Deflusso d'energia da orbite a energia negativa        836
30.8 Esplosioni di Hawking                                  838
30.9 Una prospettiva più radicale                           842
30.10 Il blocco di Schrödinger                              846
30.11 Il conflitto fondamentale con i principi di Einstein  850
30.12 Stati di Schrödinger-Newton preferiti?                854
30.13 FELIX e proposte collegate                            856
30.14 Origine delle fluttuazioni nell'universo primordiale  861

31   Supersimmetria, sopradimensionalità e stringhe         869

31.1 Parametri non spiegati                                 869
31.2 La supersimmetria                                      873
31.3 L'algebra e la geometria della supersimmetria          877
31.4 Spaziotempo di dimensionalità più alta                 880
31.5 L'originaria teoria adronica delle stringhe            884
31.6 Verso una teoria delle stringhe del mondo              887
31.7 Motivazioni di stringa per dimensioni extra
     dello spaziotempo                                      890
31.8 La teoria delle stringhe come gravità quantistica?     892
31.9 La dinamica delle stringhe                             895
31.10 Perché non vediamo le dimensioni spaziali extra?      897
31.11 Dobbiamo accettare l'argomento di stabilità
      quantistica?                                          902
31.12 Instabilità classica delle dimensioni extra           905
31.13 La teoria delle stringhe è una QFT finita?            908
31.14 I magici spazi di Calabi-Yau; la M-teoria             910
31.15 Stringhe ed entropia dei buchi neri                   916
31.16 Il «principio olografico»                             920
31.17 Il punto di vista delle D-brane                       923
31.18 Qual è lo stato fisico della teoria delle stringhe?   926

32   Il cammino più rigoroso di Einstein;
     le variabili di loop                                   934

32.1 La gravità quantistica canonica                        934
32.2 L'input chirale alle variabili di Ashtekar             935
32.3 La forma delle variabili di Ashtekar                   938
32.4 Variabili di loop                                      941
32.5 La matematica di nodi e collegamenti                   944
32.6 Reti di spin                                           947
32.7 Qual è lo status della gravità quantistica di loop     952

33   Prospettive più radicali; teoria dei twistor           958

33.1 Teorie in cui la geometria ha elementi discreti        958
33.2 I twistor come raggi luminosi                          962
33.3 Gruppo conforme; spazio compattificato di Minkowski    968
33.4 I twistor come spinori di dimensione più elevata       972
33.5 Geometria fondamentale e coordinate dei twistor        974
33.6 Geometria dei twistor come particelle non massive
     con spin                                               978
33.7 La teoria quantistica dei twistor                      982
33.8 Descrizione twistoriale dei campi non massivi          985
33.9 Coomologia twistoriale di fasci                        987
33.10 Twistor e suddivisione in frequenze positive e
      negative                                              993
33.11 Il gravitone non lineare                              995
33.12 Twistor e relatività generale                        1000
33.13 Verso una teoria twistoriale della fisica delle
      particelle                                           1001
33.14 Qual è il futuro della teoria dei twistor?           1003

34   Dove si trova la strada verso la realtà?              1010

34.1 Le grandi teorie della fisica del ventesimo
     secolo — e al di là?                                  1010
34.2 La fisica fondamentale guidata dalla matematica       1014
34.3 Il ruolo della moda nella teoria fisica               1017
34.4 Una teoria erronea può essere sperimentalmente
     falsificata?                                          1020
34.5 Da dove possiamo aspettarci la prossima rivoluzione
     fisica?                                               1024
34.6 Che cos'è la realtà?                                  1027
34.7 I ruoli dell'attività mentale nella teoria fisica     1030
34.8 La nostra lunga strada matematica verso la realtà     1033
34.9 Bellezza e miracoli                                   1038
34.10 La risposta a domande profonde suscita domande
      ancora più profonde                                  1043

Epilogo                                                    1048

Bibliografia                                               1051

Indice dei nomi                                            1085

 

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Pagina VII

Il lettore scoprirà che in questo libro non sono rifuggito dal presentare formule matematiche, nonostante i numerosi ammonimenti riguardo alla notevole riduzione del numero di lettori che ciò avrebbe implicato. Ho riflettuto seriamente su tale questione e sono arrivato alla conclusione che ciò che devo dire non può essere ragionevolmente comunicato senza un certo impiego di notazioni matematiche e senza esplorare autentici concetti matematici. La nostra comprensione dei principi che sono alla base del comportamento del mondo fisico dipende veramente da un certo apprezzamento della matematica. Alcuni potrebbero considerare ciò motivo di disperazione, poiché si sono convinti di non possedere alcuna capacità matematica, neppure la più elementare. Come potrebbero comprendere la ricerca in corso alla frontiera avanzata della fisica, se non possono neppure padroneggiare la manipolazione delle frazioni? Mi rendo conto di questa difficoltà.

Sono comunque ottimista riguardo alla trasmissione di comprensione. Forse sono un inguaribile ottimista, ma mi chiedo se questi potenziali lettori che non sono in grado di manipolare frazioni — o quelli che affermano di non sapere manipolare frazioni — non ingannino se stessi, almeno in parte, e se molti di loro non possiedano effettivamente una capacità potenziale che ignorano di avere. Vi sono senza dubbio alcuni che, messi di fronte a una riga di simboli matematici, per quanto possano essere semplici, riescono a vedere soltanto il volto severo di un genitore o di un insegnante che cercava d'instillare in loro un'apparente competenza pappagallesca — un dovere, soltanto un dovere —, senza che alcuna traccia della magia o della bellezza del soggetto potesse sopravvivere. Per alcuni, forse, è troppo tardi; ma, come ho già detto, sono un ottimista e credo che vi siano ancora molti, persino tra quelli che non potrebbero mai padroneggiare le frazioni, che hanno la capacità di afferrare qualche vaga percezione di un mondo meraviglioso che io reputo debba essere per loro veramente accessibile.

[...]

Mi ricordo che a scuola, quando avevo più o meno undici anni, fui preso alla sprovvista quando l'insegnante chiese alla classe che cosa fosse effettivamente una frazione (come, per esempio, 3/8)! La classe propose vari suggerimenti che riguardavano la divisione di torte in pezzi e cose simili, ma furono tutti respinti dall'insegnante per un giusto motivo: si riferivano soltanto a situazioni fisiche poco precise, cui doveva essere applicata la nozione matematica precisa di frazione. Non ci dicevano cosa fosse effettivamente quella chiara nozione matematica. Seguirono altri suggerimenti, tipo che 3/8 è «qualcosa con un tre in alto e un otto in basso e una linea in mezzo» e fui decisamente sorpreso scoprendo che l'insegnante sembrava prendere sul serio queste proposte! Non ricordo precisamente come fu risolta alla fine la questione, ma con il senno di poi, acquistato molto più tardi grazie ai miei studi universitari di matematica, posso supporre che l'insegnante stesse facendo un coraggioso tentativo di presentarci la definizione di frazione in termini dell'onnipresente nozione matematica di classe d'equivalenza.

Cos'è questa nozione? Come può essere applicata a una frazione e dirci che cosa è effettivamente una frazione? Partiamo dal suggerimento «qualcosa con un tre in alto e un otto in basso». Ciò ci propone fondamentalmente che una frazione è specificata da una coppia ordinata di numeri interi, in questo caso i numeri 3 e 8. Ma evidentemente non possiamo considerare che una frazione sia una simile coppia ordinata, perché la frazione 6/16, per esempio, è lo stesso numero della frazione 3/8, mentre la coppia (6, 16) non è certamente uguale alla coppia (3, 8). Questo è proprio il problema della semplificazione. Possiamo scrivere infatti 6/16 come 3 x 2/8 x 2 e poi cancellare il 2 da sopra e da sotto ottenendo 3/8. Perché possiamo fare ciò e in tal modo «eguagliare» in un certo senso la coppia (6, 16) alla coppia (3, 8)? La risposta del matematico - che può sembrare decisamente una «scappatoia» – è che la cancellazione è inclusa proprio nella definizione di frazione: una coppia di numeri interi (a x n, b x n) è destinata a rappresentare la stessa frazione della coppia (a, b) ogni volta che n è un numero intero diverso da zero (si tenga presente che anche b non può essere zero).

Ma persino questo non ci dice cos'è una frazione; ci dice soltanto qualcosa sul modo con cui rappresentiamo le frazioni. Che cosa è allora una frazione? In base alla nozione matematica di «classe d'equivalenza», la frazione 3/8, per esempio, è semplicemente la collezione infinita di tutte le coppie

Questa definizione realizza tutto ciò di cui abbiamo matematicamente bisogno per le frazioni (come il fatto che è un numero che aggiunto a se stesso dà il numero 1, eccetera) e la stessa operazione di cancellazione è, come abbiamo visto, inclusa nella definizione. Tuttavia, tutto ciò sembra molto formale e possiamo davvero chiederci se descriva efficacemente la nozione intuitiva di ciò che è una frazione. Anche se questo onnipresente procedimento di classe d'equivalenza, di cui l'applicazione di prima è soltanto un esempio particolare, è uno strumento molto potente nel campo della matematica pura per stabilire coerenza ed esistenza matematica, può fornirci entità dall'aspetto molto pesante. Per esempio, ci trasmette con difficoltà la nozione intuitiva di che cos'è 3/8! Non mi meraviglia che l'amica di mia madre fosse confusa.

Nelle mie descrizioni di nozioni matematiche cercherò di evitare, per quanto posso, il genere di pedanteria matematica che ci porta a definire una frazione come una «classe infinita di coppie», sebbene tali concetti siano importanti nel campo del rigore e della precisione matematica. In queste mie descrizioni cercherò soprattutto di trasmettere l'idea – e la bellezza e la magia – inerente a molte e importanti nozioni matematiche. L'idea di una frazione come 3/8 si basa semplicemente sul fatto che essa è una specie d'entità che ha la proprietà di dare 3, quando è sommata a se stessa 8 volte. La magia risiede nel fatto che l'idea di frazione funziona effettivamente, nonostante non abbiamo realmente esperienza diretta di cose che nel mondo fisico sono esattamente quantificate da frazioni – le fette di torta portano solo ad approssimazioni. (Ciò è molto diverso dal caso dei numeri naturali, come 1, 2, 3, che quantificano con precisione numerose entità appartenenti alla nostra esperienza diretta.) Un modo per comprendere che le frazioni hanno davvero un senso coerente è impiegare questa «definizione» in termini di collezioni infinite di coppie di numeri interi, come abbiamo indicato in pre- cedenza. Ma ciò non significa che 3/8 sia effettivamente una collezione del genere. È meglio pensare che 3/8 sia un'entità con una sua esistenza (platonica) e che la collezione infinita di coppie sia soltanto un nostro modo di scendere a patti con la coerenza di questo tipo d'identità. Familiarizzando con essa, cominciamo a credere di potere facilmente comprendere una nozione come 3/8 come qualcosa che ha davvero una sua esistenza e che l'idea di «collezione infinita di coppié» sia soltanto un accorgimento pedante — un accorgimento che rapidamente scompare dalla nostra immaginazione una volta che l'abbiamo compreso. Gran parte della matematica è così fatta.

La matematica per un matematico (almeno per la maggior parte, per quanto ne so) non è soltanto un'attività culturale che noi stessi abbiamo creato, ma ha una sua vita e gran parte di essa si trova in stupefacente armonia con l'universo fisico. Non possiamo comprendere profondamente le leggi che reggono il mondo fisico senza entrare nel mondo della matematica. In particolare, la precedente nozione di classe d'equivalenza è pertinente non soltanto a molta matematica importante (ma ambigua), ma anche a molta fisica importante (e ambigua), come la teoria della relatività generale di Einstein e i principi delle «teorie di gauge» che descrivono le forze naturali secondo la moderna fisica delle particelle. Nel campo della fisica moderna non si può evitare di affrontare le sottigliezze di una grande quantità di matematica sofisticata. È per questo motivo che ho dedicato i primi 16 capitoli di questo libro a una descrizione di idee matematiche.

Quali consigli posso dare al lettore affinché possa cavarsela? Questo libro può essere letto a quattro livelli. Forse siete lettori che si preoccupano semplicemente ogni volta che compare una formula matematica (e alcuni di questi lettori possono avere difficoltà ad accettare le frazioni). Se è così, credo che possiate guadagnare molto da questo libro, semplicemente saltando tutte le formule e leggendo soltanto le parole. Quando ero adolescente, facevo anch'io la stessa cosa con le riviste di scacchi che erano disseminate in casa. Gli scacchi occupavano gran parte della vita dei miei fratelli e dei miei genitori, ma personalmente m'interessavano pochissimo, tranne per il fatto che mi piaceva leggere gli exploit di quegli eccezionali e spesso bizzarri personaggi che si dedicavano a questo gioco. Traevo qualche beneficio dalla lettura della brillantezza delle mosse che spesso facevano, anche se non le comprendevo e non m'impegnavo a seguirle sulla scacchiera. Tuttavia, la ritenevo un'attività divertente e illuminante che poteva attrarre la mia attenzione. Spero, allo stesso modo, che le descrizioni matematiche qui presentate possano interessare un po' anche ai lettori che non amano per niente la matematica, se avranno il coraggio o la curiosità di seguirmi in questo viaggio d'investigazione delle idee matematiche e fisiche che sembrano stare alla base del nostro universo fisico. Non abbiate timore di tralasciare le equazioni (spesso lo faccio anch'io) e tralasciate anche, se lo desiderate, interi capitoli o parti di capitolo quando cominciano a essere un po' troppo pesanti! Vi sono moltissime difficoltà e moltissimi tecnicismi nella materia, quindi passate ad altro che può essere più di vostro gradimento. Potete semplicemente scegliere di immergervi e dare un'occhiata. La mia speranza è che i numerosi riferimenti incrociati possano illuminare a sufficienza nozioni sconosciute, in modo che sia possibile rintracciare i concetti e le notazioni occorrenti, ritornando per chiarimenti a sezioni in precedenza tralasciate.

A un secondo livello, siete forse lettori pronti a esaminare formule matematiche, ogni volta che una di esse è presentata, ma non avete la tendenza (e forse neppure il tempo) a verificare per vostro conto le affermazioni che farò. Le conferme di molte di queste affermazioni costituiscono le soluzioni degli esercizi che ho disseminato nelle parti matematiche del libro.

Se, d'altra parte, siete lettori che desiderano veramente acquistare dimestichezza con queste varie (importanti) nozioni matematiche, ma non avete molta familiarità con le idee che descrivo, spero che l'elaborazione di questi esercizi vi possa fornire un significativo aiuto nel raggiungimento di queste capacità. Spesso in matematica la riflessione personale può offrire una comprensione più profonda sulle cose rispetto a quella offerta da una semplice lettura. (Se avete bisogno delle soluzioni degli esercizi, controllate il sito web www.roadsolutions.ox.ac.uk).

Infine, forse siete già esperti, nel qual caso non dovreste avere alcuna difficoltà con la matematica (che vi sarà molto familiare) e può darsi che non desidererete perdere tempo con gli esercizi. Potrete tuttavia ottenere qualcosa dai miei punti di vista, che probabilmente sono diversi (e talvolta molto diversi) da quelli consueti su un certo numero di temi. Potreste essere interessati a conoscere le mie opinioni riguardo a un certo numero di teorie moderne (per esempio la supersimmetria, la cosmologia inflazionaria, la natura del Big Bang, i buchi neri, la teoria delle stringhe o M-teoria, le variabili di loop nella gravità quantistica, la teoria dei twistor, persino gli stessi fondamenti della teoria quantistica). In molti di questi temi, senza dubbio troverete diversi punti sui quali non sarete d'accordo con me. Ma le controversie hanno un ruolo importante nello sviluppo della scienza: non ho quindi alcun rammarico nel presentare, come farò, opinioni che possono essere ritenute parzialmente in disaccordo con alcune delle tendenze dominanti della moderna fisica teorica.

L'argomento principale di questo libro è davvero la relazione tra matematica e fisica e il modo con cui l'interazione tra queste due discipline influenza gli stimoli che stanno alla base delle nostre ricerche per una migliore teoria dell'universo. In molti sviluppi moderni, un ingrediente essenziale di questi stimoli è costituito dalla valutazione di bellezza, profondità e sofisticazione matematica. Tali influenze matematiche possono essere d'importanza vitale, come nel caso di alcuni dei più significativi successi della fisica del ventesimo secolo: l'equazione di Dirac per l'elettrone, lo schema generale della meccanica quantistica, la relatività generale di Einstein. Ma in tutti questi casi le considerazioni fisiche – in ultima analisi quelle osservazionali – hanno fornito i criteri predominanti per la loro accettazione. In molte delle idee moderne per un progresso fondamentale della nostra comprensione delle leggi dell'universo, adeguati criteri fisici – cioè dati sperimentali o persino la possibilità di investigazioni sperimentali — non sono disponibili e possiamo chiederci se i desiderata matematici disponibili sono sufficienti per riuscire a valutare le probabilità di successo per queste idee. È un problema molto delicato e cercherò di sollevare questioni che credo non siano mai state discusse a sufficienza altrove.

Anche se, in alcune sezioni, presenterò opinioni che possono essere considerate discutibili, mi sono preoccupato di mostrare al lettore quando mi prendo effettivamente questa libertà. Questo libro può quindi essere davvero impiegato come un'autentica guida alle idee basilari (e alle meraviglie) della fisica moderna. E considerando la comprensibilità del contenuto e il fatto che siamo ormai entrati nei primi anni del terzo millennio, il testo è appropriato per l'uso didattico come introduzione alla fisica moderna.

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Pagina 17

Si può osservare, riguardo al primo di questi misteri — che collega il mondo matematico platonico con quello fisico —, che io accetto che soltanto una piccola parte del mondo matematico sia importante per il funzionamento del mondo fisico. È certo che oggigiorno la maggior parte delle attività dei matematici puri non abbia alcuna ovvia connessione con la fisica, e neppure con qualsiasi altra scienza (vedi §34.9), sebbene spesso possiamo essere sorpresi da inaspettate e importanti applicazioni. Analogamente, a proposito del secondo mistero, per mezzo del quale le facoltà mentali vengono in associazione con certe strutture fisiche (più specificamente, con cervelli umani sani e vigili), non insisto sul fatto che la maggior parte di tali strutture fisiche necessiti di persuadere l'intelligenza. Mentre il cervello di un gatto può davvero evocare qualità mentali, non richiedo che la stessa cosa valga per una roccia. Per il terzo mistero, infine, considero evidente che solo una piccola frazione della nostra attività mentale riguardi necessariamente verità matematiche assolute! (Più probabilmente ci occupiamo dei molteplici piaceri, irritazioni, preoccupazioni, eccitazioni e cose simili che riempiono le nostre vite quotidiane.) Questi tre fatti sono rappresentati dalle scarse dimensioni della base della connessione di ciascun mondo con il successivo, quando i mondi nel diagramma sono presi in senso orario. È, tuttavia, nell'inclusione della totalità di ciascun mondo nell'ambito della sua connessione con il mondo precedente che rivelo i miei pregiudizi.

In questo modo, secondo la fig. 1.3, l'intero mondo fisico sembra essere come governato da leggi matematiche. Vedremo nei capitoli successivi come vi siano forti, sia pure incomplete, prove a supporto di questa tesi. Secondo questo punto di vista, tutte le cose nell'universo fisico sono davvero governate, in modo dettagliato e preciso, da principi matematici — forse da equazioni, come quelle di cui verremo a conoscenza nei capitoli successivi, o forse da alcune future nozioni matematiche fondamentalmente diverse da quelle che oggi etichettiamo con il termine «equazioni». Se questo è vero, allora perfino le nostre azioni fisiche sarebbero interamente soggette a un tale controllo matematico finale, dove questo «controllo» potrebbe ancora consentire un certo comportamento casuale governato da rigorosi principi probabilistici.

Molti si sentono a disagio con asserzioni di questo genere, e devo confessare che io stesso provo questa sensazione. Tuttavia sono pregiudizialmente favorevole a questa natura generale, poiché non si vede come possa essere tracciato un confine che separi le azioni fisiche sotto controllo matematico da quelle che potrebbero esserne al di fuori. A mio parere, il disagio mio e di molti lettori su tale questione deriva in parte da una nozione molto ristretta di ciò che il «controllo matematico» potrebbe comportare. Questo libro si propone tra l'altro di accennare e rivelare al lettore qualcosa della straordinaria ricchezza, potenza e bellezza che può scaturire una volta che sono state scoperte le giuste nozioni matematiche.

[...]

Di alcuni dei problemi che riguardano questo terzo mistero ci occuperemo nel prossimo capitolo (e più esplicitamente in §§16.5,6) in relazione alla nozione di dimostrazione matematica. La spinta principale di questo libro ha a che fare però con il primo di questi misteri: la notevole relazione tra la matematica e il reale comportamento del mondo fisico. Non si può apprezzare adeguatamente lo straordinario potere della scienza moderna senza qualche conoscenza di queste idee matematiche. Molti lettori, senza dubbio, si scoraggeranno alla prospettiva di dover venire a patti con la matematica per apprezzare la scienza; tuttavia, sono ottimista sul fatto che non troveranno il diavolo così brutto come temono. Spero inoltre di poter persuadere il lettore che, a dispetto delle sue precedenti esperienze, la matematica può essere divertente!

Non mi occuperò specificamente qui del secondo dei misteri raffigurati nelle figg. 1.3 e 1.4, vale a dire il problema di come le facoltà mentali — più in particolare la consapevolezza cosciente — siano connesse ad appropriate strutture fisiche (anche se sfiorerò questo profondo problema in §34.7). L'esplorazione dell'universo fisico e delle leggi matematiche a esso associate ci terrà già abbastanza occupati; per di più, i problemi riguardanti le facoltà mentali sono profondamente controversi e ci distrarrebbero dallo scopo di questo libro. Forse però un commento non sarebbe fuori luogo. A mio parere, esiste una scarsa probabilità di arrivare a una profonda comprensione della natura della mente senza ampliare prima la conoscenza delle basi stesse della realtà fisica. Come risulterà chiaro dalle discussioni che saranno presentate nei capitoli successivi, io credo che siano necessarie grandi rivoluzioni nelle nostre conoscenze fisiche. Finché queste rivoluzioni non avverranno è soltanto molto ottimistico, secondo me, aspettarsi che molti reali progressi possano essere fatti nella comprensione della reale natura dei processi mentali.

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Pagina 507

Se dobbiamo credere che qualcosa nel formalismo quantistico sia «effettivamente» reale, per un sistema quantistico, penso che questo qualcosa debba essere la funzione d'onda (o il vettore di stato) che descrive la realtà quantistica. (Affronterò alcune altre possibilità più avanti, nel capitolo 29; vedi anche la fine di §22.4.) A mio parere la questione della «realtà» deve essere affrontata in meccanica quantistica – specialmente se si assume l'atteggiamento (come sembra facciano molti fisici) in base al quale il formalismo quantistico deve essere applicato a tutta la fisica – perché se non vi è alcuna realtà quantistica, allora non vi può essere assolutamente alcuna realtà a nessun livello (poiché tutti i livelli sono livelli quantistici, secondo questa prospettiva). Secondo me non ha alcun senso negare del tutto la realtà in questo modo. Abbiamo bisogno di un concetto di realtà fisica, anche se soltanto provvisorio o approssimato, perché senza di esso il nostro universo oggettivo, e quindi tutta la scienza, semplicemente evapora davanti al nostro sguardo contemplativo!

Chiarito questo, che cosa possiamo dire del vettore di stato? Qual è la difficoltà nell'assumere che esso rappresenti la realtà? Qual è il motivo per cui i fisici spesso mostrano un'estrema riluttanza ad assumere questa posizione filosofica? Per comprendere tali difficoltà, dobbiamo guardare con maggiore attenzione alla natura delle funzioni d'onda e alle loro interpretazioni fisiche.

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Pagina 511

Così non siamo proprio approdati a nulla per comprendere il dualismo onda/particella, obietterà senz'altro qualche lettore arrabbiato, con impazienza giustamente crescente! Dobbiamo avere un altro po' di pazienza, per favore, perché non abbiamo finito con l'interpretazione delle funzioni d'onda. Dobbiamo pensare che l'intera onda descriva (o «sia») solo una singola particella. Anche se determina, in un senso definito, la probabilità che un puntino compaia nei vari punti dello schermo, questa probabilità si riferisce proprio a quell'unica particella. Questa interpretazione non funziona se pensiamo alla funzione d'onda in modo locale, come fornitrice di una indipendente probabilità di formazione di un puntino in ciascuna separata posizione dello schermo. Dobbiamo pensare che una funzione d'onda sia un tutto. Se essa causa la comparsa di un puntino in un posto, ha fatto il suo lavoro, e questo atto visibile di creazione le impedisce di causare la comparsa di un altro puntino in qualunque altro posto. Sotto questo importante aspetto, le funzioni d'onda sono completamente dissimili dalle onde della fisica classica. Non si può pensare che le differenti parti dell'onda siano come disturbi locali, ciascuno dei quali si comporta in modo indipendente da quello che avviene in una regione remota. Le funzioni d'onda hanno un carattere fortemente non locale; in questo senso sono entità completamente olistiche.

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Pagina 627

IL MODELLO STANDARD DELLA FISICA DELLE PARTICELLE

L'equazione di Dirac per l'elettrone rappresentò per diversi motivi un punto di svolta per la fisica. Nel 1928, quando Dirac propose la sua equazione, le sole particelle conosciute erano gli elettroni, i protoni e i fotoni. Le equazioni libere di Maxwell descrivono il fotone, come era stato previsto da Einstein nel 1905, dopo i primi sviluppi di Einstein, Bose e altri, finché nel 1927 Jordan e Pauli fornirono uno schema matematico globale per descrivere fotoni liberi secondo una teoria quantizzata del campo libero di Maxwell. Sembrava, inoltre, che il protone, così come l'elettrone, fosse descritto piuttosto bene dall'equazione di Dirac. L'interazione elettromagnetica che descrive il modo con cui elettroni e protoni sono influenzati dai fotoni era trattata, in modo eccellente, dalla prescrizione di Dirac, vale a dire dall'idea di gauge (fondamentalmente introdotta da Weyl nel 1918; vedi §19.4), e un primo passo verso la formulazione di una teoria completa di elettroni (o protoni) interagenti con fotoni (vale a dire l'elettrodinamica quantistica) era già stato fatto dallo stesso Dirac nel 1927. Perciò sembrava che tutti gli strumenti fondamentali, per la descrizione di tutte le particelle note della Natura e delle loro più manifeste interazioni, fossero più o meno a disposizione.

La maggior parte dei fisici di allora, tuttavia, non era così sciocca da pensare che ciò avrebbe in breve portato a una «teoria del tutto». Infatti, sapevano che senza ulteriori progressi non sarebbero potute essere accolte né le forze necessarie per tenere assieme il nucleo (che adesso chiamiamo forze forti) né i meccanismi responsabili del decadimento radioattivo (ora chiamati forze deboli). Se protoni ed elettroni di Dirac, interagenti soltanto per via elettromagnetica, fossero i soli costituenti degli atomi, i loro nuclei inclusi, allora tutti i comuni nuclei (a eccezione del singolo protone che costituisce il nucleo dell'idrogeno) si disintegrerebbero istantaneamente, a causa della ripulsione elettrostatica tra le preponderanti cariche positive. Vi deve essere davvero un qualcosa di ignoto che conduca a una forte attrazione tra i costituenti del nucleo! Nel 1932, Chadwick scoprì il neutrone e, alla fine, ci si rese conto che il modello di nucleo formato da protoni ed elettroni, che era stato popolare fino ad allora, doveva essere sostituito da quello in cui sono presenti protoni e neutroni e in cui il nucleo è tenuto assieme da una forte interazione tra protone e neutrone. Questa forza non era però tutto ciò che mancava nelle conoscenze di allora. La radioattività dell'uranio era conosciuta fin dalle osservazioni di Henry Becquerel nel 1896 e si dimostrò che era il risultato di un'altra interazione – la forza debole – diversa sia da quella elettromagnetica sia da quella forte. Persino un neutrone, se lasciato per conto suo, si abbandonerebbe alla disintegrazione radioattiva, in un periodo di circa dieci minuti. Uno dei misteriosi prodotti della radioattività era l'elusivo neutrino, proposto come ipotesi esplorativa da Pauli attorno al 1929, ma non osservato direttamente fino al 1956. Lo studio della radioattività è stato quello che infine ha condotto i fisici a un'inconsueta notorietà e influenza verso la fine della Seconda guerra mondiale e nel periodo immediatamente seguente.

La conoscenza della fisica delle particelle è progredita moltissimo rispetto alla situazione nel primo terzo del ventesimo secolo. Attualmente è a disposizione un quadro molto più completo, noto come modello standard della fisica delle particelle. Sembra che questo modello includa quasi tutto il comportamento osservato della vasta gamma di particelle che sono adesso conosciute. Al fotone, all'elettrone, al protone, al positrone e al neutrone si sono aggregati il muone, i vari neutrini, i pioni (previsti da Yukawa nel 1934), i kaoni, le lambda, i sigma e l'omega-meno, meravigliosamente profetizzato. L'antiprotone è stato direttamente osservato nel 1955 e l'antineutrone nel 1956. Vi sono nuove specie di entità, note come quark, gluoni, bosoni W e Z; vi sono vaste moltitudini di particelle la cui esistenza è così effimera che non sono mai osservate direttamente e a cui si fa riferimento solo come «risonanze». Il formalismo dell'attuale teoria esige anche entità transitorie, chiamate particelle «virtuali», e anche quantità note come «ghosts» (fantasmi), che sono persino più lontane da una possibile osservazione diretta. Vi è un numero sbalorditivo di particelle – non ancora osservate – che sono previste da certi modelli teorici, ma che non sono assolutamente conseguenze della struttura generale dell'accettata fisica delle particelle, e precisamente «bosoni X», «assioni», «fotini», «squark», «gluini», «monopoli magnetici», «dilatoni», eccetera. Vi è anche la misteriosa particella di Higgs – non ancora osservata finora – la cui esistenza, in una qualche forma (forse, non come particella singola), è essenziale per l'attuale fisica delle particelle, perché il relativo campo di Higgs è ritenuto responsabile della massa di tutte le particelle.

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Pagina 1033

Questa intuizione degli antichi greci in base alla quale è la matematica a evidenziare il funzionamento della realtà fisica ci ha servito straordinariamente bene, e io spero di avere chiarito che, nonostante la distanza dallo scopo che ci siamo prefissati, siamo arrivati a una comprensione davvero imponente delle operazioni dell'universo ai livelli più profondi di cui siamo a conoscenza. Certi concetti matematici spiccano per aver avuto un particolare successo nel passato. Tra questi vi sono il sistema dei numeri reali e le idee della geometria. All'inizio si trattò della geometria euclidea, introdotta dagli antichi greci, ma poi delle idee sviluppate da Lambert, Gauss, Lobachevski, Bolyai, Riemann, Beltrami e altri. In seguito Minkowski c'insegnò a unire il tempo con lo spazio, Einstein ci regalò la meravigliosa geometria dello spaziotempo curvo della relatività generale. Il calcolo integrale e differenziale di Archimede, Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Cauchy, Cartan e molti altri, così come le idee a esso collegate delle equazioni differenziali, delle equazioni integrali e delle derivate variazionali, si è dimostrato assolutamente fondamentale per le teorie che descrivono con successo il funzionamento del mondo, poiché queste idee sono collegate con la geometria in modo molto importante. Sono state fondamentali anche le idee statistiche che ci permettono di trattare sistemi fisici grandi e complicati, costituiti da un numero enorme di singoli ingredienti, come ci hanno mostrato Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Einstein e altri ancora. La matematica sta anche alla base della teoria quantistica, basta pensare alla teoria delle matrici di Heisenberg, agli spazi complessi di Hilbert, alle algebre di Clifford, alla teoria delle rappresentazioni, all'analisi funzionale infinito dimensionale, eccetera di Dirac, von Neumann e molti altri.

Mi piacerebbe scegliere solo due aspetti particolari della matematica che sta alla base della nostra comprensione del funzionamento del mondo, discutendoli uno dopo l'altro poiché credo possano accennare a questioni di principio importanti ma non trattate ampiamente nella nostra teoria fisica. Il primo è il ruolo del sistema dei numeri complessi che scopriamo essere così fondamentale per le operazioni della meccanica quantistica — in contrasto con il sistema dei numeri reali che ha costituito il fondamento di tutte le precedenti teorie di successo. Il secondo è il ruolo della simmetria, che ha un'importanza fondamentale in pressoché tutte le teorie del ventesimo secolo, in particolare riguardo alla formulazione della teoria di gauge delle interazioni fisiche.

Consideriamo dapprima i numeri complessi. È stato un tema ricorrente in questo libro il fatto che non solo vi è una speciale magia nella matematica di questi numeri, ma che sembra che la Natura stessa sfrutti questa magia nel tessere la trama dell'universo ai suoi livelli più profondi. Potremmo, tuttavia, discutere se questa sia realmente una vera caratteristica del nostro mondo, o se sia stata soltanto l'utilità matematica di questi numeri a condurre al loro uso estensivo nella teoria fisica. Molti fisici, credo, propenderebbero per questa seconda opinione, ma ricordo loro che vi è ancora qualcosa di misterioso – che richiede qualche spiegazione – nel perché sembra che il ruolo di questi numeri sia così universale nella struttura della meccanica quantistica, stando effettivamente alla base del fondamentale principio di sovrapposizione quantistica e, in modo alquanto diverso, dell'equazione di Schrödinger, della condizione di frequenza positiva e della «struttura complessa» infinito dimensionale (§26.3) che compare nella teoria quantistica dei campi. A questi fisici sembrano «naturali» i numeri reali e «misteriosi» i numeri complessi, ma, da un punto di vista puramente matematico, non vi è niente che sia più «naturale» per i numeri reali che per quelli complessi. In verità, in vista della natura alquanto magica dei numeri complessi, si potrebbe assumere il punto di vista opposto e reputare che essi siano innegabilmente più «naturali» o «dati da Dio» rispetto ai numeri reali.

Secondo il mio particolare punto di vista, l'importanza dei numeri complessi – o, in modo più specifico, l'importanza dell'olomorfia (o dell'analiticità complessa) – nei fondamenti della fisica deve essere ritenuta una cosa «naturale», poiché il mistero si trova forse nell'opinione opposta. Perché strutture

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Pagina 1043

Molti di questi sviluppi dipendono certamente e direttamente dalla fisica in una forma o in un'altra. Inoltre, le regole fondamentali della chimica, per come la si conosce oggi, sono anch'esse fondamentalmente fisiche (in linea di principio, se non in pratica) — provenendo principalmente dalle regole della meccanica quantistica. La biologia è ancora molto distante dall'essere riconducibile a leggi fisiche, ma non abbiamo alcun motivo di credere che il comportamento biologico (a parte la coscienza) non sia, alla sua radice, semplicemente dipendente da azioni fisiche che ora fondamentalmente conosciamo. Di conseguenza, sembra che anche la biologia sia in ultima analisi controllata dalla matematica.

Prendiamo in considerazione, per esempio, il modo miracoloso con cui un seme può svilupparsi in una pianta vivente, in cui la superba struttura di ciascuna pianta è simile in grande dettaglio a ciascuna delle altre che hanno origine dallo stesso tipo di seme. Vi è qui una fisica profonda alla base, poiché il DNA che controlla la crescita della pianta è una molecola, per la quale la persistenza e l'affidabilità della sua struttura dipendono crucialmente dalle regole della meccanica quantistica (come Schrödinger ha evidenziato nel 1967, nel suo piccolo ma autorevole libro What is Life?). La crescita della pianta, inoltre, è controllata dalle stesse forze fisiche che governano le singole particelle che la compongono. Quelle importanti sono soprattutto d'origine elettromagnetica, ma l'interazione nucleare forte è essenziale per determinare quali nuclei siano possibili e quindi quali atomi possano essere presenti.

Anche la forza debole svolge un suo ruolo in fenomeni che osserviamo su grande scala ed è straordinario come, nonostante la sua debolezza (soltanto circa 10^-7 volte la forza forte e 10^-5 quella elettromagnetica), questa forza possa provocare alcuni degli eventi più drammatici sperimentati dal genere umano. È infatti la forza debole a essere responsabile, per mezzo del decadimento radioattivo all'interno della Terra, del riscaldamento del magma terrestre. Le eruzioni vulcaniche sono, in particolare, un suo retaggio. Vi è stato un periodo di pochi anni nella storia della Terra, a partire dal 535 d. C. circa, in cui in tutto il mondo vi furono carestie e una temperatura particolarmente fredda, a causa della copertura virtualmente completa di polvere dovuta a un'enorme esplosione vulcanica. Questo vulcano era probabilmente il Krakatoa, vicino a Giava, che sembra abbia avuto una violenta eruzione nel 535 e un'altra (ma non così violenta) in epoca moderna, nel 1883.

Probabilmente persino più drammatica per i suoi civilizzati spettatori fu l'esplosione vulcanica che distrusse l'isola Tera (Santorini) nel 1628 a. C., che sarebbe stata facilmente visibile da Creta, a circa 150 chilometri a sud di essa. Spazzò via la comunità civilizzata di Tera e probabilmente fu responsabile del susseguente declino della pacifica e colta società di Cnosso di Creta, dove nel suo Grande Palazzo si diceva fosse posto il famoso labirinto di Dedalo. È stato sostenuto in modo convincente che la distruzione di Tera può essere stata all'origine del mito di Atlantide. Possiamo forse trarre qualche motivo di conforto dal fatto che alcuni dei cataclismi del passato possono anche aver generato lo sviluppo di nuovi progressi che altrimenti non sarebbero potuti avvenire. (Il più drammatico di questi cataclismi è stato il completo sterminio dei dinosauri che ha permesso lo sviluppo dei mammiferi e infine quello degli esseri umani – anche se sembra che questo sia stato dovuto alla collisione con un meteorite più che a un evento vulcanico.) Lo straordinario sviluppo della cultura nell'antica Grecia nel millennio dopo la distruzione di Tera deve forse qualcosa a quel catastrofico evento vulcanico?

È forse perfino più sorprendente che le più violente esplosioni viste nell'universo siano causate dalla forza più debole di tutte le altre – se è corretto chiamarla forza – vale a dire la forza gravitazionale (soltanto circa 10^-40 volte la forza elettrica, in un atomo d'idrogeno, e circa 10^-38 volte l'intensità della forza debole), dove buchi neri alimentano le incredibilmente potenti sorgenti d'energia dei quasar. Nonostante la loro straordinaria potenza, la loro distanza da noi è però così grande che, visto dalla Terra, il quasar più luminoso, 3C273, ha una luminosità che è soltanto circa 10^-6 volte quella di Sirio, una stella a noi vicina. In effetti, quando esaminiamo il cielo in una notte chiara e tranquilla, anche se possiamo provare soggezione dinanzi all'immensità dell'universo, discerniamo soltanto una piccolissima frazione di esso. Gli oggetti più distanti visibili a occhio nudo (la galassia di Andromeda) sono soltanto a un piccolo 10^-3 della distanza fino a 3C273 e a circa 10^-4 volte la distanza fino al bordo dell'universo osservabile!

Le singolarità dello spaziotempo che si trovano nei noccioli dei buchi neri sono tra gli oggetti noti (o presunti) dell'universo attorno a cui permane il più profondo mistero — e che le nostre attuali teorie sono incapaci di descrivere. Come abbiamo visto soprattutto in §§34.5, 7, 8 vi sono altri problemi profondamente misteriosi di cui abbiamo scarsissime conoscenze. È molto probabile che il ventunesimo secolo rivelerà intuizioni persino più meravigliose di quelle con cui siamo stati benedetti nel ventesimo secolo. Ma affinché ciò avvenga, avremo bisogno di idee nuove e potenti, che ci conducano in direzioni significativamente diverse da quelle attualmente seguite. Forse quello di cui abbiamo maggiormente bisogno è qualche sottile cambiamento di prospettiva — qualcosa che noi tutti ci siamo lasciati sfuggire...

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