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Indice

Prefazione                        pag.   7

1. Esploratori di terre lontane         13
2. Chi è primo?                         31
3. Un giro nello spazio                 71
4. Visite da un'altra dimensione       115
5. Formiche nel labirinto              157
6. I draghi del caos                   195
7. Storie di vita                      231
8. In campo astratto                   275

Bibliografia                           287
Appendice:
    L'arte della matematica moderna.
    Catalogo della mostra              291
Fonti delle illustrazioni              295
Indice analitico                       297

 

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Pagina

            «Curioso, sempre più curioso!»
                            esclamò Alice.

                            LEWIS CARROLL,
          Alice nel Paese delle Meraviglie

Quella sconcertante sensazione non mi ha mai lasciato del tutto. Oggi, come giornalista specializzato in argomenti di fisica e di matematica, provo spesso l'umiliante sensazione di essere un estraneo quando ascolto i ricercatori che presentano relazioni, nel corso degli incontri scientifici. Le parole le conosco, ma la lingua non è la mia. Suppongo che i miei studenti, negli otto anni in cui ho insegnato scienze e matematica nelle scuole medie superiori, abbiano spesso avuto la stessa impressione, a dispetto dei miei sforzi per trasmettere loro il divertimento e l'emozione che si potevano trovare in quegli argomenti.

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Pagina 15

Una cartina della matematica moderna rivelerebbe la stessa mescolanza di familiare, di esotico e di ignoto. L'algebra, la trigonometria e la geometria euclidea che si studiano alle scuole superiori corrispondono ad aree ormai colonizzate da tempo. Domini più recenti, come il calcolo infinitesimale, hanno già esteso la propria sfera di influenza nel territorio circostante, e i giovani arrivisti, come l'informatica, cercano di appropriarsi di parte dei loro vecchi territori. Ma al di là del terreno familiare si stendono le vaste regioni della matematica ancora da scoprire.

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Pagina 102

È interessante osservare come l'«annodamento» non sia una proprietà della curva stessa. L'immaginaria formica che percorresse una galleria scavata all'interno della curva unidimensionale non sarebbe in grado di accorgersi della presenza del nodo. Il nodo riguarda la giacitura della curva nello spazio tridimensionale, ed è una caratteristica di questo. In uno spazio bidimensionale non c'è il posto per annodarlo, mentre in uno a quattro dimensioni il posto è troppo, e non c'è nodo che tenga.

Come la geometria delle bolle di sapone, così anche la teoria dei nodi rientra nella topologia, in cui si trascurano forma e dimensione e le uniche proprietà geometriche che contano sono quelle che non risentono dei piegamenti e delle deformazioni. È di regola la flessibilità più assoluta: per il topologo, i nodi sono unicamente le possibili giaciture di un cerchio nello spazio tridimensionale.

Posti di fronte a un nodo, i matematici si rivolgono le stesse domande che potrebbe rivolgersi un boy scout davanti a un pezzo di corda annodata: «Che nodi sono? La curva (o la corda) è davvero annodata? Un secondo nodo può sciogliere il primo? Quando un nodo è equivalente a un altro?». L'ultima domanda ci rimanda al problema fondamentale della teoria dei nodi: come si possono distinguere tra loro due nodi diversi?

In generale, è difficile dire se un certo nodo è uguale a un altro, in apparenza diverso (Fig. 3.19). Una possibile soluzione consiste nel cercare di trasformare un nodo nell'altro con semplici torsioni e deformazioni, senza tagliare il cordino (o la curva). Ma in questo modo, anche dopo innumerevoli tentativi falliti, non si può escludere che siano uguali: può darsi che, semplicemente, non siano state eseguite le manipolazioni giuste.

Per classificare i nodi, i matematici ricorrono all'espediente di analizzare la loro ombra; una breve interruzione della linea in corrispondenza degli incroci sta a significare che un certo tratto di curva si trova al di sotto di un altro, e il verso di percorrenza è indicato da una freccia (Fig. 3.20).

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Pagina 110

Manca ancora, inoltre, un'invariante da «stazione ferroviaria»: una formula così semplice che il matematico, mentre aspetta il treno che lo deve portare a casa, possa calcolare grazie a essa se un certo nodo, che per caso gli si è affacciato alla mente, è davvero nuovo o è una variante di un nodo già conosciuto. Quanto al problema più arduo, dare una classificazione completa dei nodi mediante un sistema di invarianti facilmente calcolabili sembra ancora lontano dalla nostra portata.

La teoria dei nodi è intanto ricomparsa nella scienza, non più sotto forma di vortici annodati nell'etere come pretendeva Kelvin, ma nelle strutture intrecciate e annodate della biologia molecolare e della chimica. La piu famosa di queste strutture è la lunga scala a chiocciola del DNA che contiene il codice della vita. Un singolo filo (o «catena») di DNA, se fosse spesso come un cavo telefonico, sarebbe lungo un chilometro e mezzo.

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