| << |  <  |  >  | >> |

Indice

Introduzione

Dove incontriamo un "buco attraverso un buco in un buco",
la topologia, i nastri di Möbius, il cranio di Möbius, Franz
Gall, il marchio del riciclaggio, la birra di Möbius, il
"Möbius Flip", il "nastro senza fine" di Max Bill, il film
"Se mi lasci ti cancello" di Gustavo Mosquera, metafore del
nastro di Möbius, i nastri di Möbius nella religione, "La
cantatrice calva" di Eugene Ionesco, e la bottiglia di Klein
della Acme .. .
                                                          xv

1.  Möbius e i Maghi

Dove incontriamo le illusioni di Möbius, gospel magici, il
nastro trasportatore di Möbius, il ruolo di Möbius nella
storia e il mio primo incontro con questo mirabolante
nastro...                                                  1

2.  Nodi, civiltà, autismo e collasso della lateralità

Dove incontriamo formiche dentro le sfere, scomposizioni di
Möbius, sandwich di nastri di Möbius, nastri di Lubiana, i
vortici annodati di Lord Kelvin, nodi trifoglio, Kenneth
Perko, avvocato a New York e topologo part time, il
finto-nodo del mistero, la sindrome di Asperger, l'algoritmo
non implementabile di Wolfgang Haken, la triquetra,
l'occulto show televisivo "Streghe", i Led Zeppelin, "The
Book of Kells", nodi e proteine, gli anelli Borromei, i nodi
come catalizzatori della civiltà, il puzzle del nodo alieno,
alieni e Möbius....                                        7

3.  Una breve biografia di Möbius

Dove incontriamo l'albero genealogico di Möbius, la
simultaneità nella scienza, Schulpforta, Paul Julius Möbius,
la sindrome di Möbius, Johann Benedict Listing, il problema
del "re con cinque figli", i risultati matematci di Möbius,
Karl August Möbius, il falso animale primordiale, il
labirinto di Möbius, e la licenziosità di Möbius...       25

4.  Tecnologia, giochi, molecole e brevetti

Dove incontriamo la Rhennius Machine, "Doorways in the Sand"
di Roger Zelazny, brevetti e giochi di Möbius, molecole di
Möbius, brevetti matematici, lemniscate, astroidi, le punte
delle trivelle di Reuleaux, nastri trasportatori con
torsioni, divaricatori chirurgici, componenti elettrici e
binari di Möbius, brevetti sui nodi, la metafisica delle
stringhe delle scarpe, chiralità, farmaci vari, talidomide
ed enantiomeri, "Methanobacterium thermoautotrophicum",
proteine vegetali di Möbius che inducono il travaglio nelle
donne africane, cristalli di Möbius, il puzzle dell'Arca di
Noè, e i nastri di Möbius nella moda e nelle acconciature...
                                                          39

5.  Strane avventure in topologia e oltre

Dove incontriamo Benoît Mandelbrot, i frattali, le
parametrizzazioni, un'elica conica, curve a farfalla, anelli
paradromici, Leonhard Euler, Antoine-Jean Lhuillier, i
numeri cromatici, i piani proiettivi, il teorema dei quattro
colori, "L'isola dei cinque colori", Johann Listing, gli
omeomorfismi, i fantasmi, la quarta dimensione, Immanuel
Kant, Johann Carl Friedrich Zöllner, Henry Slade, "Un altro
mondo" di Alfred Schofield, il rivolgimento di sfere e
ciambelle, gli optiversi, la superficie di Boy, le superfici
romane, la fantastica funzione di Möbius, la congettura di
Mertens, la funzione zeta di Riemann, i palindromi di
Möbius, lo stupefacente π, la coprimalità, la teoria dei
grafi, gli esaflexagoni, gli slip di Möbius, i tetraedri e i
triangoli di Möbius, i solenoidi, la sfera cornuta di
Alexander, ciambellle prismatiche, la partizione in quadrati
perfetti, il puzzle della mappa scarabocchiata e quello
della piramide, il toro cannibale, e Möbius nella cultura
pop ...                                                   61

6.  Cosmo, realtà e trascendenza

Dove incontriamo spazi non-orientabili, altri
enantiomorfismi, la destrocardia con situs inversus, le
ipersfere, la tazza di caffè a forma di bottiglia di Klein,
la più grande bottiglia di Klein del mondo, la superficie di
Klein di Bonan-Jeener, ancora Immanuel Kant, la simmetria
bilaterale della "Vernanimalcula guizhouena", il dio
babilonese Marduk, Gottfried Wilhelm Leibniz, i 3-tori, Max
Tegmark, gli universi paralleli, la vita artificiale, gli
universi simulati, John Horton Conway, la Wilkinson
Microwave Anisotropy Probe, Gerardo Mercatore, il modello
ecpirotico della nascita e della fine dell'universo, il
libro della Genesi, gli universi che si autoriproducono,
giocare a essere Dio, il puzzle della traformazione del
biscotto pretzel e i cosmi di Möbius...                  111

7.  Giochi, labirinti, arte, musica e architettura

Dove incontriamo gli scacchi di Möbius, i labirinti, il tour
del cavallo, la dominazione su una scacchiera a forma di
bottiglia di Klein, scale di Möbius e sculture di neve,
edifici e francobolli di Möbius, Max Bill, sculture con i
Lego al di là di ogni immaginazione, nodi complessi, Teja
Krasek, nastri di Möbius con tassellature di Penrose, musica
di Möbius, Johann Sebastian Bach, Arnold Schoenberg, Nicolas
Slonimsky, configurazioni diaboliche, nastri di Möbius in
psicologia e nelle relazioni umane, e come giocare su un
nastro di Mobius ...                                     145

8.  Letteratura e cinema

Dove incontriamo la letteratura delle superfici
non-orientabili, "No-Sided Professor", "A. Botts and the
Möbius Strip", "Paul Bunyon Versus the Conveyor Belt", "The
Wall of Darkness", "A Subway Named Möbius", Gustavo
Mosquera, "The Secret Life of Amanda K. Woods", "The Journey
of Möbius and Sidh", "The Lobotomy Club", "Flatterland",
"Möbius Stripper" di Bana Witt, "Dhalgren", "Alla ricerca
del tempo perduto" di Marcel Proust, "Sei personaggi in
cerca d'autore", "Time and the Conways", "Donnie Darko",
"Femme Fatale", "Möbius the Stripper", "Il dono" di Vladimir
Nabokov, "Island People" di Coleman Dowell, "Tearjerker" di
Daniel Hayes, "La cantatrice calva" di Eugene Ionesco,
"According to the Law" di Solvej Balle, "Lost in the
Funhouse" di John Barth, "Twisters" di Paul Nahin, "Visitors
from Oz" di Martin Gardner, formiche intrappolate nelle
curve di Jordan e Möbius nei suburbi...                  173

Alcune Parole Finali

Dove incontriamo Stanislaw Ulam, Franz Reuleaux, Georg
Bernhard Riemann, i koan Zen, "Se mi lasci ti cancello", i
fratelli Harlan, Marjorie Rice, Roger Penrose, Arthur C.
Clarke, l'insieme di Mandelbrot, un anello ambiguo e i
nastri di Möbius negli affari e nel Governo              191

Soluzioni                                                201
Letture consigliate per capitolo                         217
L'Autore                                                 239
Indice analitico                                         241


 

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina xv

        August Ferdinand Möbius nacque il 17 novembre 1790 e
        morì il 26 settembre 1868. Nel corso della sua vita
        l'interesse per la matematica in Germania subì una
        trasformazione. Nel 1790, sarebbe stato difficile
        trovare un matematico tedesco di statura internazionale;
        all'epoca della sua morte, la Germania era la patria e
        la scuola dei più eminenti matematici del mondo.

                          —John Fauvel, 'A Saxon Mathematician';
                                          in Möbius and His Band

        La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che
        continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico
        l'universo), ma non si può intendere se prima non
        s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri,
        ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica,
        e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure
        geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne
        umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente
        per un oscuro laberinto.

                    —Galileo Galilei, Opere, Il saggiatore, 1633

Quando parlo agli studenti di topologia, la scienza delle forme geometriche e delle loro relazioni reciproche, metto alla prova le loro menti disegnando alcune semplici forme. Alcune somigliano a ciambelle, altre a pretzel e ve ne sono anche di quelle che fanno pensare a bottiglie dal lungo collo attorcigliato. Poi pongo una domanda al mio uditorio: Potete immaginare un buco attraverso un buco?

La risposta più frequente è che non è possibile. Io sorrido e dico: "Bene, sto per mostrarvi qualcosa di meglio di un buco in un buco. Vi mostrerò un buco in un buco in un buco!" Con un ghirigoro faccio lo schizzo della figura I.1 e invariabilmente l'uditorio ride divertito. È attraverso questa raccolta di curiosità che spero di stupirvi con altri giochetti geometrici.

La topologia riguarda le relazioni spaziali e le forme (scintillanti) che si estendono nelle dimensioni. È il Silly Putty della matematica. Alle volte la topologia viene chiamata "geometria del foglio di gomma" perché i topologi studiano le proprietà delle forme che non cambiano quando un oggetto viene stirato o distorto. Il miglior sistema per fare innamorare della topologia persone di qualunque età è far loro contemplare un nastro di Möbius, un semplice anello con una mezza torsione (figura I.2).

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 8

Se vi dessi una sfera cava contenente una formica, sarebbe semplice vedere che la sfera ha due facce distinte. La formica che si sposta nella parte interna non potrebbe raggiungere quella esterna, così come la formica che si arrampica all'esterno non potrebbe arrivare all'interno.

Una superficie piana che si estenda all'infinito in tutte le direzioni ha due facce: una formica che si sposti su una faccia non può raggiungere l'altra. Anche una superficie piana finita come una pagina di questo libro si può considerare bifacciale se alla formica non si consente di traversare la parte tagliente del margine della pagina. Allo stesso modo una figura a forma di ciambella o toro ha due facce e una lattina di soda ha due facce. In effetti la prima superficie con una sola faccia scoperta e studiata da un essere umano è il nastro di Möbius. Può sembrare impossibile che nessuno sulla Terra abbia descritto le proprietà di superfici monofacciali fino alla metà del XIX secolo, ma la storia della scienza e della matematica non registra osservazioni di questo tipo.

Un nastro di Möbius è un'affascinante superficie con un solo lato e un solo margine o bordo. Come ho scritto nel capitolo precedente, per ottenere un nastro di questo tipo è sufficiente unire le due estremità di una lunga striscia di carta dopo averle fatto fare a una estremità una torsione di 180° rispetto all'altra. Il risultato è una superficie con una sola faccia su cui un insetto può spostarsi da un punto qualsiasi a un altro senza mai attraversare un margine. Viceversa, se unite le terminazioni della striscia senza fare una torsione, il risultato sarà un cilindro o un anello, a seconda dell'altezza della striscia. Poiché un cilindro ha due facce, potete colorarne una di rosso e una di verde. Ma provate a colorare con una matita un nastro di Möbius. Non potete colorare un lato con il rosso e l'altro con il verde perché di lati ce n'è uno solo (Figura 2.1). Ciò significa anche che potete tracciare una linea continua tra due punti qualsiasi sul nastro di Möbius senza attraversare un margine.

Ora costruitevi un nastro di Möbius e collocatelo su un tavolo. Mettete un dito su un bordo e un altro dito sull'"altro" bordo. Tenete fermo un dito mentre muovete l'altro lungo il margine. Alla fine il dito che si sposta, dopo aver sfiorato tutti i punti lungo il bordo, incontrerà il dito rimasto immobile dimostrando chiaramente che il nastro ha un solo margine. In effetti, qualunque striscia di carta con un numero dispari di mezze torsioni, è simile a un nastro di Möbius in quanto ha una sola faccia e un solo margine.

Sezionare il nastro

Il nastro di Möbius ha numerose, affascinanti proprietà. Se voi lo tagliate lungo la linea mediana, come ho sottolineato nel capitolo 1 a proposito dei trucchi dei maghi, invece di ottenere due strisce separate vi troverete con una lunga striscia con due mezze torsioni al suo interno. Se tagliate di nuovo questa striscia lungo la metà otterrete due nastri intrecciati l'uno nell'altro. In altre parole questo secondo taglio produce due strisce legate tra loro.

Se invece tagliate un nastro di Möbius all'altezza di un terzo dal bordo, otterrete due strisce: una è un nastro di Möbius più stretto e l'altra è una lunga striscia con al suo interno due mezze torsioni (una torsione intera copre 360°). Proviamo a visualizzare quello che accade. Abbiamo imparato che se tagliate un nastro di Möbius lungo la metà, finite col trovarvi nello stesso punto da cui siete partiti. Avrete attraversato la striscia una sola volta prima di essere tornati al punto di partenza. Se invece iniziate a tagliare a un terzo dal bordo non incontrerete il vostro punto di partenza finché non avrete percorso la striscia di Möbius due volte perché nel secondo giro il vostro taglio si troverà a un terzo della larghezza del nastro rispetto al punto di partenza del taglio lungo la striscia.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 22

Non è esagerato affermare che i nodi hanno svolto un ruolo cruciale nello sviluppo della civiltà, dal momento che sono stati utilizzati per tenere insieme gli abiti, appendere al corpo le armi, costruire ripari e consentire all'uomo di navigare ed esplorare il mondo. Schemi di nodi sono stati rinvenuti sulle pietre tombali incise dalle popolazioni del Neolitico. Gli Inca utilizzavano i nodi per fare i conti e anche come "linguaggio scritto" su stringhe note come quipu. Anche gli antichi cinesi utilizzavano variamente i nodi, anche come promemoria. Il famoso nodo cinese Pan-chang, che in realtà è una serie continua di avvolgimenti, simbolizza il concetto buddista della continuità e l'origine di tutte le cose. Alcuni dei nodi attuali hanno la loro origine nel Medio Evo, epoca in cui venivano usati in combinazione con le carrucole per sollevare e trascinare le merci che erano di solito legate con nodi opportuni. I marinai hanno utilizzato e inventato nodi per ormeggiare le imbarcazioni, unire le funi tra loro, armare le vele, issare le merci. La figura 2.16 mostra due pagine dell'edizione del 1943 del Bluejacket's Manual della Marina statunitense che, in più di un migliaio di pagine, discetta su argomenti come i nodi, le bandiere da segnalazione, i pennoni e l'arte marinaresca. Nel 1902, quando il luogotenente Ridley McLean compilò questa "bibbia del marinaio", la descrisse come un manuale per tutti coloro che lavoravano sulle navi, dal semplice marinaio all'ammiraglio. Oggi, la teoria dei nodi ha conquistato settori come la biologia, la chimica e la fisica e in molti casi è divenuta così avanzata che per i comuni mortali è veramente difficile capirne le più sofisticate applicazioni. Prendete un qualunque trattato moderno sulla teoria dei nodi e vi troverete ad affrontare una serie di termini altisonanti come polinomio di Conway, relazione a matassa di Conway, polinomio HOMFLY, polinomi di Jone, modelli di spin, parentesi di Kauffman, invarianti di ordine finito, isotopia ambientale, invarianti di Vassiliev, diagrammi di Gauss, teorema di Knotsevich, equazione quantistica di Yang-Baxter, relazione di Artin in gruppi intrecciati, operatore algebrico di Hecke, teoria topologica di campo quantistico (TQFT) e algebra di Temperley-Lieb. Nel corso di pochi millenni, l'umanità ha trasformato i nodi da semplici incisioni ornamentali sulle rocce a modelli della vera natura della realtà.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 52

Nei paragrafi precedenti ho sottolineato le presenza del nastro di Möbius negli oggetti visibili, oggetti che possiamo toccare, osservare, sentire come i nastri trasportatori e i giocattoli. In questo paragrafo esploreremo i nastri di Möbius e i nodi trifoglio a livello molecolare, di cui si sapeva ben poco fino a tempi recenti. Prima di portare esempi concreti, occupiamoci della chiralità in chimica. Una molecola si dice chirale quando non è sovrapponibile alla sua immagine speculare, esattamente come, in un mondo a due dimensioni, questi due simboli non si possono sovrapporre, in qualunque modo si facciano ruotare sul piano di questa pagina: [...]

Più precisamente, le due forme speculari di una molecola chirale, chiamate enantiomorfe, non possono essere ricavate una dall'altra mediante sole rotazioni o traslazioni. La chiralità si riferisce anche al fatto che una molecola possa essere levogira o destrogira, ossia non simmetrica. Per fare un'analogia le vostre mani destra e sinistra sono enantiomorfe, sono infatti speculari tra loro e non potete indossare un guanto sinistro sulla mano destra. La disposizione di pollice e dita nelle tre dimensioni fa sì che la vostra mano destra sia diversa dalla sinistra. Questa proprietà è nota come chiralità, una parola che deriva dal termine greco che sta per "mano".

[...]

Le proprietà della comune striscia di Möbius di carta sono presenti anche nella microscopica striscia biochimica di Walba. Rompere i tre pioli (i legami carbonio-carbonio) unendo i due bordi molecolari equivale a tagliare una striscia di Möbius lungo la linea mediana, il che produce un giro più lungo. Quando viene divisa in questo modo, la molecola Möbius si trasforma in una singola banda la cui circonferenza è doppia rispetto a quella di partenza. Le due differenti strisce di Möbius molecolari con torsione in senso orario e antiorario non sono topologicamente equivalenti in quanto non possono mai essere trasformate una nell'altra. Se guardate le due strisce nello specchio, il riflesso di una sembra simile all'altra perché le due strisce sono immagini speculari l'una dell'altra.

Di solito, i chimici fanno fatica a controllare la quantità delle forme speculari, o enantiomeri, nelle reazioni chimiche utilizzate nella produzione di farmaci. Per esempio, il talidomide ha una forma destrogira utile come sedativo per le donne in gravidanza, mentre la forma levogira può causare difetti nel feto. Tragicamente negli anni sessanta molte donne assunsero il talidomide per i suoi effetti sedativi e diedero alla luce neonati con gravi difetti congeniti dovuti alla presenza della forma levogira del farmaco. Tuttavia, anche se le future madri avessero assunto solo la forma destrogira, i difetti congeniti si sarebbero manifestati ugualmente perché gli enantiomeri si trasformano l'uno nell'altro nell'organismo. Ciò significa che qualunque enantiomero venga dato alla donna, entrambi gli isomeri verranno trovati nel suo sangue.

Nel caso del noto antidolorifico ibuprofen la forma destrogira della molecola è cento volte meno efficace della levogira. A causa del costo e della difficoltà connesse all'isolamento di un singolo enantiomero, tutte le preparazioni di ibuprofen normalmente in commercio contengono in quantità uguale entrambi gli enantiomeri. Altri esempi di enantiomeri con effetti molto diversi comprendono la penicillammina, che ha una forma efficace contro l'artrite e l'altra che è tossica. Una forma dell'etambutolo cura la tubercolosi, l'altra causa un'infiammazione del nervo ottico che può provocare cecità. Il farmaco levodopa (L-dopa) usato contro il Parkinson è venduto solo nella forma levogira perché l'altra può causare granulocitopenia, ossia perdita di globuli bianchi.

Ai nostri giorni i chimici sanno creare tutte le tipologie di molecole esotiche. Per esempio, i francesi Christiane Dietrich-Buchecker e Jean-Pierre Sauvage dell'Università Louis Pasteur di Strasburgo hanno ottenuto nodi trifoglio molecolari di vari tipi.

Sauvage è un chimico che si occupa di sintesi ed è stato conquistato dall'aspetto delle molecole che crea. Egli afferma che "la ricerca di molecole esteticamente attraenti è stata un obiettivo della chimica fin dalle sue origini". Il particolare, lo interessa soprattutto il nodo trifoglio in quanto rappresenta "la continuità e l'eternità nel primo simbolismo religioso" e getta luce sull'arte di molte antiche civiltà.

In anni recenti, il gruppo di Sauvage ha aperto la strada alla preparazione di nodi costruiti intorno a stampi di ioni di metalli di transizione. Per creare nodi molecolari, ha utilizzato due filamenti molecolari che si accavallano sopra due metalli di transizione centrali formando una doppia elica. Dopo i processi di ciclizzazione e demetilazione si ottiene un sistema annodato. Sono stati necessari parecchi anni di ricerche perché Sauvage e Dietrich-Buchecker riuscissero finalmente a sintetizzare il primo nodo trifoglio chimico usando come stampi atomi di rame. Sauvage mi ha scritto: "Christiane Dietrich-Buchecker ed io siamo stati i primi a ottenere un nodo trifoglio con molecole, almeno in maniera artificiale, perché la natura ha fatto nodi molecolari per milioni di anni con il DNA e le proteine!".

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 72

Da secoli i disegnatori di cartine sanno che bastano quattro colori per colorare una qualsiasi mappa sul piano in modo che due regioni distinte che abbiano confini in comune non siano della stessa tinta, pur potendo condividere un vertice. Alcune mappe planari richiedono meno colori ma tutte possono essere dipinte con quattro. Quattro colori sono sufficienti anche per cartine tracciate su sfere e cilindri, mentre nel caso del toro ne servono sette.

Per quanto nessuno avesse mai trovato una cartina che sul piano richiedesse più di quattro colori, per quasi un secolo i matematici hanno cercato invano di dimostrare questa ipotesi apparentemente semplice. Finalmente, nel 1976, si è riusciti a dimostrate il teorema dei quattro colori con l'aiuto di un computer: si trattava del primo problema di matematica pura in cui l'uso del computer rappresentava una componente essenziale della dimostrazione.

Oggi i computer hanno un ruolo crescente in matematica aiutando a verificare dimostrazioni talmente complesse da sfidare talvolta la comprensione umana. Il teorema dei quattro colori ne è un esempio. Un altro è la classificazione dei gruppi semplici finiti, descrittta in uno scritto di diecimila pagine, opera di molti autori. Come ha osservato Dana Mackenzie su Science ["What in the Name of Euclid is Going on Here?"], i metodi tradizionali per garantire la correttezza di una dimostrazione, centrati sulle persone, si infrangono di fronte a uno scritto di decine di migliaia di pagine. Riferendosi al teorema dei quattro colori, l'esperto di teoria dei grafi John Robin Wilson nota: "I matematici sopra i quarant'anni non saranno mai convinti che una dimostrazione col computer sia corretta, e quelli sotto i 40 non saranno mai convinti della correttezza di una dimostrazione di 700 pagine eseguita a mano." Una dimostrazione "accelerata" del teorema dei quattro colori è stata pubblicata nel 1995. Ma anche in questo approccio più compatto, un computer ha dovuto controllare più di un miliardo di differenti cartine, un compito che a un matematico avrebbe richiesto il tempo di molte vite.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 142

I cosmologi continuano a sfornare possibili "forme" dell'universo. Per esempio, lo spazio può avere curvatura positiva e somigliare alla superficie di una sfera. La geometria dell'universo può essere piana o euclidea - o anche iperbolica con una curvatura negativa, che può essere visualizzata pensando a una sella da cavallo. Molti astronomi pensano a un universo piano perché è strettamente legato alla "teoria dell'inflazione" - una congettura molto popolare secondo cui il cosmo ai suoi primordi sarebbe stato sottoposto a una rapida espansione, che amplificò le fluttuazioni subatomiche casuali per dar luogo alla forma attuale dell'universo. Come quando si gonfia un palloncino, regioni piccole diventano grandi, l'inflazione avrebbe stirato l'universo, lisciando ogni eventuale curvatura iniziale. È stupefacente che viviamo in un'epoca in cui tutte queste ipotesi sono controllabili grazie ai satelliti che scrutano la radiazione cosmica di fondo. In un universo iperbolico, in questa radiazione di fondo dovrebbero trovarsi forti variazioni di temperatura, a fronte delle chiazze più piccole di un universo piatto. (Si veda l'articolo di Ron Cowen e Ivars Peterson del 1998 su Science News citato nella sezione dei riferimenti.) In un universo iperbolico chiuso quella che gli astronomi credono essere una galassia lontana potrebbe essere la Via Lattea, come appariva quand'era più giovane dato che la luce ha impiegato miliardi di anni per viaggiare tutt'intorno all'universo. Neil Cornish della Montana State University e altri astronomi dicono che "se siamo abbastanza fortunati da vivere in un universo iperbolico compatto, possiamo osservare i nostri stessi inizi."

È possibile che l'universo abbia una strana topologia, con parti differenti interconnesse come i bracci di un pretzel. L'universo darebbe allora solo l'impressione di immensità, e svariati cammini consentirebbero alla materia del cosmo di mescolarsi. In un simile universo, la luce di un oggetto avrebbe molte strade per raggiungerci, e potremmo vedere diverse copie di esso. Se l'universo fosse un 3-toro, potremmo vedere accumularsi stelle su stelle sopra di noi a causa dell'avvolgimento dell'universo.

La teoria dell'inflazione, che ipotizza un'accelerata espansione agli inizi dell'universo, implica che l'attuale universo osservabile sia una bolla di 156 miliardi di anni luce di diametro. (Nel corso dell'inflazione, l'universo oggi osservabile sarebbe passato dall'occupare una regione inferiore a quella di un protone a quella di un pompelmo nel minuscolo tempo di 10^-35 secondi.) L'universo attualmente osservabile sembra enorme, ma è solo un granello di polvere in un universo grande trilioni di anni luce. La nozione di un universo chiuso "piccolo" va contro la teoria dell'inflazione. Se accettiamo quest'ultima, dovremmo accettare anche l'idea di universi multipli, poiché una volta che l'inflazione è partita, poi si ripresenta creando una catena di universi, come bolle di sapone dentro bolle di sapone. L'inflazione produce universi piani.

Mi sono spesso chiesto: "Come può essere infinito l'universo se all'inizio era concentrato in un punto?" Una risposta è che al momento del big bang l'universo non era necessariamente concentrato in un punto, forse lo era solo l'universo osservabile. Al momento del big bang l'universo potrebbe essere nato infinito. (Quando qui dico "universo osservabile" mi riferisco a quello che potrebbe essere osservabile in linea di principio, data la velocità finita della luce.)

Mondi vicini al nostro

Oggi molti fisici pensano che esistano universi paralleli al nostro, come gli strati di una cipolla, e che potremmo rivelarne l'esistenza grazie a "fughe" di gravità da uno strato adiacente all'altro. Così, la luce proveniente da stelle lontane potrebbe essere distorta dalla gravità di oggetti invisibili che si trovano in universi paralleli, distanti solo pochi millimetri. Dal 1997, scienziati dell'Università del Colorado a Boulder hanno condotto esperimenti alla ricerca di questi possibili universi vicini. Cercano lievi deviazioni dalla legge di gravità di Newton che potrebbero essere dovute alla materia presente in universi paralleli o in qualche dimensione nascosta. L'idea di universi multipli non è così stiracchiata come potrebbe apparire. Secondo un sondaggio condotto dallo studioso americano David Raub fra 72 ricercatori di prima grandezza, il 58 per cento dei fisici (incluso Stephen Hawking) crede in qualche formulazione della teoria degli universi multipli.

Una delle ultime e più stupefacenti teorie cosmologiche ipotizza che tutta la materia e l'energia del nostro universo siano state create quando un frammento quadridimensionale di un altro universo si corrugò fluttuando nello spazio a 5-D, per poi stamparsi sul nostro universo. Charles Seife descrive in modo eloquente su Science quello che chiama "modello ecpirotico":

In uno spazio [realmente] a 5 dimensioni fluttuano due membrane quadridimensionali perfettamente piane, come fogli ad asciugare su uno stendino. Una delle due è il nostro universo, l'altra un universo parallelo "nascosto". A causa di fluttuazioni casuali, il nostro compagno invisibile diffonde spontaneamente una membrana che lentamente fluttua verso il nostro universo... Quella fluttuante accelera, schizza sul nostro universo, e un po' dell'energia della collisione diventa l'energia e la materia che costituisce il nostro cosmo.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 176

Vi sono talmente tante storie nelle quali il nastro di Möbius svolge un ruolo di rilievo che ciò che segue è solo un esempio di alcune delle citazioni di Möbius nella letteratura e nel cinema. Le storie che si basano sulla striscia di Möbius cominciarono ad apparire negli anni quaranta, quindi inizieremo il nostro viaggio da lì.

Una dei primi e più creativi racconti sul nastro di Möbius è "No-Sided Professor" (Il professore senza faccia) scritto da Martin Gardner nel 1946 per l'antologia Fantasia Mathematica di Clifton Fadiman. Nella storia i membri della Möbius Society, un'organizzazione di matematici che si dedicano alla topologia, si incontrano con il dottor Stanislaw Slapenarski. Mentre siedono intorno a una tavola imbandita con portatovaglioli argentati a forma di nastro di Möbius e bottiglie di Klein come tazze da caffè, il dottor Slapenarski illustra la sua scoperta topologica mozzafiato.

La conferenza del dottor Slapenarski inizia con il suo rinvenimento del "trattato meno noto" di Möbius su come trasformare un ordinario anello con due facce in un nastro di Möbius con una sola faccia. In questo (mitico) trattato Möbius afferma che non c'è nessuna ragione teorica perché una superficie non possa perdere entrambi i lati per diventare una superficie del tutto priva di facce!

Il professore guarda il suo rapito uditorio e spiega che una superficie priva di faccia è difficile da immaginare ma questo non significa che non sia reale o non esista in pratica. Molti concetti della matematica sono inconcepibili, compresa la geometria a molte dimensioni, ma non ci sono "basi per negare sia la loro validità sia la loro utilità nella matematica e nella fisica moderna".

Inoltre, anche una superficie con un solo lato è inconcepibile per chiunque non abbia mai visto o manipolato un nastro di Möbius. Il professore spiega che la gente che ha avuto in mano una striscia di Möbius per giocarci è a volte ancora incapace di capire come possa avere una sola faccia. Stando così le cose, il fatto che non si possa immaginare un oggetto non significa che esso non esista.

Slapenarski poi ripiega un pezzo di carta in una "superficie di Slapenarski" priva di faccia usando una complessa procedura che fa uso di forbici, colla e carta azzurrina. Alla fine della sequenza di piegature, sorride all'uditorio e comprime una contro l'altra le due parti terminali del foglio e la costruzione di carta svanisce nelle sue mani! È diventata una superficie con zero lati. Quando i matematici presenti nella stanza pensano che non si tratti che di un trucco da salotto, Slapenarski si arrabbia e trasforma di prepotenza uno dei matematici in una superficie priva di lati manipolandone le braccia e le gambe. Il matematico scompare lasciando dietro di sé solo i suoi abiti. L'uditorio resta a bocca aperta e la situazione si fa caotica.

Nel racconto di Arthur C. Clarke del 1946 "The Wall of Darkness" il protagonista vive in un universo fatto di una sola stella e un unico pianeta di nome Trilorne. Un muro misterioso e impenetrabile circonda l'intera regione abitabile di Trilorne, un mondo nel quale ogni possibilità di esplorazione è impedita dal muro che appare estendersi fino al cielo. Le civiltà sviluppatesi su Trilorne si sono sempre chieste che cosa ci fosse al di là del muro. Alcuni filosofi di Trilorne dicono "Quello che c'è dietro lo scopriremo quando moriremo perché è li che si va da morti". Altri spiegano: "Dietro al muro vi è la terra dove abbiamo vissuto prima di nascere. Se potessimo ricordare quel lontano passato, conosceremmo la risposta". Pochi saggi temono che il muro sia stato costruito per impedire a qualcosa di pericoloso di penetrare nel loro mondo.

Alla fine un ricco signore e il suo amico ingegnere trovano il modo di scalare il muro costruendo una lunga rampa di scale fino alla sommità. Questa ardua missione ha lo scopo di stabilire che cosa c'è dall'altra parte. Alla fine della loro indagine capiscono che vivono su un nastro di Möbius e che andando al di là del muro semplicemente entrano nel loro mondo dalla parte opposta.

Per ragioni che non capisco la scoperta di quello che si trova al di là del muro è così spiacevole che i due esploratori decidono di far scomparire la scalinata in modo che nessun altro possa conoscere il segreto del loro mondo. In effetti, lo scopo del muro è quello di impedire agli abitanti del pianeta di fare il giro completo del nastro per conoscere la strana topologia del loro ambiente. Forse il muro è utile perché dà agli abitanti un senso di mistero, impedisce loro di attraversare percorsi che ne invertano l'orientamento e la manualità o evita la scoperta di nuove strade per dare il via a una guerra. Clarke non rivela perché i protagonisti decidano di distruggere la grande scalinata e di mantenere segreta la forma del loro mondo.

| << |  <  |