TecaLibri: Clifford A. Pickover: La matematica di Oz

| << | < | > | >> |

Pagina 11

Prefazione

    "Ti manca un po' di cervello nella testa, e saresti un uomo buono quanto
    chiunque di loro e migliore di parecchi. Il cervello è l'unica cosa che
    valga la pena di avere a questo mondo, non importa se si è corvi o uomini."

    Il corvo parlando con lo Spaventapasseri, in Il meraviglioso mago di Oz

Oz è una metafora del mistero. Oz è uno stato d'animo. Oz è un universo parallelo che può esistere, in modo un po' spettrale, fianco a fianco al nostro.

Il mago di Oz, scritto da L. Frank Baum e pubblicato nel 1900, ha come personaggio principale la giovane Dorothy, del Kansas, insieme con un magico assortimento di personaggi che spaziano da uno Spaventapasseri e un Boscaiolo di latta, a un Mago fasullo che utilizza la magia per aiutare Dorothy a capire che nessun luogo vale quanto casa propria.

In La matematica di Oz, Dorothy è sicuramente molto lontana da casa. Rapita da alieni ossessionati dalla matematica, cerca di risolvere uno sconcertante assortimento di rompicapi, che spesso hanno a che fare con i numeri e la matematica. A molti di voi probabilmente sembrerà stupida l'ossessione degli alieni per la matematica, ma le sfide numeriche sono un ottimo modo per trascendere spazio e tempo. La matematica è un linguaggio universale, e proprio i numeri potrebbero essere il primo approccio linguistico con intelligenze aliene.

Dorothy, il dottor Oz (il suo rapitore) e mister Plex (l'assistente di Oz) hanno una capacità di attenzione limitata, e non vogliono che voi lettori avanziate faticosamente tra pagine piene di dati prima di essere in possesso degli ingredienti principali. Per evitare questo problema, ogni capitolo del libro è costituito da poche pagine. Uno dei vantaggi di una tale struttura è che potete cominciare subito a fare esperimenti e divertirvi. Il libro non e destinato a matematici in cerca di spiegazioni matematiche formali; tuttavia nelle sezioni "Analisi ulteriori" e "Letture aggiuntive" è possibile trovare altro materiale.

Preparatevi a uno strano viaggio, poiché La matematica di Oz aprirà le porte della vostra immaginazione. I misteri, gli enigmi e i problemi spaziano dalla costruzione di una strada con mattoni gialli che attraversa l'America, ai numeri zebra, ai numeri primi circolari, al numero di Legione – un numero talmente grande che al confronto un trilione impallidisce – fino al "Problema delle Ossa", un problema matematico maledettamente difficile che implica probabilità e la frantumazione delle ossa delle gambe.

Prendete una matita. Non abbiate paura. Potrete avere l'impressione che alcuni argomenti del libro siano solo delle curiosità, con scarse applicazioni pratiche e senza uno scopo. Invece ho scoperto che questi esperimenti sono utili e didattici, come mi hanno riferito molti studenti, docenti e scienziati che mi hanno scritto. Gli esperimenti, le idee e le conclusioni che nascono nella mente per gioco hanno sempre trovato applicazioni pratiche singolari e inaspettate. Come una volta ha affermato il matematico Gottfried Wilhelm Leibniz: "gli uomini non sono mai così ingegnosi come quando inventano dei giochi".

Questo libro è stato scritto per chiunque desideri entrare in nuovi universi mentali. Se siete insegnanti, potete utilizzare i rompicapi cerebrali matematici per stimolare i vostri studenti. Loro stessi saranno in grado di ideare enigmi simili a quelli del libro. I programmatori possono creare o risolvere enigmi analoghi usando un computer, anche se per affrontare e risolvere i problemi di questo libro non è assolutamente necessario un computer.

Per aiutarvi a determinare il vostro livello nel corso di questo viaggio, ho assegnato i gradi di difficoltà ai vari enigmi:

•    Impegnativo
••   Molto impegnativo
•••  Estremamente difficile
•••• Esageratamente difficile: probabilmente impossibile da risolvere per
     Dorothy e qualsiasi altro Homo sapiens.

Per mantenere lo spirito giocoso del libro, e il suo senso di avventura un po' folle, ho sparpagliato alla rinfusa enigmi di diversi livelli di difficoltà per tutto il libro, come se fossero stati lanciati qua e là da un tornado. Date un'occhiata a questo buffet matematico e alimentate la vostra mente.

| << | < | > | >> |

Pagina 21

Introduzione

    "Non posso proprio capirlo," disse. "Se aveste la testa piena di paglia,
    come la mia, probabilmente abitereste tutti in posti bellissimi, e il
    Kansas sarebbe completamente deserto. È una fortuna per il Kansas,
    che abbiate il cervello."

    Lo Spaventapasseri a Dorothy e ai suoi amici, in Il meraviglioso mago di Oz

Dorothy vive nelle sconfinate praterie del Kansas, all'inizio del ventunesimo secolo, con lo zio Henry, un coltivatore, e zia Em, sua moglie. Un giorno, mentre sta facendo una tonificante passeggiatina nei prati, si imbatte in un monolito scuro che spunta dal suolo.

Si gira a guardare il suo piccolo cane, Toto. "E questo cosa diavolo sarà mai, Toto?"

Il cane abbaia e annusa la strana cosa che si trova all'interno di una capsula che emette una luce bianca, rilucente come la nebbia in una mattinata autunnale. Così illuminato, il monolito sembra un oggetto nobile e di incomparabile bellezza.

"Toto, tirati indietro!" grida Dorothy.

Ma è troppo tardi. Nell'attimo in cui Toto tocca il monolito con la zampa anteriore sinistra, questi inizia a tremare e a emettere un basso suono stridulo, come il rumore di una scopa passata sul cemento umido.

Una grossa creatura, simile a un calamaro, affiora da una fenditura del monolito. I suoi tentacoli hanno la pelle ricoperta di bolle, che ogni tanto pulsano, gonfiandosi e sgonfiandosi come piccoli palloncini. I suoi occhi sono palle iridescenti, a forma di avocado, con le cornee dure, cristalline.

L'alieno guarda Dorothy e parla: "Il mio nome è dottor Oz. Non avere paura di me".

Lei stringe i pugni e fa un passo indietro.

"Vieni con me, Dorothy. Ho un test per te. Se riuscirai a superarlo, potrai ritornare dai tuoi amati zii Em e Henry."

"Toto," sussurra Dorothy, "dev'essere un sogno." Il suo cuore si mette a battere all'impazzata, come un tamburo. Comincia a correre.

"Aspetta," urla il dottor Oz mentre lancia un marchingegno rettangolare e bagnato in direzione della sua gamba; nel giro di pochi secondi vengono entrambi trasportati in un universo parallelo.

Il dottor Oz fa cenno a Dorothy di seguirlo. "Dorothy, davanti a noi c'è una sede segreta di test, situata nei pascoli vicino a Lebanon, nel Kansas, proprio al confine con il Nebraska.

"Allontanati da me, tu sei il diavolo!"

Il dottor Oz sogghigna mentre la osserva sbirciare gli alti muri della costruzione ottagonale color smeraldo. "Noi questo posto lo chiamiamo Oz."

Toto è immobile, come se fosse diventato di ghiaccio. I peli ritti sulla pelle gelida.

"Il mio cane – cosa gli hai fatto?"

Grazie a un'oscillazione dei tentacoli del dottor Oz, Toto si rianima e le salta in braccio.

In un attimo, Dorothy si ritrova sulla soglia di un grande edificio ultramoderno; si volta a guardare la campagna. Sente provenire dal lontano nord il basso gemito del vento, e può vedere l'erba alta ondeggiare all'arrivo della tempesta. Un fischio acuto riempie l'aria. Sarà veramente il vento, oppure l'erba è mossa da qualche creatura nascosta?

Il dottor Oz allunga uno dei suoi potenti tentacoli, tocca le delicate spalle di Dorothy per farle segno di avvicinarsi. Il test comincia.

| << | < | > | >> |

Pagina 58

21. Dove sono i numeri composti?

    Si arriva alla verità non solo attraverso la ragione,
    ma anche attraverso il cuore.

    Blaise Pascal, Pensieri (1670)

Il dottor Oz per gioco lancia a Toto dei biscotti per cani a forma di calamaro. "Dorothy, oggi devi trovare 10.000 numeri non primi consecutivi. Quando li hai trovati, mi dirai come ci sei riuscita."

Dorothy prende Toto e si allontana. "Questo è un ordine assurdo. Non pensi sia necessario un computer per risolvere il puzzle?"

"Non c'è bisogno di alcun computer per darmi un semplicissimo programma per trovare 10.000 numeri. È necessario che io ti ricordi che un numero primo è un numero intero positivo che non può essere scritto come il prodotto di due o più numeri interi più piccoli? Per esempio, il numero 6 è uguale a 2 volte 3; dunque non è un numero primo. 6 è un non primo o numero 'composto'. D'altro canto, 7 non può essere scritto come il prodotto di due o più numeri interi più piccoli; quindi 7 è chiamato numero primo o, semplicemente, primo."

"Dottor Oz, oggi sei alquanto loquace."

Lui annuisce. "Qui ci sono i primi numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. Nota che il gap fra numeri primi successivi varia; per esempio, tra questi primi, l'intervallo è 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6... Il matematico greco Euclide ha dimostrato che esiste un numero infinito di numeri primi. Ma questi numeri non avvengono in una sequenza regolare, e non c'è una formula per produrli. Quindi, per scoprire nuovi grandi numeri primi, bisogna generare e testare milioni di numeri."

Il dottor Oz si infila nella gola umidiccia un biscotto per cani. "Dopo questa piccola introduzione ai numeri primi e non primi, la tua missione è cercare 10.000 numeri non primi consecutivi. Cosa devi fare per riuscirci?"

Livello di difficolta: •••

| << | < | > | >> |

Pagina 86

37. La matematica del verme piatto

    In quasi tutte le scienze, una generazione smonta ciò che un'altra ha
    costruito, e ciò che qualcuno stabilisce altri annullano. Solo in
    matematica ogni generazione aggiunge del nuovo alla struttura esistente.

    Herman Henkel, da A Mathematical Journey di S. Gudder

Dopo aver passato una lunga giornata settembrina facendo surf nel ciberspazio, il dottor Oz spegne i computer e decide di gareggiare con i marosi veri. L'acqua dello stagno non è eccessivamente fredda, anche se probabilmente questa sarà la sua ultima nuotata della stagione. Le onde, anche se piccole, sono sufficienti perché la sua tavola da surf si muova nel vento.

Dopo appena qualche minuto, il dottor Oz si ritrova circondato da diverse dozzine di vermi piatti. La loro lunghezza non raggiunge il centimetro, e mentre lui tenta di allontanarli lanciando schizzi d'acqua, taglia inavvertitamente in due il corpo di un verme piatto.

Per una pura coincidenza, proprio quello stesso giorno il dottor Oz aveva letto dello stupefacente potere rigenerativo dei vermi piatti, per cui sa che probabilmente i due pezzi del verme sopravviveranno e che da ognuno di essi si svilupperà un verme intero. Dopo aver osservato lo stagno per qualche minuto, il dottor Oz inventa un problema che chiama la Matematica del verme piatto che, come nella situazione stagno, implica la moltiplicazione e la divisione di vermi. In particolare, il problema consiste in moltiplicazioni e troncature ("tagli") ripetuti di numeri interi; il dottor Oz è convinto che questo tipo di problema sia stimolante, sia che utilizziate un computer o anche solo carta e penna.

Iniziate scegliendo un qualsiasi numero pari di due cifre. Moltiplicatelo per 2; se il risultato è composto da più di due cifre, troncatelo conservando solo le ultime due cifre; poi moltiplicatelo di nuovo per 2. Ripetete il procedimento. Così, ad esempio, 12 diventa 24, poi 48, poi 96, poi 92 (2 x 96 = 192, tagliamo il primo numero, l'1), e così via. Qui di seguito e raffigurato un diagramma che indica come il numero iniziale 12 faccia venti passaggi prima di tornare a 12.

    12 > 24 > 48 > 96 > 92 > 84 > 68 > 36 > 72 > 44
    /\                                           \/
    56 < 28 < 64 < 32 < 16 < 08 < 04 < 52 < 76 < 88

    Sequenza del verme piatto

Le sequenze del verme piatto tornano sempre al numero con cui iniziano? Se sì, normalmente di quanti passaggi sono composte?

Livello di difficoltà: ••

| << | < | > | >> |

Pagina 128

57. Pallottole aliene

    La natura rivela che con l'accrescersi delle conoscenze cresce anche la
    capacità del dolore, ed è solo al massimo grado della conoscenza che la
    sofferenza raggiunge il culmine.

    Arthur Schopenhauer, Parerga e paralipomena

Un alieno alato dall'apertura alare di nove metri vola verso Dorothy ed espelle 969 pallottole color smeraldo. Dorothy non è sicura se deve provare disgusto o piacere per gli scintillanti essudati.

Poi decide che la cosa più prudente è allontanarsi dalla portata delle pallottole, intanto la creatura ne lascia cadere altre 486, poi 192, e infine 18. Il procedimento è accompagnato da suoni orribili, una via di mezzo tra un colpo di cannone e il richiamo che emettono gli alci. Forse la creatura sta cercando di capire quanto Dorothy sia intelligente. L'alieno la fissa con i suoi immensi occhi neri. Sta aspettando che lei stabilisca quante saranno le prossime pallottole. Deve essere veloce a fare il calcolo! Se non risponde entro cinque minuti, l'alieno produrrà esplosioni gassose puzzolenti di diossido di zolfo.

Livello di difficoltà: ••

| << | < | > | >> |

Pagina 129

58. La bellezza di affettare poligoni

    Se guardiamo dentro di noi troviamo inclinazioni che rivelano che le nostre
    intelligenze si sono evolute da forme inferiori; se potessimo vedere le
    nostre menti, magari scopriremmo che sono caudate.

    W. Windwood Reade

I celenterati provenienti da Venere vivevano all'estremità di un complesso di lancio del Kansas, in campi temporanei, circondati da reticolati. Queste creature passavano il tempo pregando, protestando e distribuendo volantini – monitorati in continuazione dai parenti del dottor Oz e dai suoi robot telecomandati.

"Non far caso a loro." Dice il dottor Oz. "La Terra è veramente calda in questi giorni. Stiamo tentando di persuaderli a cercare mondi più fertili da conquistare."

Dorothy sospira. "Te ne sarei grata, ma sembra che tu stesso stia cercando di impadronirti della Terra."

"Magari no, se sei in grado di dimostrare il tuo valore."

"Valore? Il valore dell'umanità non si misura dall'intelligenza dei suoi individui, ma piuttosto dalla compassione della razza come insieme."

"Devo meditare su quanti affermi." Il dottor Oz consegna a Dorothy pezzi di un gioiello pentagonale. "Dai un'occhiata ai medaglioni preferiti dai celenterati. Tutti hanno la forma di poligoni."

"Sono bellissimi."

"Ma adesso voglio che tu faccia una riflessione più generale, su un poligono regolare con n lati, o n-go. Per farti un esempio, un triangolo è un 3-go e un quadrato è un 4-go."

"Dimmi di più. Sono curiosa."

"Voglio prendere in considerazione il numero di parti interne a un n-go create dalle sue diagonali."

"Questo è facile. Per un quadrato, le diagonali creano 4 parti." Dorothy raccoglie un gesso e disegna un quadrato tagliato per le diagonali.

"Giusto, per poligoni con pochi lati è facile determinare il numero di parti. Infatti, possiamo disegnare una tabella di valori per i triangoli, i quadrati, i pentagoni, e così via. La variabile R(n) è il numero di parti."

Il dottor Oz solleva il monitor perché Dorothy possa vedere.

    Nome            n       R(n)

    triangolo       3       1
    quadrato        4       4
    pentagono       5       11
    esagono         6       24
    ettagono        7       50
    ottagono        8       80
    ennagono        9       154
    decagono        10      220

    Poligoni tagliati per le loro diagonali

"Ooh," esclama Dorothy, "i numeri di fette aumentano in fretta. Ci sono 220 fette in un poligono a 10 lati."

"Okay, Dorothy, questa è la tua sfida. Considera un 30-go con tutte le sue diagonali segnate." Il monitor mostra la figura 58.1. "La tua missione è dirmi in quante fette è tagliato. Devi anche ricavare una formula che ti permetta di contare il numero di fette di ogni poligono tagliato per le sue diagonale

"Oh, Dio, no! Per me è troppo difficile da risolvere."

È possibile che Dorothy abbia ragione, e che nessun essere umano sia in grado di risolvere un problema così difficile?

Livello di difficoltà: ••••

| << | < | > | >> |

Pagina 143

66. Un codice semplice

    L'indagine matematica eleva la mente umana e la avvicina al divino più di
    quanto non accada attraverso qualsiasi altro mezzo.

    Hermann Weyl (1885-1955)

Quando sulla Terra gli esseri umani realizzano di dover condividere il pianeta con il dottor Oz e i suoi parenti trocofori, molti scienziati umani cominciano ad avere difficoltà a trovare finanziamenti per le loro ricerche. Uno degli effetti dell'arrivo del dottor Oz è che i governi e i politici pensano che la presenza dell'alieno permetta all'umanità l'accesso alle sue conoscenze superiori.

Per quale motivo spendere in ricerche dollari preziosi per indagare in campi che i trocofori hanno già pienamente esplorato?

Per fortuna il dottor Oz avvisa gli scienziati terrestri che finanzierà lui le loro ricerche – e permetterà che studino diversi brevetti trocofori su tecnologie avanzate – se i terrestri riusciranno a trovare qualcuno che in due minuti risolva l'enigma seguente.

Quale numero sostituisce il punto interrogativo?

        2    0    0    0    0    1

        1    4    0    0    1    0

        2    0    1    1    5    0

        3    1    0    3    2    3

        0    1    1    0    ?    0

Livello di difficoltà: ••

| << | < | > | >> |

Pagina 167

85. Cos'è l'arte?

    Il telefono della mia mente è sempre libero per la pace, l'armonia, l'amore
    e l'abbondanza. Ma ogni volta che tentano di contattarmi il dubbio, l'ansia
    o la paura, trovano il segnale di occupato, così si dimenticheranno in
    fretta il mio numero di telefono.

    Edith Armstrong

Dorothy sta gironzolando nella sede dei test di Oz. Cerca di rilassarsi, lasciando che la sua mente si liberi da tutte le angosce degli ultimi mesi come nuvole che svaniscono con la brezza autunnale.

Osserva quella strana galleria di forme e vede un dipinto a olio di De Kooning. Sotto il quadro c'è una targa con il nome del dipinto: Donna I, 1950. Le enormi pupille della donna raffigurata nel quadro sembrano fissare Dorothy come scuri proiettori. La figura sembra una cantante d'opera dello spazio cosmico, e ha il mento più sfuggente marcato che mai si sia visto in tutta l'arte occidentale."

"Ti piace il quadro?" chiede il dottor Oz.

"Non è il mio genere."

"Cosa ne dici di questo?" Il dottor Oz indica un quadro con dei numeri.

    327891   327855   327864

    327849   327828   327837

"E tu questa la chiami arte?"

"Sì. Quale di questi sei numeri non ha nulla a che fare con gli altri cinque? Hai sei giorni per darmi la risposta."

Livello di difficoltà: ••

| << | < | > | >> |

Pagina 170

87. Paradiso e inferno

    Nella matematica pura noi contempliamo le verità assolute che esistevano
    nella mente divina prima che le stelle del mattino risuonassero insieme, e
    che continueranno a trovarsi là anche quando l'ultima delle loro luccicanti
    ospiti sarà caduta dal cielo.

    Edward Everett, citato da E. T. Beli in The Queen of the Science

Il dottor Oz e Dorothy fluttuano su un aeromobile largo quasi tre metri, dalla forma ovoidale. Al centro della nave spaziale c'è un robot dall'aspetto di calamaro con diciassette tentacoli che si muovono come se scivolassero su una superficie bagnata. Dorothy non è in grado di capire le sue intenzioni. Il robot comincia a salmodiare a bassa voce.

"Dorothy," dice, "la mia specie è interessata al vostro concetto di paradiso, inferno e limbo."

Sul momento lei resta a bocca aperta, ma poi gli risponde. "Mi piace pensare che siano uno stato della mente più che dei luoghi reali."

"Sciocchezze," afferma il robot. "Nei miei sogni ho visitato l'inferno. È governato da un grosso calamaro con tentacoli affilati."

"Quello che afferma il robot è vero," dice il dottor Oz annuendo.

Dorothy scuote la testa. "Dottor Oz, non ti accorgi che state proiettando le vostre speranze, paure e sensazioni in un concetto antiquato della vita ultraterrena?"

"Stai cominciando a parlare in modo eccessivamente sofisticato per una ragazza di campagna del Kansas, anche per essere nel ventunesimo secolo," le risponde lui.

"Sì, perché Mister Plex ha massaggiato il mio midollo oblungo e il mio cervello per aumentare le mie capacità di elaborare informazioni più complesse."

Il dottor Oz batte i tentacoli sul pavimento. "Bene, allora elabora questo." Dà a Dorothy una placca dorata con incise alcune parole.

"Qual è il percorso più lungo che puoi seguire in questo intrico?" domanda il dottor Oz. "Puoi partire e terminare su qualsiasi casella, ma ti è permesso passare per la stessa casella solo una volta. Puoi muoverti in su, in giù, a destra e a sinistra ma lungo il tuo viaggio non puoi andare su due caselle adiacenti che contengano la stessa parola.

                paradiso    inferno     paradiso

    paradiso    limbo       limbo       limbo       inferno

    inferno     inferno     paradiso    inferno     paradiso

    limbo                                           limbo

    paradiso                                        inferno

    inferno                                         paradiso

    inferno     paradiso    inferno     limbo       limbo

    limbo       paradiso    paradiso    paradiso    inferno

                inferno     limbo       inferno

    La visione trocofora della vita terrena e ultraterrena

Per farti un esempio, non puoi andare da una casella 'limbo' direttamente a un'altra 'limbo'."

Livello di difficoltà: •

| << | < | > | >> |

Indice

| << | < | > | >> |

Pagina 11

| << | < | > | >> |

Pagina 21

| << | < | > | >> |

Pagina 58

| << | < | > | >> |

Pagina 86

| << | < | > | >> |

Pagina 128

| << | < | > | >> |

Pagina 129

| << | < | > | >> |

Pagina 143

| << | < | > | >> |

Pagina 167

| << | < | > | >> |

Pagina 170

| << | < |