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Indice

PRESENTAZIONE DELL'EDIZIONE ITALIANA                 xi
PREFAZIONE                                         xiii

1   ANALISI COMBINATORIA                              1

1.1 Introduzione                                      1
1.2 Il principio fondamentale
    del calcolo combinatorio                          1
1.3 Permutazioni                                      3
1.4 Combinazioni                                      5
1.5 Coefficienti multinomiali                         9
1.6 Il numero di soluzioni intere di una equazione   11
    Riassunto                                        14
    Esercizi                                         15
    Esercizi teorici                                 17
    Esercizi di autovalutazione                      21

2   ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ                        23

2.1 Introduzione                                     23
2.2 Spazio campionario ed eventi                     23
2.3 Assiomi della probabilità                        27
2.4 Alcune semplici proprietà                        30
2.5 Spazi campionari con esiti equiprobabili         34
2.6 La probabilità come funzione di insieme continua 45
2.7 La probabilità come una misura della fiducia     49
    Riassunto                                        50
    Esercizi                                         51
    Esercizi teorici                                 57
    Esercizi di autovalutazione                      60

3   PROBABILITÀ CONDIZIONATA E INDIPENDENZA          63

3.1 Introduzione                                     63
3.2 Probabilità condizionata                         63
3.3 La formula di Bayes                              68
3.4 Eventi indipendenti                              81
3.5 P(.|F) è una probabilità                         93
    Riassunto                                       100
    Esercizi                                        101
    Esercizi teorici                                112
    Esercizi di autovalutazione                     115

4   VARIABILI ALEATORIE                             119

4.1 Variabili aleatorie                             119
4.2 Variabili aleatorie discrete                    124
4.3 Valore atteso                                   126
4.4 Valore atteso di una funzione di una variabile
    aleatoria                                       130
4.5 Varianza                                        134
4.6 Le variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali 136
    4.6.1 Proprietà delle variabili aleatorie
          binomiali                                 141
    4.6.2 Calcolo della funzione di distribuzione
          di una variabile binomiale                144
4.7 La variabile aleatoria di Poisson               145
    4.7.1 Calcolo della funzione di distribuzione
          di una variabile di Poisson               153
4.8 Ulteriori distribuzioni di probabilità discrete 154
    4.8.1 La variabile aleatoria geometrica         154
    4.8.2 La variabile aleatoria binomiale negativa 156
    4.8.3 La variabile aleatoria ipergeometrica     158
    4.8.4 La distribuzione Zeta (o Zipf)            162
4.9 Proprietà delle funzioni di distribuzione       162
    Riassunto                                       165
    Esercizi                                        167
    Esercizi teorici                                176
    Esercizi di autovalutazione                     180

5   VARIABILI ALEATORIE CONTINUE                    183

5.1 Introduzione                                    183
5.2 Valore atteso e varianza
    di una variabile aleatoria continua             186
5.3 La variabile aleatoria uniforme                 191
5.4 Variabili aleatorie normali                     194
    5.4.1 L'approssimazione normale
          della distribuzione binomiale             201
5.5 Variabili aleatorie esponenziali                204
    5.5.1 Funzioni di rischio                       209
5.6 Altre distribuzioni continue                    212
    5.6.1 La distribuzione Gamma                    212
    5.6.2 La distribuzione di Weibull               214
    5.6.3 La distribuzione di Cauchy                214
    5.6.4 La distribuzione Beta                     214
5.7 La distribuzione di una funzione
    di variabile aleatoria                          216
    Riassunto                                       219
    Esercizi                                        221
    Esercizi teorici                                225
    Esercizi di autovalutazione                     228

6   LEGGI CONGIUNTE DI VARIABILI ALEATORIE          233

6.1 Funzioni di distribuzione congiunte             233
6.2 Variabili aleatorie indipendenti                241
6.3 Somme di variabili aleatorie indipendenti       254
6.4 Distribuzioni condizionate: il caso discreto    262
6.5 Distribuzioni condizionate: il caso continuo    263
6.6 Statistiche ordinate                            266
6.7 Distribuzioni congiunte di funzioni
    di variabili aleatorie                          270
6.8 Variabili aleatorie scambiabili                 278
    Riassunto                                       281
    Esercizi                                        282
    Esercizi teorici                                288
    Esercizi di autovalutazione                     292

7   PROPRIETÀ DEL VALORE ATTESO                     297

7.1 Introduzione                                    297
7.2 Valore atteso di somme di variabili aleatorie   298
    7.2.1 Ottenere delle stime dal valore atteso
          con il metodo probabilistico              314
    7.2.2 L'identità dei massimi e minimi           316
7.3 Covarianza, varianza di una somma e correlazioni320
7.4 Valore atteso condizionato                      332
    7.4.1 Definizioni                               332
    7.4.2 Calcolo dei valori attesi
          con il condizionamento                    334
    7.4.3 Calcolo delle probabilità
          con il condizionamento                    341
    7.4.4 Varianza condizionata                     345
7.5 Valore atteso condizionato e predizione         347
7.6 Funzioni generatrici dei momenti                352
    7.6.1 Funzioni generatrici dei momenti congiunti361
7.7 Ulteriori proprietà delle variabili aleatorie
    normali                                         363
    7.7.1 La distribuzione normale multivariata     363
    7.7.2 La distribuzione congiunta della media
          campionaria e della varianza campionaria  364
7.8 Definizione generale di valore atteso           366
    Riassunto                                       367
    Esercizi                                        369
    Esercizi teorici                                379
    Esercizi di autovalutazione                     386

8   TEOREMI LIMITE                                  391

8.1 Introduzione                                    391
8.2 La disuguaglianza di Chebyshev e
    la legge debole dei grandi numeri               391
8.3 Il teorema del limite centrale                  394
8.4 La legge forte dei grandi numeri                402
8.5 Ulteriori disuguaglianze                        405
8.6 Limiti alla probabilità di errore quando si
    approssima la somma di variabili aleatorie
    bernoulliane indipendenti con una variabile
    di Poisson                                      413
    Riassunto                                       415
    Esercizi                                        416
    Esercizi teorici                                418
    Esercizi di autovalutazione                     420

9   ULTERIORI ARGOMENTI DI PROBABILITÀ              423

9.1 Il processo di Poisson                          423
9.2 Catene di Markov                                426
9.3 Sorpresa, incertezza ed entropia                430
9.4 Teoria dei codici ed entropia                   435
    Riassunto                                       441
    Esercizi ed esercizi teorici                    442
    Esercizi di autovalutazione                     444
    Bibliografia                                    444

10   SIMULAZIONE                                    445

10.1 Introduzione                                   445
10.2 Tecniche generali per generare variabili
     aleatorie continue                             448
     10.2.1 Il metodo della trasformazione inversa  448
     10.2.2 Il metodo del rigetto                   449
10.3 Simulazione di distribuzioni discrete          454
10.4 Tecniche di riduzione della varianza           457
     10.4.1 Utilizzo delle variabili antitetiche    457
     10.4.2 Riduzione della varianza grazie
            al condizionamento                      458
     10.4.3 Variabili di controllo                  460
     Riassunto                                      460
     Esercizi                                       461
     Esercizi di autovalutazione                    463
     Bibliografia                                   464

A RISPOSTE AGLI ESERCIZI SELEZIONATI                465

B SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DI AUTOVALUTAZIONE       467

INDICE ANALITICO                                    509

 

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Pagina xi

L'opera di Sheldon Ross Calcolo delle probabilità è uno tra i migliori libri di testo sull'argomento presenti in letteratura. Giunto alla sesta edizione in lingua inglese, il libro illustra la materia in modo semplice e chiaro; ogni nuovo concetto viene immediatamente applicato ad esempi concreti, spesso non banali.

L'approccio è certamente meno astratto e teorico rispetto alla maggior parte dei testi disponibili in lingua italiana, e per questa ragione abbiamo deciso di integrare con poche, semplici note il testo originale, per segnalare al lettore più attento come alcuni risultati necessitino in realtà di opportune ipotesi per essere ben posti.

La maggiore qualità del testo risiede invece nella grande quantità di esempi (molti dei quali assolutamente non banali) e applicazioni delle tecniche base della teoria del calcolo delle probabilità, caratteristica che contraddistingue l'opera rispetto a gran parte del panorama editoriale in lingua italiana. Pensiamo che sia soprattutto rimarcabile la parte del testo dedicata alle leggi condizionate e al valore atteso condizionato, definiti in maniera chiara e illustrati attravero alcuni esempi molto interessanti. Sono inoltre presenti un gran numero di esercizi ed esercizi teorici, della maggior parte dei quali è riportata la soluzione numerica al termine del testo, ed esercizi di autovalutazione, di cui è presentata la soluzione in completo dettaglio.

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Pagina xiii

"La teoria della probabilità è, al fondo, semplice buon senso tradotto in calcolo; ci fa valutare con esattezza ciò che una mente ragionevole sente per una sorta di istinto... È degno di nota che questa scienza, nata a servizio dei giochi d'azzardo, sia diventata il più importante oggetto della conoscenza umana... Le più importanti questioni della vita sono, per la maggior parte, solo dei problemi di probabilità." Così scriveva due secoli fa il grande matematico e astronomo francese Pierre Simon De Laplace, uno dei fondatori della teoria delle probabilità. Anche se molti possono ritenere esagerato il commento di Laplace, la teoria delle probabilità è diventata uno strumento di importanza fondamentale per quasi tutti gli scienziati, ingegneri, medici, giuristi e operatori aziendali.

Questo libro presenta in forma chiara e accessibile i concetti fondamentali della teoria delle probabilità. Il testo, che presuppone la conoscenza del calcolo infinitesimale, si rivolge in particolare agli studenti delle facoltà di Ingegneria, Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali, Scienze Statistiche ed Economia. Il libro non si limita a presentare l'aspetto matematico della teoria delle probabilità, ma cerca anche di illustrare, attraverso numerosi esempi, le più disparate applicazioni di questa teoria.

Nel Capitolo 1 presentiamo i principi di base dell'analisi combinatoria, uno tra gli strumenti più utili per il calcolo delle probabilità.

Nel Capitolo 2 enunciamo gli assiomi della teoria delle probabilità e mostriamo come essi si possano applicare per calcolare diverse probabilità di interesse.

Il Capitolo 3 tratta l'argomento, estremamente importante, della probabilità condizionata e dell'indipendenza degli eventi. Illustriamo, attraverso una serie di esempi, non solo come le probabilità condizionate intervengano quando è disponibile una informazione parziale, ma anche come esse siano uno strumento che permette di calcolare le probabilità più facilmente, senza disporre necessariamente di una informazione parziale. La tecnica di ottenere le probabilità "condizionando" rispetto a un evento riappare nel Capitolo7, dove la usiamo per calcolare i valori attesi.

Nei Capitoli 4, 5 e 6 introduciamo il concetto di variabile aleatoria. Le variabili aleatorie discrete sono trattate nel Capitolo 4, quelle continue nel Capitolo 5 e le variabili aleatorie congiunte nel Capitolo 6. I concetti fondamentali di valore atteso e di varianza di una variabile aleatoria sono introdotti nei Capitoli 4 e 5; tali valori vengono poi calcolati per molti tipi comuni di variabili aleatorie.

Ulteriori proprietà del valore atteso sono considerate nel Capitolo 7. Molti esempi illustrano l'utilità del fatto che il valore atteso di una somma di variabili aleatorie sia la somma dei loro valori attesi. Le sezioni sul valore atteso condizionato, che comprendono il suo utilizzo nella predizione, e le funzioni generatrici dei momenti, sono contenute in questo capitolo. Inoltre, la sezione finale introduce la distribuzione normale multivariata e presenta una dimostrazione semplice riguardante la distribuzione congiunta della media campionaria e della varianza campionaria da un campione di distribuzioni normali.

Nel Capitolo 8 presentiamo i maggiori risultati teorici del calcolo delle probabilità: la legge forte dei grandi numeri e il teorema del limite centrale. La dimostrazione della legge forte dei grandi numeri presente nel libro è abbastanza semplice, essendo richiesto che le variabili ammettano momento di ordine quattro finito. Quella del teorema del limite centrale utilizza invece il teorema di continuità di Paul Levy, che non viene dimostrato. Inoltre in questo capitolo presentiamo le disuguaglianze di Markov e di Chebyshev e i limiti di Chernoff. L'ultima sezione del capitolo è invece dedicata alla determinazione di un limite dell'errore che si commette approssimando le probabilità relative a una somma di variabili di Bernoulli indipendenti con le corrispondenti probabilità per una variabile di Poisson che abbia il medesimo valore atteso.

Il Capitolo 9 presenta alcuni ulteriori argomenti, come le catene di Markov, il processo di Poisson e una rapida introduzione alla teoria dell'informazione e dei codici. Nel Capitolo 10 viene infine introdotto il tema della simulazione.

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