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Indice

Presentazione 9
Introduzione 11
Note per gli insegnanti 13
Ringraziamenti 14

Problemi

— Criptaritmetica: da problema 1 a 27, 17
— Ordine e conteggio: da problema 28 a 34, 25
— Calcolo combinatorio: da problema 35 a 39, 29
— Reticoli euleriani e calcolo combinatorio: da problema 40 a 52, 33
— Magia matematica: da problema 53 a 68, 39
— Logica: paradossi e analisi di situazioni: da problema 69 a 88, 45
— Algebra: da problema 89 a 117, 53

Problemi "Gara Matematica città di Padova"

— Edizione 1986: problema 3, 29 — Edizione 1992: problema 1, 29
— Edizione 1993: problema 2, 42 — Edizione 1987: problema 5, 56
— Edizione 1988: problema 2, 58 — Edizione 1990: problema 7, 58
— Edizione 1986: problema 4, 62 — Edizione 1987: problema 3, 62
— Edizione 1993: problema 4, 62 — Edizione 1987: problema 1, 64
— Edizione 1991: problema 2, 64 — Edizione 1993: problema 6, 64
— Edizione 1986: problema 8, 64 — Edizione 2003: problema 4, 23
— Edizione 1996: problema 1, 31 — Edizione 1999: problema 1, 31
— Edizione 1997: problema 3, 64 — Edizione 2000: problema 2, 64

Quesiti storici

— Prima Olimpiade nazionale (Ungheria, 1894): problema 1, 66
— Prima Olimpiade internazionale (Romania, 1959): problema 1, 66

Soluzioni 69


Nozioni utili per la risoluzione dei problemi 231

Bibliografia 237

 

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Pagina 11

I matematici sono extraterrestri?

Da recenti indagini il dubbio non appare infondato. L'invasione potrebbe essere avvenuta all'incirca 5000 anni fa con uno sbarco a Stonehenge da una astronave extragalattica. Rimasti nascosti per secoli in piccoli eremi sparsi sulle montagne, pare si stiano diffondendo con progressione esponenziale su tutto il pianeta, proprio in questo secolo.

Contrariamente a luoghi comuni molto radicati sull'immagine della matematica, sta emergendo sempre più chiaramente in Italia e nel mondo, non ultimi i paesi in via di sviluppo, questo popolo sommerso e poco incline allo spettacolarismo che si diverte e gareggia con la matematica, in varie forme, e a diverse età, muovendosi con naturalezza e soddisfazione in un terreno ritenuto da altri contro natura.

Forse questo amore per la matematica è una nostalgia inconscia verso il proprio luogo di origine, un "ricordo" platonico di un superiore mondo etereo la cui materia prima è il pensiero.

È così che in tutto il mondo si moltiplicano olimpiadi matematiche locali, regionali, nazionali, internazionali, in forma individuale o a squadre, addirittura tornei tra città di continenti diversi, in una battaglia senza frontiere di tutti contro tutti. È una valanga inarrestabile!

Anche l'Italia, pur tardivamente e tra molte reticenze, è stata alla fine contagiata, riscoprendo forse un'antica primogenitura iniziata con le disfide matematiche, onorate da personaggi famosi quali il Fibonacci e successivamente il Tartaglia.

Di più, si va facendo largo l'idea, che questi ludi matematici non siano una stravaganza da mattacchioni, bensì un humus piuttosto fertile che favorisca lo sviluppo dell'intera pianta. Ben l'aveva capito Johan Huizinga nella sua riflessione sull' homo ludens ma pochi l'hanno ascoltato con una attenzione superiore a quella dovuta d'ufficio.

E non si deve nemmeno pensare che la matematica da gioco, da gara, sia da salotto, di serie B, perché lontana dai suoi confini più strettamente specialistici. Ci sono persone che hanno vissuto entrambi questi momenti. Uno per tutti: Edward Teller, padre della bomba atomica americana e vincitore, da studente liceale, dell'Olimpiade ungherese del 1925.

Chi corregge gli elaborati degli studenti partecipanti alle diverse olimpiadi scopre una ricchezza e fecondità di approcci veramente incredibile e letteralmente imprevedibile, creando di fatto "nuovo sapere", tanto che ogni anno il livello di difficoltà di queste gare si fa sempre inesorabilmente più alto.

In non pochi casi gli studenti hanno battuto per originalità di soluzione i matematici che avevano proposto o discusso il problema stesso. D'altra parte un numero crescente di matematici nel mondo si dedica alle gare con sempre maggiore entusiasmo e convinzione.

Questo libro, pur nella sua semplicità, è animato da questo spirito e costituisce un'occasione e un invito a cimentarsi e a scoprire sorgenti di creatività e capacità di sintesi forse ancora latenti o non sufficientemente emerse.

Le problematiche proposte non scavalcano le conoscenze del biennio della scuola media superiore e attingono direttamente alle nozioni più elementari dell'aritmetica, tanto che possono offrire spunti anche per la scuola elementare. I problemi comunque possono trovare interesse oltre che per gli appassionati anche per gli studenti che all'inizio della 2a superiore, o del triennio, vogliono operare una prima sintesi e una prima verifica. Agli insegnanti possono offrire spunti didattici e materiale di lavoro.

In ogni caso, al di là delle possibili collocazioni può aiutare a comprendere da quale "pianeta" siamo venuti.

Buona fortuna.

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Pagina 17

PROBLEMA 1 Brindisi di Natale

Durante il pranzo di Natale 10 persone brindano e ognuno tocca il bicchiere di tutti gli altri. Quanti cin-cin vengono fatti? Quale forma geometrica, in senso pitagorico, avrà il numero totale dei brindisi?

PROBLEMA 2 Ragnatele

Dati 7 punti nel piano, a tre a tre non allineati, quanti segmenti congiungenti i singoli punti si possono tracciare?

PROBLEMA 3 Accoppiamenti

A una festa partecipano 8 ragazzi e altrettante ragazze. Se ogni ragazzo balla con tutte le ragazze, quante coppie diverse si possono formare?

PROBLEMA 4 Torneo

A un torneo partecipano 10 squadre. Quante partite vengono disputate, se ogni squadra incontra una sola volta tutte le altre?

PROBLEMA 5 Somme continue

Qual è la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 99?

PROBLEMA 6 Diagonali 1

In un poligono di 20 lati, quante sono le diagonali?

PROBLEMA 7 Diagonali 2

Esiste un poligono convesso con 159 diagonali?

PROBLEMA 8 Somme continue di pari

Qual è la somma di tutti i numeri pari da 2 a 50?

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Pagina 48

Una persona ha un sacchetto pieno di cioccolatini di cioccolato fondente e di cioccolato al latte. Quanti cioccolatini deve pescare, per averne sicuramente due dello stesso gusto? E quanti per averne 3 dello stesso gusto? E per averne 11? E per averne n?

PROBLEMA 84 Sacchetti e palline colorate 1

In tre sacchetti di colore verde, bianco e rosso vengono messe tre palline degli stessi colori, una per sacchetto, in modo che nessun sacchetto contenga una pallina del proprio colore. Quanti sacchetti occorre aprire per conoscere il contenuto degli altri?

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Pagina 49

Teorema

Ogni numero è uguale al suo doppio.

Quindi 1 = 2 !!!

Dimostrazione

    Se

        a = b

    allora

        a x a = a x b

    e ancora, sottraendo (b^2) ad entrambi i membri avremo

    a^2 – b^2 = ab – b^2

    che equivale a

    (a + b) (a – b) = b (a – b)

    da cui otteniamo

    a + b = b

    se poniamo a = b = n

    n + n = n

    cioè... Ogni numero è uguale al suo doppio.

    Ponendo n = 1 otteniamo 2 = 1 !!!

Dov'è l' "errore"?

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Pagina 57

Scegli un numero a piacere di due cifre minore di 50. Scrivi a destra di esso il suo doppio, ottenendo così un numero di 4 cifre.

Dividi il nuovo numero per 2.

Dividi il risultato per 3.

Dividi il nuovo risultato per 17.

Ottieni il numero scelto.

Perché?

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Pagina 64

Problema 3

Due numeri primi si dicono gemelli quando la loro differenza è 2. Per esempio, sono gemelli 11 e 13 , 17 e 19, 29 e 31.

È vero che 5 è l'unico primo che ha due gemelli?

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Pagina 65

Problema 2

Chiamiamo "biisoscele" un triangolo che sia scomponibile in due triangoli isosceli non degeneri.

Dire quali delle seguenti proposizioni sono vere e quali false e perché.

A — Tutti i triangoli rettangoli sono biisosceli

B — Tutti i triangoli biisosceli sono rettangoli

C — Tutti i triangoli sono biisosceli

D — Il triangolo equilatero è biisoscele.

Quali triangoli isosceli sono biisosceli?

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Pagina 67

[...]

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