TecaLibri: Roberto Vacca: Anche tu matematico

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Perché imparare la matematica

Molti intellettuali sostengono che va bene così. Vivono benone senza matematica. Non ne sentono il bisogno. Studiarla è noioso - saperla è inutile. E perché, allora, dovrebbero faticare per impararla? Perché quelli che sanno di matematica cercano di generare complessi di inferiorità in chi non la sa? C'è chi sa di matematica e c'è chi sa di filologia greca o di musica: perché una di queste discipline deve essere considerata più importante delle altre? La risposta è che quegli intellettuali che hanno un complesso di inferiorità per la loro ignoranza matematica, farebbero bene a levarselo, imparandola. Invece quelli che non hanno un complesso di inferiorità, dovrebbero averlo - perché sono inferiori.

Prima che qualcuno mi accusi di terrorismo intellettuale, è bene che spieghi questa asserzione.

Sostengo che è inferiore chi non sa di matematica perché meno ne sa e più facilmente viene imbrogliato. Da chi? Ma da chiunque presenti le cose in modo falsato in termini quantitativi o di relazione e perfino dalla natura stessa, che non riusciamo a capire, come diceva Galileo, «se prima non si impara a intender la lingua e a conoscere i caratteri ne' quali è scritto questo grandissimo libro dell'Universo. Egli è scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto».

E facciamo qualche esempio. Dopo il lungo weekend di Pasqua nel 1988, un quotidiano uscì con un titolo a piena pagina: STRAGE SULLE STRADE: 121 I MORTI IN QUATTRO GIORNI. Parecchi lettori ingenui saranno inorriditi.

Un titolo così faceva pensare a un incidente unico - e un disastro che uccide più di cento persone insieme è davvero una strage. Se, però, avessero saputo che ogni anno in Italia muorivano circa 7000 persone in incidenti di traffico, avrebbero potuto calcolare che in un giorno medio muorivano nel traffico 7000/365 = 19.2 persone. In quattro giorni scelti a caso durante l'anno, è probabile che il numero totale dei morti in incidenti su strada non si discosti molto da 19,2 x 4 = 76.8. Le cose, allora, non erano tanto tragiche. A causa del traffico più intenso della gente che andava in vacanza, la media dei morti in incidenti di traffico in quei 4 giorni era stata del 50% superiore alla presunta media annuale. Non c'era da inorridire. È normale che in certi giorni si stia sotto la media e in giorni di traffico più intenso si stia sopra.

Fortunatamente le cose migliorano. Per quanto riguarda gli incidenti su strada, l'anno peggiore fu il 1970 sia negli USA, sia in Europa. Poi gradatamente i morti sono diminuiti. Le tabelle seguenti danno numero totale di morti/anno e numero per 100.000 abitanti.

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Area / Anno         1970        1980        1990        2004

USA               50.700      46.900      45.000      42.856
Europa (15)       77.800      64.237      56.413      41.000
Italia            11.400       9.220       7.137       5.625
Regno Unito        7.840       6.240       5.402       3.650
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Area /Anno          1970        1980        1990        2004

USA                   25          23          18          14
Europa (15)           22          17          15          10
Italia                20          16          13          10
Regno Unito           14          11          10           6
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La matematica necessaria per questo calcoletto è modesta. Non serve a salvarci la vita. Serve a capire meglio quel che succede, a giudicare l'obiettività di un giornale, magari, a non rinunciare a partire in auto nel periodo pasquale per il timore infondato di stragi che non son tali.

A parte le situazioni di rischio mortale, se sappiamo calcolare bene le percentuali, possiamo evitare di essere fregati da chi ci presta soldi o da chi ci dà lavoro o da chi ci vende qualche cosa con pagamenti dilazionati e affetti da interessi eccessivi. Se sappiamo fare bene conti di modesta complessità, possiamo evitare di pagare più tasse di quanto dovremmo. Questo conviene perché poi il fisco non ci ridarà le somme pagate in eccesso per nostro errore oppure lo farà dopo anni.

Con la matematica ci facciamo anche idee più chiare sui rapporti internazionali, sui confronti fra le nazioni, sull'economia, sulle statistiche, sulle probabilità, sulle decisioni, sulla plausibilità di piani di intervento o di imprese pubblicizzate dai governi o dalle industrie.

Questo libro offre, dunque, solo vantaggi pratici?

Non offro solo vantaggi pratici, anche stimoli intellettuali

Certi filosofi sosterrebbero certo che dalla matematica si possono sperare tutt'al più vantaggi pratici. Nei primi anni di questo secolo, Benedetto Croce affermò che matematica e scienza non accrescono il nostro sapere in quanto conducono solo alla formazione di pseudoconcetti e non costituiscono una realtà razionalizzabile, ma solo utilizzabile a scopi pratici. Scrisse anche:

«Le finzioni delle scienze naturali e matematiche postulano di necessità l'idea di un'idea che non sia finta. La logica, come scienza del conoscere, non può essere, nel suo oggetto proprio, scienza di finzioni e di nomi, ma scienza della scienza vera e perciò del concetto filosofico e quindi filosofia della filosofia».

Queste affermazioni così categoriche sono prive di senso - proprie come quelle fatte in quel tempo da Giovanni Gentile. Croce confessava, poi, candidamente di avere cognizioni molto elementari e generiche di matematica e di non essersi mai impegnato troppo nelle discussioni in tale materia. Oggi tutti i libri seri di storia e filosofia della scienza non menzionano nemmeno in nota Croce, né Gentile. Non varrebbe la pena di citarli qui, se non fosse che hanno influenzato con i loro punti di vista un paio di generazioni di intellettuali italiani che li hanno presi sul serio. In buona parte gli intellettuali cui mi rivolgo ora sono proprio quegli idealisti influenzati da Croce e Gentile o i loro figli o nipoti. La tradizione matematica è mancata nelle loro vite.

Così hanno preso in odio la matematica, l'hanno ignorata - e ora ne soffrono.

Deluderò, quindi, i malati di idealismo, ma non offrirò solo vantaggi pratici. Offro anche qualche modesto spiraglio teorico che potrà avere un valore intellettuale e spirituale non trascurabile - anche se io non sono un matematico professionista e non ho da raccontare cose tanto originali. (Però ho scoperto alcuni teoremi di teoria dei numeri.)

Alcuni di questi spiragli gettano qualche sprazzo di luce su problemi matematici più complicati e spiegano che cosa fanno i matematici veri quando affrontano un problema. Con l'occasione propongono al lettore qualche test più avanzato. Qualche lettore (specialmente giovane) può essere, infatti, tanto dotato per la matematica che farebbe bene a occuparsene in modo più serio e metodico - non solo leggendo libri di divulgazione.

Altri spiragli seguiranno gli argomenti di logica matematica. I rudimenti della logica matematica sono facilissimi e servono per ogni sorta di scopi pratici. Una volta che li avrete afferrati potrete almeno intravedere fino a quali eccelsi livelli di ragionamento possono condurre.

Potremo arrivare a parlare di paradossi (in modo metodico e rigoroso) e di questioni non decidibili.

Proporrò, dunque, anche argomenti abbastanza sottili - tali da sollecitare pesantemente l'intelletto. Vi farò intravedere almeno i contorni di problemi, la cui analisi getterà luce sui limiti della logica e della ragione.

La maggior parte del libro, però, è pratica. Non è un elenco di problemini paradossali o di curiosità. È un armamentario di strumenti con cui risolvere problemi. Non sarà facile per chi legga solo questo libro, raggiungere un livello di competenza tale da riuscire a risolvere problemi mai risolti prima. A questo scopo dovrà continuare a studiare parecchio.

Però, già solo con questo libro potrete risolvere problemi veri. Potrete trovare aiuti a capire meccanismi, relazioni e variazioni di oggetti e di processi che si incontrano nei campi più disparati. Potrete raggiungere livelli più avanzati nel comprendere come si fa ad analizzare i cambiamenti del mondo intorno a voi. Potrete finalmente usare in modo giusto e costruttivo parole tecniche, che hanno perso il loro vero significato mentre entravano nell'uso comune. Per esempio, capirete che significhino le espressioni «esponenziale», «logaritmico», «derivata», «integrale» - e imparerete a calcolare esponenziali, logaritmi, derivate e integrali.

Questo libro fornisce soprattutto concetti operativi e, per quanto possibile, fornisce strumenti che ciascuno si può ricostruire ogni volta - senza bisogno di memorizzare niente.

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5. CAPIAMO IL MONDO CHE CAMBIA (LE DERIVATE) E MISURIAMONE TANTO (GLI INTEGRALI)

Ormai avete letto (o saltato: non vi vergognate, succede a tutti) parecchie pagine di questo libro e avete incontrato procedure, meccanismi di calcolo, ma non molte storielle di alleggerimento o aneddoti. Negli ultimi capitoli ne inserirò di più – ma non ora.

Questo è il momento di fare qualche discorso più concettuale. Come anticipavo nel primo capitolo, la matematica è una cosa seria che serve a vivere meglio e a pensare meglio.

Da Eraclito in poi abbiamo capito che «tutto scorre». Non potremo bere due volte la stessa acqua fluente nello stesso fiume. Il mondo intorno a noi cambia. Nessuno ha mai pensato il contrario, nemmeno i filosofi di Elea, come Parmenide e Zenone, secondo i quali – come ci hanno insegnato erroneamente – «l'essere è immutabile e il moto non esiste».

Su questi frammenti degli Eleati, tanti storici della filosofia hanno costruito interpretazioni gratuite e inutili. C'è voluto Federigo Enriques per spiegare che «τò εòν», l'esistente di Parmenide, andava tradotto come «spazio», non con «essere». Gli Eleati affermavano solo che lo spazio non cambia, nel senso che le sue proprietà sono le stesse ovunque. La loro era una filosofia della geometria greca. Probabilmente avevano anche intuito qualcosa di relatività. Intendevano dire che non esiste moto assoluto (vedi F. Enriques e G. de Santillana, Storia del pensiero scientifico, Treves-Treccani-Tumminelli, 1932).

Oggi, poi, tutti parlano del cambiamento continuo del mondo attorno a noi. Il passo della tecnologia accelera. La società cambia in dieci anni più di quanto cambiasse prima in dieci secoli. Grandi economisti cercano di spiegare le leggi della crescita, dello sviluppo, del cambiamento.

Guillaume de Greef scrisse Le transformisme social nel 1895: è un pezzo in cui si discute dei cambiamenti della società. Notoriamente se ne occupò anche Karl Marx.

Nel 1969 Peter Drucker, noto economista ed esperto di organizzazione industriale, intitolava un suo libro The age of discontinuity («L'era della discontinuità»). Ogni giorno appaiono libri che cercano di spiegare, di analizzare, di anticipare i cambiamenti economici, sociali, politici, culturali.

È curioso e ironico che la stragrande maggioranza di questi autori non abbia cambiato modo di ragionare. Ragionano e scrivono ancora in termini discorsivi come si faceva cento, mille o duemila anni fa.

Non forniscono dati numerici. In parte non li hanno, in parte non li usano - o non li sanno usare.

Non sembra ovvio che per parlare di cambiamento dobbiamo confrontare lo stato di cose in un certo tempo con quello in un altro tempo? L'entità del cambiamento in sé ci dice poco. Non è la stessa cosa che un prezzo sia raddoppiato nel corso di trent'anni o nel corso di quattro mesi.

Per questo i dati numerici dovrebbero essere rappresentati da serie storiche. Dovremmo anzitutto provare a misurare il misurabile (certo: cercando di garantire che i numeri siano fedeli alla realtà). E poi dovremmo esaminare queste liste di numeri - ciascuno riferito all'anno o al mese in cui è stato rilevato.

Se non facciamo così non capiremo mai bene i cambiamenti. Ne parleremo in modo sfocato. Parleremo di cambiamenti che in realtà non si sono verificati. Non ne vedremo di drammatici.

La matematica ci può aiutare a capire bene i cambiamenti e a misurarli.

Ci insegna a capire e a misurare il cambiamento del cambiamento e anche quanto velocemente cambi il cambiamento del cambiamento.

I soli cambiamenti di cui parlano quasi tutti sono: quello dello spazio rispetto al tempo - che chiamiamo «velocità» - e quello della velocità nel tempo, che chiamiamo «accelerazione».

Qui, certo, si tratta di imparare certi meccanismi - certi algoritmi - come abbiamo già fatto nella prima parte del libro. Però si tratta anche di acquistare concetti nuovi e di formare nella nostra mente modelli del mondo più ricchi, più dettagliati, più efficaci.

Anche qui non si tratta di roba nuova. Le basi le aveva gettate Pierre de Fermat, il principe dei matematici dilettanti, nel '600. Poi i passi più grossi sono stati fatti da Newton e da Leibniz. Questo progresso straordinario ancora continua. Per non esserne esclusi bisogna impadronirsi almeno dei concetti di derivata e di integrale.

Non sono concetti astrusi, non vi spaventate. Ho trovato modi semplici per permettervi di usare questi strumenti proprio come fanno i matematici professionisti.

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9. STATISTICHE MENZOGNERE E NO

Le statistiche non mentono, ma i bugiardi e gli imbroglioni le adoperano spesso. Si può ripetere a proposito delle statistiche quello che dicevo sulle percentuali a pagina 116. In effetti le percentuali di adolescenti con i denti cariati o no erano statistiche – vere o inventate.

I ragionamenti sulle statistiche, come quelli sulle probabilità, sono intricati. È facile farli storti. È facile interpretare male quelli che, invece, sono stati fatti correttamente.

Qual è il concetto corrente che la gente ha delle statistiche?

Usualmente vengono interpretate come tabelle in cui si elencano numeri rilevati sulla popolazione, l'economia, la produzione di automobili, acciaio, rame, ghiaia, libri, strade, sugli ospedali, sul numero di morti suddivisi fra le varie cause di morte, sul funzionamento dei tribunali e così via. Poi su queste tabelle si calcolano le medie. Così qualcuno può ripetere la vecchia battuta secondo cui non è vero che mangiamo un pollo a testa: magari tu ne mangi 2 e io nessuno. E su questa debole base si sostiene che le statistiche sono false o inutili.

In effetti le statistiche ci possono dire molto di più.

Come osservavo a pagina 12, a proposito degli incidenti stradali, l'opinione che ci formiamo su di un fatto o su di una notizia cambia radicalmente a seconda di quanto già sappiamo su quell'evento o fenomeno.

Che vogliamo dire davvero quando diciamo che di solito le cose stanno in un certo modo? Ci riferiamo a quello che succede più frequentemente o alla media di quello che succede?

Se non riflettiamo, non ci rendiamo nemmeno conto di quale sia la differenza fra queste due alternative. È meglio fare un esempio.

Supponiamo di aver misurato l'altezza di 10 persone (in metri) e di aver registrato i valori seguenti:

1,49 1,51 1,61 1,62 1,72 1,75 1,75 1,76 1,84 1,92

La media è 1,697 che si calcola come la somma delle dieci altezze divisa per 10.

La mediana è la media fra i due valori centrali 1,72 e 1,75 ed è quindi 1,735.

La moda è il valore più frequente. I dieci numeri sono tutti diversi fra loro meno due, i quali hanno il valore 1,75 – che è dunque, il più frequente – la moda.

Perché racconto queste cose? Qualcuno potrebbe obiettare che queste sono definizioni - solo parole - e non strumenti come avevo promesso.

Non è proprio così. Solo sapendo certe parole si riesce a parlare di certe cose. Una cosa della quale intendo parlare è la questione che dà il titolo alla sezione seguente: c'è una correlazione positiva fra il numero di malati di AIDS ancora in vita e il numero di personal computer usati in Italia?

A prima vista può sembrare una domanda cretina. Non è cretina: è solo paradossale e discuterla serve a chiarire parecchie idee sulle cause e sugli effetti. Per rispondere a essa, poi, occorre definire che cosa sia una correlazione. E, dopo averla definita, fornirò uno strumento per calcolare le correlazioni.

Questo strumento può essere molto utile, anche se è pericoloso. C'è il rischio che venga usato per mostrare matematicamente che sono vere certe cose che, invece, sono false. Allo stesso tempo la conoscenza dello strumento ci permetterà di non farci fregare da chi voglia usano in malafede.

Dunque: per andare avanti, oltre che capire cosa siano media, mediana e moda, bisogna capire che cosa è la deviazione standard.

La definizione è semplice. Dati certi n numeri (per esempio le misure di certi n oggetti), la deviazione standard è la radice quadrata di 1/n (un ennesimo) della somma dei quadrati delle differenze fra ciascun numero e la media degli n numeri. La varianza è il quadrato della deviazione standard. Scriviamolo in formule.

Gli n numeri possiamo chiamarli: x1, x2, x3, ... , xn-1, xn (che si leggono: «x con uno», «x con due»,..., «x con n». Il numero generico fra questi lo chiamiamo xi («x con i»). Se chiamiamo M la media degli n numeri, la deviazione standard, indicata con la lettera greca sigma, è definita da:

σ = √( (∑(M-xi)²) / n )

La lettera sigma maiuscola, ∑, indica la somma (i matematici dicono sommatoria, ma è la stessa cosa) degli n elementi che seguono. Qui gli elementi sono le differenze (o scarti) fra la media e i singoli numeri, elevate al quadrato. La formula dice, appunto, che si calcola la radice quadrata della somma dei quadrati degli scarti divisa per n.

Per chiarire meglio il significato della ∑ possiamo scrivere anche la formula che dà la media M:

M = (1/n) ∑xi

La varianza, già definita sopra, si scrive:

σ² = ( ∑(M-xi)² ) / n

E che ci facciamo con queste due grandezze?

Qui dobbiamo passare a cose un po' più complicate - ma non tanto – e, prima di farlo, credo sia bene mettere le mani in pasta (o bagnarsi i piedi, o qualunque altra figura retorica vogliate usare) e fare un po' di pratica. Abbiate pazienza, vedrete che ne vale la pena.

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