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Indice

Prefazione   IX

Capitolo l

LA STRUTTURA DELLE ARGOMENTAZIONI  1

1.1. Che cos'è un'argomentazione? 1
1.2. Come identificare le argomentazioni 3
1.3. Argomentazioni complesse 6
1.4. Diagrammi 7
1.5. Argomentazioni convergenti 11
1.6. Asserzioni implicite 12
1.7. Uso e menzione 16
1.8. Logica formale e logica informale 17

Capitolo 2

COME SI VALUTA UN'ARGOMENTAZIONE  21

2.1. Criteri di valutazione 21
2.2. Verità delle premesse 21
2.3. Validità e probabilità induttiva 23
2.4. Pertinenza delle premesse 31
2.5. Vulnerabilità 34

Capitolo 3

LA LOGICA PROPOSIZIONALE  45

3.1. Forme argomentative 45
3.2. Operatori logici 48
3.3. Formalizzazione 51
3.4. Semantica degli operatori logici 56
3.5. Tavole di verità per formule 60
3.6. Tavole di verità per forme argomentative 65
3.7. Alberi di refutazione 69

Capitolo 4

IL CALCOLO PROPOSIZIONALE  81

4.1. La nozione di inferenza 81
4.2. Regole di inferenza non ipotetiche 82
4.3. Regole di inferenza ipotetiche 87
4.4. Regole derivate 96
4.5. Teoremi 100
4.6. Equivalenze 102

Capitolo 5

LA LOGICA DELLE ASSERZIONI CATEGORICHE  111

5.1. Asserzioni categoriche 111
5.2. Diagrammi di Venn 116
5.3. Inferenze dirette 119
5.4. Sillogismi categorici 123

Capitolo 6

LA LOGICA DEI PREDICATI  131

6.1. Quantificatori e variabili 131
6.2. Predicati e nomi 136
6.3. Regole di formazione 141
6.4. Modelli 144
6.5. Alberi di refutazione 151
6.6. L'identità 160

Capitolo 7

IL CALCOLO DEI PREDICATI  173

7.1. Il ragionamento nella logica dei predicati 173
7.2. Regole d'inferenza per il quantificatore universale 173
7.3. Regole d'inferenza per il quantificatore
     esistenziale 178
7.4. Teoremi e regole di equivalenza per i
     quantificatori 187
7.5. Regole di inferenza per il predicato d'identità 193

Capitolo 8

FALLACIE  199

8.1. Classificazione delle fallacie 199
8.2. Fallacie di rilevanza 200
8.3. Ragionamenti circolari 209
8.4. Fallacie semantiche 210
8.5. Fallacie induttive 213
8.6. Fallacie formali 216
8.7. False premesse 219

Capitolo 9

INDUZIONE  227

9.1. Il concetto di forza 227
9.2. Il sillogismo statistico 230
9.3. Generalizzazioni statistiche 234
9.4. Generalizzazioni induttive e induzioni semplici 238
9.5. Induzione per analogia 241
9.6. I metodi di Mill 244
9.7. Giustificazione induttiva delle teorie scientifiche 251

Capitolo lO

IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ  259

10.1. Gli operatori di probabilità 259
10.2. Assiomi e teoremi del calcolo delle probabilità 261
10.3. Probabilità condizionale 265
10.4. Applicazioni del calcolo delle probabilità 274

Capitolo 11

ULTERIORI SVILUPPI DELLA LOGICA FORMALE  281

11.1. Limitazioni espressive della logica dei predicati 281
11.2. Logiche di ordine superiore 283
11.3. Logica dei predicati con simboli funzionali 288
11.4. Aritmetica formale 291
11.5. Definizioni formali 297
11.6. Descrizioni definite 298
11.7. Logica modale 300

Indice analitico 311
 

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Pagina 1

La logica è lo studio delle argomentazioni. Un' argomentazione è una sequenza di proposizioni di cui una si intende come conclusione e le altre, le premesse, sono atte a dimostrare o almeno a fornire un certo sostegno per la conclusione. Ecco due semplici esempi:

Tutti gli uomini sono mortali. Socrate è un uomo. Quindi, Socrate è mortale.

Alberto non era alla festa, quindi non è possibile che sia stato lui a rubare la tua borsa.

Nella prima argomentazione le prime due proposizioni sono usate come premesse per la conclusione che Socrate è mortale. Nella seconda argomentazione la premessa che Alberto non era alla festa è offerta a sostegno della conclusione che non può essere stato lui a rubare la borsa.

Le premesse e la conclusione di un'argomentazione sono sempre asserzioni, e non per esempio domande, comandi, o esclamazioni. Un'asserzione è una proposizione che è o vera o falsa (se ha un valore di verità) ed è espressa tipicamente da un enunciato dichiarativo.

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Pagina 17

La logica può essere studiata da due punti di vista: quello formale e quello informale. La logica formale è lo studio delle forme argomentative, modelli astratti comuni a molte argomentazioni differenti. Una forma argomentativa è qualcosa di più della semplice struttura esibita da un diagramma, perché codifica qualcosa che riguarda la composizione interna delle premesse e della conclusione. Una tipica forma argomentativa è la seguente:

       Se P, allora Q
       P
   .°. Q

Questa forma corrisponde a un singolo passo di ragionamento con due premesse e una conclusione. Le lettere 'P' e 'Q' sono variabili che stanno per asserzioni. Queste due variabili possono essere rimpiazzate da qualsiasi coppia di enunciati dichiarativi per produrre un'argomentazione specifica. Dato che il numero di coppie di enunciati dichiarativi è potenzialmente infinito, la forma rappresenta infinite argomentazioni diverse, tutte aventi la stessa struttura. Studiare la forma in quanto tale, piuttosto che le argomentazioni specifiche che essa rappresenta, ci permette di effettuare importanti generalizzazioni che si applicano a tutte le argomentazioni.

La logica informale è lo studio di argomentazioni formulate in linguaggio naturale e dei contesti in cui esse occorrono. Dove la logica formale enfatizza la generalità e la teoria, la logica informale si concentra sull'analisi di argomentazioni concrete. I due approcci non sono opposti, ma piuttosto complementari l'uno all'altro. In questo libro l'approccio dei Capitoli 1, 2, 7 e 8 è soprattutto informale. I Capitoli 3, 4, 5, 6, 9 e 10 esemplificano invece un punto di vista soprattutto formale.

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Pagina 81

Il Capitolo 3 ha trattato la logica proposizionale da un punto di vista semantico, usando tecniche per verificare la validità deduttiva di una forma argomentativa basate su una certa interpretazione degli operatori logici. In questo capitolo presenteremo un diverso modo per stabilire la validità deduttiva, il quale non fa riferimento esplicito alla nozione di valore di verità. Tale metodo è basato sull'idea che, se un'argomentazione è deduttivamente valida, dovrebbe essere possibile inferire o derivare la conclusione dalle premesse, vale a dire mostrare come in effetti la conclusione segua dalle premesse. Tipicamente, questo è il modo in cui si procede quando si presenta una argomentazione a sostegno di una certa asserzione. Non si fa semplicemente una lista di premesse e conclusione, e poi si ricusa la possibilità di descrivere una situazione possibile, in cui la conclusione sia falsa mentre le premesse siano vere. Invece, si cerca di mostrare come si possa giungere alla conclusione, tramite un certo numero di passaggi successivi di ragionamento, ciascuno dei quali sia completamente chiaro ed inoppugnabile. Ovviamente, questo processo inferenziale non è catturato dal metodo delle tavole di verità, e nemmeno dalla tecnica degli alberi di refutazione.

La chiave per fornire dimostrazione della validità di una forma argomentativa per mezzo di una serie di passaggi deduttivi risiede nella padronanza dei principi che possono essere utilizzati in ognuno di questi passaggi. Questi principi sono chiamati regole d'inferenza. In questo capitolo formuleremo tali regole utilizzando il linguaggio della logica proposizionale, ma risulterà chiaro che lo stesso metodo può essere esteso ad altri modelli di ragionamento (vedi Capitoli 7 e 11). Complessivamente formuleremo dieci regole: due - una di introduzione ed una di eliminazione - per ciascuno dei cinque operatori. La regola di eliminazione per un certo operatore è utilizzata per sviluppare un ragionamento a partire da premesse in cui esso compaia come l'operatore principale; la regola di introduzione serve invece per derivare una conclusione con quell'operatore principale. Queste dieci regole formano un sistema chiamato calcolo proposizionale (il termine significa semplicemente 'sistema per eseguire calcoli con le proposizioni'; non indica alcuna relazione particolare con il calcolo differenziale o integrale della matematica). Una deduzione nel calcolo proposizionale si presenta, quindi, come una serie di formule espresse nel linguaggio della logica proposizionale, ciascuna delle quali, o è usata come premessa, o è ottenuta tramite applicazione di una regola di eliminazione o di una regola di introduzione. Una deduzione è anche chiamata derivazione o dimostrazione, useremo, quindi, questi termini come sinonimi.

Altre versioni del calcolo proposizionale utilizzano regole diverse da quelle che qui useremo. Tuttavia, tutti gli insiemi di regole comunemente usati sono equivalenti, nel senso che essi permettono di dimostrare la validità delle stesse forme argomentative, cioè tutte e sole le forme argomentative valide esprimibili nel linguaggio della logica proposizionale. Ciò significa che se si può mostrare tramite il metodo semantico introdotto nel Capitolo 3 che una certa forma è valida, allora si può anche mostrare che essa è valida tramite le regole del calcolo proposizionale. Possiamo esprimere questo fatto anche dicendo che il calcolo proposizionale è completo. Inoltre, il calcolo è valido, vale a dire che non permette di generare argomentazioni non valide. Queste proprietà del calcolo sono di cruciale importanza se vogliamo sostenere che esso riesca a caratterizzare in modo alternativo ma equivalente la nozione di validità deduttiva, anche se la loro dimostrazione rigorosa esula dagli scopi di questo libro.

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Pagina 144

Si deve ora definire in maniera più precisa la semantica del nostro linguaggio, che è stata implicitamente presupposta nelle sezioni precedenti. Rispetto alla semantica della logica proposizionale, ci sono due ulteriori complicazioni. La prima è che le formule atomiche del linguaggio della logica dei predicati sono trattate come espressioni composte mentre le formule atomiche del linguaggio della logica proposizionale erano trattate alla stregua di unità non analizzate (lettere enunciative). A queste nuove formule atomiche (come 'Fa') non si può associare direttamente un valore di verità: il loro valore di verità dipenderà dell'interpretazione delle lettere predicative e delle costanti individuali che vi compaiono (nell'esempio citato, le lettere 'F' e 'a'). La seconda complicazione consiste nel fatto che il nuovo linguaggio contiene degli operatori, i quantificatori, che non comparivano nel linguaggio della logica proposizionale. Il metodo dei diagrammi di Venn, introdotto nella Sezione 5.2, è di qualche aiuto per visualizzare l'interpretazione desiderata di questi operatori. Ma la logica dei predicati non è solo una riformulazione della logica delle asserzioni categoriali: il suo linguaggio contine delle fbf in cui un quantificatore si combina con altri quantificatori o con degli operatori vero-funzionali in modi che non corrispondono ad alcuna delle asserzioni categoriche, e i diagrammi di Venn non sono adatti per trattare queste strutture linguistiche.

La nozione principale necessaria per affrontare la prima difficoltà è quella di modello o di struttura interpretativa. Un modello fornisce un'interpretazione (o valore semantico) per i simboli non logici che occorrono in una data fbf o in un insieme di fbf.

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Pagina 173

In questo capitolo verrà presentato un sistema di regole d'inferenza che estende il calcolo proposizionale del Capitolo 4 all'intero linguaggio della logica dei predicati con identità. I motivi dello sviluppo di questo sistema - chiamato calcolo dei predicati - sono simili a quelli del Capitolo 4: la caratterizzazione della validità in termini di valori di verità o di alberi di refutazione è, in linea di principio, adeguata, ma non cattura i processi inferenziali che sono coinvolti in una tipica argomentazione. Di solito, si cerca di stabilire una conclusione deducendola dalle premesse, non sfidando qualcuno a produrre un controesempio che descriva una situazione possibile in cui le premesse sono vere e la conclusione falsa.

Dato che il linguaggio della logica dei predicati include i connettivi vero-funzionali, il calcolo dei predicati includerà tutte le regole di base di introduzione ed eliminazione del calcolo proposizionale (e quindi tutte le regole derivate; per un riassunto delle regole di base e di quelle derivate vedi la fine del Capitolo 4). In aggiunta, il calcolo dei predicati ha delle nuove regole d'introduzione ed eliminazione per i quantificatori e per il predicato d'identità. Può essere dimostrato che questo insieme di regole è sia valido (nel senso che le regole generano solo forme argomentative che sono valide in virtù della semantica dei quantificatori, dei connettivi vero-funzionali e del predicato d'identità) che completo (nel senso che esse generano tutte le forme argomentative valide). Tuttavia, come per il calcolo proposizionale, una dimostrazione rigorosa di tutto ciò è oltre gli scopi di questo libro.

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Pagina 251

Le più sofisticate forme di ragionamento induttivo sono impiegate nella giustificazione o conferma delle teorie scientifiche. Una teoria scientifica è una spiegazione di un fenomeno naturale che, insieme ad altri fatti o congetture noti (chiamati ipotesi ausiliarie), ci permette di dedurre conseguenze che possono poi essere testate sperimentalmente. Spesso si può costruire un modello di una teoria, cioè una struttura matematica o fisica che si ritiene analoga, per alcuni aspetti, al fenomeno di cui la teoria fornisce una spiegazione.

Per esempio, prima del ventesimo secolo vi erano due teorie esplicative del fenomeno della luce, la teoria corpuscolare e la teoria ondulatoria. Secondo la teoria corpuscolare (di cui il più illustre sostenitore fu Isaac Newton), la luce consiste di particelle minuscole, o corpuscoli, emesse in traiettorie lineari dagli oggetti luminosi. Secondo la teoria ondulatoria (che fu inizialmente proposta dall'astronomo olandese Christian Huygens), la luce consiste nella diffusione di onde sferiche da parte degli oggetti luminosi, simili ai cerchi concentrici causati da una pietra lanciata in acqua. Secondo questa seconda teoria, le onde luminose si propagano attraverso una sostanza fluida, l'etere, che permea l'universo. Entrambe le teorie erano capaci di spiegare il fenomeno del colore e molte delle proprietà riflessive e rifrattive della luce. Alla fine del diciannovesimo secolo, tuttavia, la teoria ondulatoria aveva temporaneamente preso il sopravvento a causa della sua superiorità nella spiegazione degli effetti di diffrazione: una serie regolare di bande di luce e ombra che si formano quando la luce passa attraverso una piccola apertura. Tali regolarità erano correttamente previste dalla teoria ondulatoria ma difficilmente spiegabili con una teoria corpuscolare.

Ciascuna teoria trattava la luce come una struttura fisica: particelle in movimento in un caso, onde in un mezzo fluido nell'altro. Entrambe, tuttavia, sono state soppiantate nel ventesimo secolo dalla teoria quantistica, nella quale la luce viene rappresentata come una struttura matematica che ha caratteristiche sia ondulatorie che corpuscolari ma non è completamente analoga a nessuna struttura fisica a noi familiare.

Questo esempio mostra che le teorie scientifiche sono giustificate in primo luogo dal loro valore predittivo. Con 'predizione' intendiamo un enunciato che riguarda il risultato di un certo test o osservazione, non necessariamente un enunciato che riguarda il futuro. Persino teorie che riguardano il passato fanno predizioni in questo senso, poiché (congiuntamente ad ipotesi ausiliarie appropriate) implicano che certi test o osservazioni daranno certi risultati. Una teoria che riguarda l'evoluzione dei dinosauri, per esempio, avrà delle implicazioni circa il tipo di fossili che dovremmo aspettarci di trovare in determinati strati geologici. Queste implicazioni rientrano fra le sue predizioni. Poiché le predizioni di una teoria sono dedotte dalla teoria in congiunzione con le ipotesi ausiliarie, se una qualsiasi delle predizioni si rivela falsa, allora o la teoria stessa o almeno una delle ipotesi ausiliarie deve essere falsa (non si può dedurre una conclusione falsa da un insieme di premesse vere). Se siamo certi di tutte le ipotesi ausiliarie, allora possiamo rigettare con una certa sicurezza la parte di teoria usata per derivare la predizione. La teoria corpuscolare della luce, insieme a quelle che sembrano essere le ipotesi ausiliarie più ragionevoli circa il modo in cui le particelle dovrebbero comportarsi, implica che la diffrazione non dovrebbe verificarsi. Poiché invece si verifica, i fisici del diciannovesimo secolo, ritenendo vere queste ipotesi ausiliarie, rigettarono la teoria corpuscolare. In questo esempio un processo deduttivo è stato usato per refutare una teoria scientifica. Spesso, comunque, non vi è totale certezza circa la verità delle ipotesi ausiliarie, per cui vi possono essere divergenze sulla fondatezza della deduzione utilizzata per refutare al teoria. Se una o più delle ipotesi ausiliarie sono false, allora la falsità di una predizione fatta con l'ausilio di quelle ipotesi non implica la falsità della teoria.

Mentre il ragionamento tramite il quale si refutano le teorie scientifiche è deduttivo, il ragionamento tramite il quale ricevono conferma è induttivo. Dopo il crollo della teoria corpuscolare della luce, la teoria ondulatoria venne sempre più confermata. Diversamente dalla teoria corpuscolare, la teoria ondulatoria (unitamente a ipotesi ausiliarie plausibili circa l'orientamento e l'ampiezza delle onde) predice gli effetti di diffrazione. Quindi, una volta osservati tali effetti la fiducia nella teoria ondulatoria è aumentata.

Tuttavia, la conferma di una predizione (o anche di molte predizioni) di una teoria non dimostra in modo deduttivo che la teoria è vera. Ogni teoria unitamente alle sue ipotesi ausiliarie implica molte più predizioni di quelle che possono essere effettivamente testate. Anche se tutte le predizioni sinora testate sono state confermate, alcune predizioni non testate possono essere false, e se le ipotesi ausiliarie sono vere ciò implicherebbe la falsità della teoria. Quindi, da un punto di vista logico, la fiducia in una qualsiasi teoria scientifica non dovrebbe mai essere assoluta.

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