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Indice

  7 Prefazione
  9 Cronologia
 12 Introduzione: Dai grifoni alla gravità


    Lewis Carroll nel paese dei numeri


 34 Canto primo: Figli del Settentrione

 52 Canto secondo: Infino a l'occhi ne lo studio

 68 Canto terzo: Successi e insuccessi

 97 Canto quarto: ...d'un capitolo di Euclide

118 Canto quinto: Mandatemi il prossimo libro...

146 Canto sesto: Moscaiole, maggioranze e memoria

168 Canto settimo: Rompicapi, problemi e paradossi

191 Canto ottavo: È logico!

222 Conclusione: Matematica e oltre


235 Note e riferimenti
2S9 Ringraziamenti - Fonti delle illustrazioni
261 Indice analitico


 

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Pagina 13

Dai grifoni alla gravità

Come è lecito attendersi da un professore di matematica, i libri per bambini di Lewis Carroll traboccano di allusioni matematiche - aritmetiche, geometriche, logiche e meccaniche. Ecco il mondo delle finte tartarughe e delle mappe, dei grifoni e della gravità, di Humpty Dumpty e dei fazzoletti, ricostruito qui in forma teatrale in otto scene.

Scena 1. L'Istruzione della Tartaruga d'Egitto

In Alice nel paese delle meraviglie (1865) ad Alice viene presentato il Grifone, che la conduce su una spiaggia rocciosa. Là i due incontrano la Falsa Tartaruga, o Tartaruga d'Egitto, che li guarda con grandi occhi colmi di lacrime.

Tartaruga d'Egitto Una volta io ero una Tartaruga vera.

Grifone Hjckrrrh!

Tartaruga d'Egitto Quando eravamo piccole andavamo a scuola in fondo al mare. La maestra era una vecchia Tartaruga... noi però la chiamavamo Testuggine...

Alice Perché la chiamavate Testuggine se non lo era?

Tartaruga d'Egitto Testuggine perché a forza di test ti faceva venire la ruggine, no? C'hai proprio la zucca dura!

Grifone Dovresti vergognarti di fare delle domande così allocche!

Tartaruga d'Egitto Sì, andavamo a scuola in fondo al mare. Ho frequentato solo i corsi normali.

Alice Che consistevano in...?

Tartaruga d'Egitto Naturalmente, tanto per cominciare, a scansare le locali e ad arricciare le consolanti, e poi le quattro operazioni dell'Aritmetica: Ambizione, Soggezione, Mortificazione e Derisione.

Alice «Mortificazione» mi giunge nuova. Cos'è?

Grifone Cosa? Mai sentito parlare di Mortificazione! Saprai, spero, cosa significa «Vivificazione»?

Alice Sì, significa... rendere... una cosa più... viva.

Grifone Allora, se non sai che cosa significa mortificare, devi proprio essere una sempliciotta.

Alice E quante ore d'istruzione avevate al giorno?

Tartaruga d'Egitto Il primo giorno dieci, il secondo nove e così via.

Alice Che orario strano!

Grifone Ma è per questo che sono chiamate ore d'istruzione. Perché si distruggono.

Alice Allora l'undicesimo giorno era vacanza.

Tartaruga d'Egitto Certo che lo era.

Alice E il dodicesimo che facevate?

Grifone Basta parlare di scuola.

Scena 2. La cravatta di Humpty Dumpty

Nel secondo libro di Alice scritto da Carroll, Attraverso lo specchio (1871), Alice incontra il sofistico Humpty Dumpty, fissato con il significato delle parole, per il quale anche un semplice calcolo aritmetico costituisce una prova seria.

Humpty Dimmi come ti chiami e che fai.

Alice Mi chiamo Alice, ma...

Humpty È un nome abbastanza sciocco! Che significa?

Alice È necessario che un nome abbia un significato?

Humpty Certo; il mio nome sta a significare la mia forma... ed è una forma bella e ben fatta. Con un nome come il tuo potresti essere di qualunque forma. Quanti anni hai detto che avevi?

Alice Sette anni e sei mesi.

Humpty Sbagliato! Non hai mai detto una cosa simile!

Alice Credevo che mi avesse chiesto quanti anni ho.

Humpty Se avessi voluto dir questo, l'avrei detto.

Alice (dopo una pausa) Bella la sua cintura! Cioè, volevo dire, bella la sua cravatta... no, voglio dire, cintura... la prego di scusarmi!

Humpty È una cravatta, bambina, ed è bellissima, come dici tu. È un regalo del Re e della Regina Bianchi. Me l'hanno data... come regalo di non-compleanno.

Alice Chiedo scusa?

Humpty Non sono offeso.

Alice Voglio dire, che cosa è un regalo di non-compleanno?

Humpty Un regalo fatto quando non è il tuo compleanno, naturalmente.

Alice A me piacciono di più i regali del compleanno.

Humpty Non sai quello che dici! Quanti giorni ci sono in un anno?

Alice Trecentosessantacinque.

Humpty E tu quanti compleanni hai?

Alice Uno.

Humpty E trecentosessantacinque meno uno, quanto fa?

Alice Fa trecentosessantaquattro, naturalmente.

Humpty Preferirei vederlo per iscritto.

Alice

Trecentosessantacinque      365
meno uno                    - 1
                            ___
fa trecentosessantaquattro  364

Humpty Mi sembra ben fatto.

Alice Lo tiene alla rovescia!

Humpty Già, è vero! Mi pareva un po' strano. Come dicevo, sembra ben fatto... benché ora non abbia il tempo di esaminarlo a dovere... e il risultato dimostra che ci sono trecentosessantaquattro giorni in cui puoi ricevere regali di non-compleanno...

Alice Certo.

Humpty E solo uno per i regali di compleanno, sai. Piglia su e porta a casa!

Alice Non capisco cosa dovrei portare a casa.

Humpty Naturale... devo dirtelo io. Volevo dire, «ecco un argomento che ti stende».

Alice Ma «Piglia su e porta a casa» non è proprio come dire «ecco un argomento che ti stende».

Humpty Quando io uso una parola, questa significa esattamente quello che decido io... né più né meno.

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Pagina 24

Più indietro, nel secondo «spasimo» della Caccia allo Snark , il Campanaro dà una carta nautica alla sua squadra di cacciatori di Snark.

        Cantavano lodi al lor capitano
        che avea la campana ognor nella mano:
        «Che grazia, che stile e che portamento!
        E quanto solenne: nessuna incertezza:
        in viso gli splende una grande saggezza».

        Avea comperato una carta del mare
        che un anno potresti fermarti a scrutare
        ma mai troveresti la minima traccia
        di terra, felici di ciò i marinai:
        «con simile carta non ti sbagli mai!»

        «Che servono infatti di quel Mercatore
        i Tropici i Poli e perfin l'Equatore?»,
        gridò il capitano. «E le zone? ed i gradi?»
        «Son sol convenzioni!», annuì l'equipaggio,
        «soltanto dei segni, inutili in viaggio!»

        «Ben strane son tutte le carte navali
        con quei promontori, quelle isole uguali:
        dobbiam ringraziare così il Capitano»,
        soggiunse la ciurma davvero convinta,
        «se abbiamo una carta di Nulla dipinta!»

Un diverso tipo di carta è descritta in Sylvie e Bruno. Conclusione (1893), l'ultimo romanzo di Carroll per bambini, seguito di Sylvie e Bruno (1889). In questa scena il narratore e i due bambini magici Sylvie e Bruno stanno ascoltando Mein Herr, un solenne signore tedesco con una lunga barba, che ci spiega come si fanno le carte nel suo paese.

Narratore Che cosa utile, una carta tascabile!

Mein Herr È un'altra delle cose che abbiamo imparato dal vostro paese, stendere le carte; ma noi siamo andati oltre. Secondo lei quale sarebbe la massima scala utile per le carte?

Narratore Cento su mille, un centimetro per chilometro.

Mein Herr Solo un centimetro! L'abbiamo fatto subito, poi siamo arrivati a dieci metri per chilometro. E finalmente abbiamo avuto l'idea grandiosa! Abbiamo realizzato una carta del paese su scala un chilometro per chilometro!

Narratore L'avete utilizzata?

Mein Herr Non è stata ancora dispiegata: i contadini hanno fatto obiezione. Hanno detto che avrebbe coperto tutta la campagna e offuscato la luce del sole! Così adesso usiamo la campagna vera e propria come pianta di se stessa e vi assicuro che funziona ottimamente.

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Pagina 86

Ne rimase affascinato, e non poté più farne a meno per i successivi 25 anni. Al Christ Church divenne amico di Reginald Southey, uno studente di medicina che era anche esperto fotografo, e il 18 marzo 1856 si recò con lui a Londra, dove acquistò un apparecchio Ottewill di buona qualità, con camera in palissandro, per la somma non trascurabile di 15 sterline.

Il procedimento a collodio umido, usato da Dodgson, richiedeva grande abilità e perseveranza, ed era molto facile sbagliare. Bisognava mettere in posa il modello, andare in una stanza oscurata, ricoprire di collodio (una sostanza gelatinosa) una lastra di vetro, sensibilizzarla con una soluzione di nitrato d'argento, tornare dal modello, togliere la lastra mentre questi rimaneva immobile per qualche istante, tornare alla stanza buia con la lastra impressionata, svilupparla in una soluzione chimica accuratamente preparata, fissarla immergendola in un'altra soluzione, scaldare e verniciare la lastra per creare un negativo, e infine produrre da quest'ultimo le agognate immagini positive. Nella sua poesia Dodgson descrive in dettaglio il procedimento usato da Hiawatha con le pericolose sostanze chimiche:

        Ricoprì una lastra in vetro
        di collodio, poi la immerse
        nella soda, ch'era stata
        cautamente sciolta in acqua.
        Lì restò qualche minuto.

        Fatto questo, Hiawatha
        miscelò con mano esperta
        acidi dai nomi strani
        - pirogallico e glaciale -
        che, con alcol e con acqua,
        svilupparono la lastra.

        Per fissar tutte le lastre
        usò un'altra soluzione
        satura d'iposolfito
        fatto anch'esso con la soda.

Ci vollero molti mesi di rodaggio prima che Dodgson diventasse esperto, ma è certo che lo diventò: se non fosse divenuto famoso per i libri di Alice oggi sarebbe ricordato come uno dei più importanti fotografi del XIX secolo. Fu uno dei primi a considerare la fotografia una forma d'arte, anziché un semplice mezzo per registrare immagini. Mettendo accuratamente in posa i suoi modelli, e grazie a un'opportuna scelta di costumi e accessori, ottenne molti risultati memorabili: il ritratto di Southey con scheletri ne è un esempio.

In tutto Dodgson scattò circa tremila fotografie, per la maggior parte ritratti singoli o di gruppo. Alcuni sono di suoi coetanei di Oxford, e ci offrono un prezioso spaccato della vita universitaria lungo un periodo,di vent'anni. Altri sono di membri della sua famiglia, come i delicati ritratti del fratello Edwin (tredicenne) e della sorella Maggie (diciottenne), o quello delle due zie materne che giocano a scacchi nel rettorato di Croft.

Sebbene sia stato spesso descritto come timido e laconico, Dodgson era una persona molto socievole, a cui il talento di fotografo aprì molte porte, permettendogli di incontrare molti personaggi illustri dell'epoca. Poco più che trentenne, aveva già fotografato stelle come il poeta Alfred Tennyson, lo scienziato Michael Faraday, l'attrice Ellen Terry, e gli artisti William Holman Hunt, John Millais, John Ruskin e Dante Gabriel Rossetti. Alcuni di questi divennero suoi amici personali.

Ma Dodgson è ricordato principalmente per le sue immagini artistiche di bambini: la loro naturalezza era ideale per i fotografi, la loro curiosità incantevole. Dodgson si divertiva a mostrar loro come si preparano le varie sostanze chimiche; procurava loro costumi esotici da indossare, ed era deliziato dalla loro eccitazione nel veder comparire poco alla volta le immagini sulle lastre. Anni dopo uno di loro scrisse:

Le visite nelle stanze del signor Dodgson per farsi fotografare erano sempre piene di sorprese. Anche se aveva gusti bizzarri nell'abbigliare i suoi giovani modelli, non poteva sopportare i bambini vestiti di tutto punto. Una «bambina naturale» con i capelli arruffati e spettinati gli piaceva molto di più; la sistemava in una normale posizione da vita di tutti i giorni, per esempio addormentata o intenta a leggere, e in questo modo produceva immagini incantevoli.

Un ottimo esempio è il ritratto di Xie (pronunciato «exy») Kitchin, figlia di un collega del Christ Church.

Il contributo di Dodgson è stato descritto dal famoso storico della fotografia Helmut Gernsheim in questi termini:

I suoi risultati sono davvero sbalorditivi: non solo rientra a pieno titolo tra i pionieri della fotografia amatoriale inglese, ma non esiterei a definirlo il più eminente fotografo di bambini del XIX secolo.

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Pagina 106

Come abbiamo visto, il programma della maggior parte delle scuole private vittoriane consisteva perlopiù nell'insegnamento delle lingue classiche, oltre a un po' di teologia. Per le scuole in cui si insegnava anche la matematica, la geometria di Euclide era d'obbligo, essendo considerata lo strumento ideale per insegnare ai giovani a ragionare e a pensare secondo la logica. Fondato su assiomi «assoluti», lo studio della geometria era perfettamente compatibile con il programma classico, e completava l'istruzione per chi intendeva frequentare l'Università di Oxford o di Cambridge e diventare quindi uomo di Chiesa. Gli Elementi divennero dunque una parte importante dei programmi d'esame, anche di quelli per entrare nella pubblica amministrazione e nell'esercito.

Il filosofo William Whewell così esaltava i benefici della geometria:

Non v'è altro studio attraverso il quale si possa esercitare la ragione in maniera tanto esatta e rigorosa. Imparando la geometria lo studente prende dimestichezza con i più perfetti esempi di ragionamento strettamente deduttivo. [...] Si abitua a una catena di deduzioni in cui ogni nuovo anello è appeso al precedente, ma senza che nel complesso vi sia la minima insicurezza; a una scalinata che parte dal solido terreno e nella quale ogni gradino, non appena costruito, costituisce una base per l'ascesa futura, non meno solida delle prime verità autoevidenti. Abbiamo bisogno degli studi di matematica non come strumento per risolvere i problemi matematici di oggi, ma come esercizio per sviluppare le capacità intellettuali; in altri termini, questi studi vanno intrapresi non per i loro risultati, ma per le abitudini intellettuali che generano.

Altri, tuttavia, erano contrari al metodo arido ed eccessivamente formale di Euclide, il cui rigore logico era considerato oscuro, inadatto ai principianti e artificioso nella sua insistenza su un insieme minimale di assiomi. Un'altra obiezione era che lo studio formale di Euclide non incoraggiava il pensiero indipendente perché richiedeva un eccessivo apprendimento meccanico, spesso senza una reale comprensione; si raccontava addirittura di uno studente di Oxford che a un esame aveva riprodotto una dimostrazione di Euclide alla perfezione, salvo il fatto di aver disegnato tutti i triangoli nella relativa figura come cerchi.

Era un periodo di cambiamenti. La classe media in ascesa pretendeva di affrontare la matematica da un punto di vista più pratico, e la tradizionale istruzione classica perdeva sempre più peso. Nel discorso che nel 1869 rivolse, in qualità di presidente, alla British Association for the Advancement of Science, il matematico James Joseph Sylvester fu molto esplicito nel condannare i vecchi metodi:

Lo studio precoce di Euclide mi fece odiare la geometria, il che spero mi servirà da scusante se ho scandalizzato qualcuno tra i presenti in sala (e so che per alcuni di essi Euclide viene subito dopo la Bibbia in ordine di sacralità, e ben prima della Costituzione inglese). [...] Penso che lo studio e la cultura matematica dovrebbero andare mano nella mano, e che in tal modo essi trarrebbero grandi benefici l'uno dall'altra. Sarei molto contento di vedere [...] Euclide su uno scaffale, deposto con tutti gli onori o affondato «là, dentro il mare, dove non giunge lo scandaglio», fuori dalla portata dello scolaro.

Negli anni sessanta dell'Ottocento prese vigore l'idea che gli esami non dovessero più avere come base un unico libro. Furono proposti nuovi testi in alternativa agli Elementi - pochi all'inizio, poi una marea. Fu istituita una commissione scolastica d'inchiesta che, come disse il matematico Augustus De Morgan senza lesinare i termini,

si chiese se Euclide sia, come molti suppongono, il miglior trattato elementare di geometria, o sia invece una beffa, un'allucinazione, una trappola, un ostacolo, un tranello, una secca, un'insidia, un serpente nell'erba.

In seguito all'intervento di Sylvester alla British Association si costituì una Anti-Euclid Association; il gennaio 1871 vide la fondazione di una Association for the Improvement of Geometrical Teaching, che si diede il compito di produrre nuovi programmi e nuovi libri di testo di geometria.

«Euclide e i suoi rivali moderni»

Charles Dodgson, difensore dichiarato degli Elementi di Euclide, si oppose fieramente alla nuova associazione e ai suoi propositi. Nel 1879 scrisse un'opera notevole dal titolo Euclid and His Modern Rivals, nella quale mette a confronto gli Elementi con tredici testi rivali, con risultati ogni volta a favore di Euclide.

Nell'introduzione del libro, «dedicato alla memoria di Euclide», è scritto:

Lo scopo di questa opera è dimostrare innanzitutto che è essenziale, allo scopo di insegnare o tenere esami di geometria elementare, adottare un solo libro di testo; in secondo luogo, che ci sono forti ragioni a priori per attenersi al manuale di Euclide in tutte le sue caratteristiche principali, in particolar modo nella sequenza e numerazione delle proposizioni e nel trattamento delle parallele; inoltre, che finora non sono state addotte motivazioni convincenti per abbandonarlo in favore di uno qualunque dei moderni manuali proposti come sostituti.

Il riferimento era in particolare alla numerazione dei risultati più noti:

Le proposizioni sono note con quella numerazione da duemila anni; sono state citate in quel modo probabilmente da centinaia di autori [...] e alcune di esse, per esempio la I,5 e la I,47 — il «ponte degli asini» e il «mulino a vento» [il teorema di Pitagora] — sono ormai personaggi storici, i cui soprannomi sono «familiari come parole domestiche».

Nel tentativo di raggiungere un pubblico più vasto, Dodgson scrisse il libro in forma di rappresentazione teatrale in quattro atti:

Ho scelto questa soluzione, in parte perché mi è sembrato un modo migliore per esporre le argomentazioni da entrambi i punti di vista; in parte per potermi sentire libero di trattare la materia in uno stile più leggero di quello richiesto da un trattato, rendendolo così un po' meno noioso e un po' più accettabile per i lettori non esperti.

I personaggi sono quattro: Minosse e Radamanto (due dei tre giudici dell'Ade, qui in veste di seccati commissari d'esame di Oxford), Herr Niemand (il fantasma di un professore tedesco che «ha letto tutti i libri ed è in grado di difendere qualunque tesi, vera o falsa») nonché il fantasma dello stesso Euclide.

Il sipario si leva su uno studio di un college, a mezzanotte, dove uno stanco Minosse è alle prese con un'enorme pila di esami scritti:

Allora, mio caro! È così che dimostri la I,19? Assumendo vera la I,20? Interessante, molto interessante! Fermi tutti! Forse non «canta vittoria» su Euclide. Vediamo. Ah, ecco! «Legendre», naturalmente! Be', immagino di dovergli dare punteggio pieno: quanto valeva la domanda? - Ma un attimo! Dov'è il suo scritto di ieri? Ho l'impressione molto netta che ieri fosse decisamente schierato con Euclide, e sono sicuro che nello scritto c'era la I,20.

Ah, ecco qua! «Credo di ben conoscerla quella bella calligrafia romana». Qui c'è la proposizione, grossa come una casa, e dimostrata per mezzo della I,19: «Ora, infedele, sono io che ti tengo per il collo!» All'esame orale ti troverai una vera delizia, carissimo! Avrai entrambe le proposizioni, da prendere nell'ordine che preferisci. Sono assolutamente convinto che tu non sappia dimostrare nessuna delle due senza l'altra.

Alla fine Minosse si addormenta sui compiti, ma viene ben presto svegliato dal fantasma di Euclide, che lo invita a confrontare gli Elementi con i loro «rivali moderni». A questo scopo Euclide evoca il suo amico Herr Niemand e lo obbliga a difendere a turno ciascuno dei testi esaminati. Minosse ne mette in luce con attenzione i difetti, preferendo ogni volta le costruzioni, le dimostrazioni e lo stile di Euclide. Ce n'è anche per l'Association for the Improvement of Geometrical Teaching, che viene particolarmente ridicolizzata da un tocco di regia magistrale.

Entra in scena una processione di fantasmi raggruppati attorno a uno stendardo su cui è impressa a caratteri d'oro la scritta ASSOCIAZIONE PER IL MIGLIORAMENTO DELLE COSE IN GENERALE. In testa al corteo spicca Nerone, con il suo «progetto per l'illuminazione e il riscaldamento di Roma», mentre tra la folla che lo segue si può notare Guy Fawkes, presidente dell'Associazione per l'innalzamento dei membri del Parlamento.

Dopo che uno alla volta ne ha demolito tutti i rivali, Minosse viene avvicinato da Euclide, accompagnato dai fantasmi di matematici come Archimede, Pitagora, Aristotele e Platone, che sono venuti a fare da arbitri.

Euclide Sono spariti tutti?

Minosse «Non temere. Il nostro gioco è finito. / Gli attori, come dissi, erano spiriti, / e scomparvero nell'aria leggera».

Euclide Bene, torniamo al dunque. E per cominciare, hai trovato qualche metodo per trattare le parallele che surclassi il mio?

Minosse No! Mille volte no! Il metodo infinitesimale, deliziosamente usato da Legendre, non è adatto ai principianti; il metodo delle trasversali e quello delle linee curve non sono stati ancora presentati in forma logica; il metodo «equidistante» è troppo complicato; per quanto riguarda il «metodo delle direzioni», è una fune di sabbia: va in mille pezzi non appena lo si tocca!

Euclide Possiamo allora dare per assodato che non hai trovato alcun motivo sufficiente per abbandonare la sequenza o la numerazione delle mie proposizioni.

Prima di sparire Euclide fa il suo discorso d'addio:

«Ecco il gallo che canta la mattina»: è ora che tutti i fantasmi perbene tornino a casa. Porto con me la speranza di averti convinto dell'importanza, se non della necessità, di mantenere il mio ordine e la mia numerazione, nonché il mio modo di trattare le rette, gli angoli, gli angoli retti e (in particolar modo) le parallele.

Il libro era un tour de force che dimostrava l'intima conoscenza e la profonda comprensione della geometria euclidea da parte di Dodgson, ma che in ultima analisi non raggiunse il suo obiettivo. Nel 1888 Oxford e Cambridge, temendo che l'abbandono di Euclide avrebbe gettato nel caos il sistema di esami, accettò con riluttanza dimostrazioni diverse da quelle euclidee, a patto che non violassero l'ordine sequenziale delle proposizioni. Ma nel 1903 anche questa distinzione cadde, e le università dichiararono accettabile qualunque altra trattazione sistematica. L'approccio formale alla geometria ha continuato a prevalere in molte scuole superiori grosso modo fino agli anni sessanta, poi è stato tacitamente abbandonato. Oggi ben pochi scolari conoscono l'approccio euclideo alla geometria.

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Pagina 223

Matematica e oltre

La logica simbolica non fu il solo interesse di Dodgson negli anni novanta. Negli ultimi tempi della sua vita si dilettò di un certo numero di argomenti matematici diversi, alcuni dei quali sono descritti qui di seguito.

«Problemi da cuscino»

Nel 1893 uscì una sostanziosa raccolta di problemi intitolata Curiosa Mathematica, II: Pillow-Problems Thought out during Sleepless Nights. Nell'introduzione l'autore ne descrive la genesi:

Quasi tutti i settantadue problemi che seguono sono veri e propri «problemi da cuscino», essendo stati risolti, mentalmente, mentre giacevo insonne nel letto. [...] Ciascuno di essi è stato risolto in dettaglio fino all'ultimo passaggio prima di disegnare qualsivoglia diagramma o scrivere una sola parola della soluzione. Di solito scrivevo prima di tutto la risposta: e solo dopo il problema e il procedimento risolutivo.

La ragione per cui Dodgson si era deciso a pubblicare questi fantasiosi problemi non era tanto vantarsi delle sue abilità di calcolo mentale (che erano davvero notevoli) quanto piuttosto spronare gli altri matematici a sviluppare le proprie.

Il mio scopo - quello di dare un tale incoraggiamento agli altri - non sarebbe stato raggiunto in maniera soddisfacente se mi fossi concesso, nello scrivere le soluzioni, di migliorare il lavoro svolto nella mia testa. Ho pensato che fosse molto più importante registrare ciò che si era in effetti svolto nella testa, anziché fornire soluzioni più corte, o più eleganti, che però sarebbero probabilmente molto più difficili da ottenere senza carta e penna.

Nella seconda edizione Dodgson cambiò il sottotitolo, sostituendo Ore di veglia al precedente Notti insonni:

Quest'ultimo cambiamento è stato fatto per allentare l'ansia di amici premurosi che mi hanno scritto per esprimermi la loro vicinanza nella malattia, credendo che io soffrissi di insonnia cronica, e che raccomandassi i calcoli matematici come cura per quella malattia sfiancante.

Molti dei problemi da cuscino sono assai ingegnosi. Spaziano in varie aree della matematica: aritmetica, algebra, geometria pura e geometria algebrica, trigonometria, calcolo differenziale e probabilità. Eccone qui di seguito una selezione rappresentativa.

8. Un gruppo di uomini è seduto in cerchio, in modo che ciascuno abbia due vicini; e ognuno possiede un certo numero di scellini. Il primo ha uno scellino più del secondo, che ha uno scellino più del terzo, e così via. Il primo dà uno scellino al secondo che ne dà due al terzo, e così via: ciascuno dà uno scellino in più rispetto a quelli che riceve, fino a quando questo è possibile. A questo punto due vicini si ritrovano uno con una somma quadrupla rispetto all'altro. Quanti sono gli uomini? E quanti scellini aveva il più povero di loro, all'inizio?

10. Un tavolo da biliardo triangolare ha 3 buche, una in ogni angolo; una di queste può contenere al massimo una palla, le altre due palle ciascuna. Ci sono 3 palle sul tavolo, ciascuna delle quali contiene una moneta. La tavola viene inclinata in modo che le palle vadano verso uno degli angoli, non si sa quale. Il valore «atteso» del contenuto della buca è 2/6. Quali sono le monete?

12. Dati il semiperimetro e l'area di un triangolo, nonché il volume del parallelepipedo rettangolo i cui lati sono uguali a quelli del triangolo, trovare la somma dei quadrati di tali lati.