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Indice

 1. L'[infinito] di Aristotele.
    Il limite e l'illimitato            11

 2. Il limite                           31

 3. Numeri irrazionali                  57

 4. L'infinito di san Tommaso           79

 5. Infinito categorematico e
    infinito sincategorematico          91

 6. Giordano Bruno, Niccolò Cusano,
    Raimondo Lullo                     105

 7. L'eguaglianza                      121

 8. Cartesio                           137

 9. Leibniz                            147

10. Il principio degli indiscernibili.
    Le classi                          169

11. L'infinito attuale.
    Indefinito e transfinito           185

12. Le antinomie                       213

13. L'infinito aperto                  235

Nota bibliografica                     255

 

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Ma la più esplicita dichiarazione della bipolarità fondamentale che regola il movimento del cosmo, espressa in termini di «finito» e «indefinito», venne dai Pitagorici. Ippolito scrive che il caldeo Zarata disse a Pitagora come «due siano fin dal principio le cause delle cose che sono, il padre e la madre: e che il padre è la luce, la madre la tenebra: e che della luce son parti il caldo il secco il leggero il veloce, della tenebra il freddo l'umido il pesante il lento; e che da questi, femmina e maschio, è composto tutto il cosmo». I due principi di cui la saggezza caldea, secondo Ippolito, indicò i nomi sopra elencati, furono chiamati dal pitagorico Filolao «limite» e «illimitato», e mentre il bene fu associato al limite, il male fu detto simile all'illimitato.

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Ogni volta che la crisi di un'epoca sembra trascinare con sé la disgregazione della morale vigente e l'illimitato travolgere le forme appassite e vuote del limite, l'estrema difesa e ricapitolazione di uno stato che consenta una sopravvivenza etica è suggerita dal protagonista di Der Mann ohne Eigenschaften: una morale che sia dotata di reale potere di accrescimento e non sia soggetta a periodiche catastrofiche sconfitte dovrebbe, per Ulrich, fondarsi non su un ordinamento stabilito per l'eternità bensì sull'ininterrotta attività di una fantasia creatrice, non regolata dall'arbitrio, capace di plasmare gli svariati suggerimenti che scaturiscono dall'infinito complesso delle possibilità di vivere. La morale andrebbe costruita in tal caso sui successivi gradini dell'esperienza e non sarebbe un ideale stabilito per sempre cui l'uomo normalmente non sa accedere per la sua scarsa purezza.

Ma la proposta di Ulrich è problematica. La forza morale viene in questo modo decomposta e ricondotta al suo puro substrato materiale (l'infinito complesso, delle possibilità di vivere); mentre le scoperte della fantasia, da cui si attende la sperata soluzione, sono pur esse delle forme, in cui non si può nutrire un'incondizionata fiducia. Un più profondo suggerimento, in cui è sfiorata l'ultima verità ove svanisce il perenne contrasto tra il limite e l'illimitato, sembra scaturire da un colloquio di Ulrich con il fanatico Hans Sepp: «la massima potenza che un uomo può sentire in sé... è in fondo uno stato di quiescenza, in cui nulla mai cambia, come un'acqua ferma».

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Ciò vuol dire che è possibile configurarsi concreta- mente la soluzione finale di un processo illimitato, pur non rinunciando al carattere potenziale di quest'ultimo: l'inesauribilità dell'illimitato resta un fatto irrinunciabile, ma non costringe per questo ad accontentarsi di una semplice approssimazione di ciò che si vuole raggiungere.

Pur non uscendo mai dal finito, ed essendo anzi di quest'ultimo nient'altro che un'incessante ripetizione, l'illimitato può indicare qualcosa che lo trascenda, prospettare questa trascendenza come segno caratteristico di una completezza attuale e infinita e di conseguenza evocarne o rifletterne per trasposizione analogica l'intima natura.

Si pensi ad esempio alla somma di una qualsiasi serie infinita convergente: si tratta ivi di un limite concretizzabile in un ente matematico ben definito che non appartiene tuttavia alla successione indefinita delle somme parziali che tendono ad esso. Il limite non è un termine della successione e non è perciò una semplice approssimazione del risultato che si vuole conseguire; esso è raggiunto rinunciando all'analisi indefinita della successione che lo precede e ponendosi in un punto di riferimento esterno che è invisibile a chi si soffermi alla pur corretta constatazione della sua indefinita lontananza e irraggiungibilità. Qui si è evidentemente a un passo da un modello di rappresentazione ideale di ogni ordine teleologico del mondo che comporti un «regressus ad infinitum» delle cause risolvibile solo nel postulare una causa finale attualmente infinita e insondabile per l'ordinaria sensibilità. Scrive Aristotele che la causa finale rappresenta un fine di tal natura da non essere condizionato da altro, ma da condizionare esso stesso l'esistenza delle cose; se esiste un tale elemento finale la progressione all'infinito avrà una sua soluzione, e chi postula l'infinità incondizionata di ogni serie illimitata mette in crisi la stessa nozione di Bene.

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Una corsa interrotta e ripresa un'infinità di volte dà indubbiamente l'idea, suggerisce Grünbaum, di una infinità di operazioni staccate, indipendenti l'una dall'altra e successive nel tempo, cui non si può imputare di essere il risultato di un' analisi di qualche preesistente percorso unitario e ininterrotto. Si tratta di un controesempio, con la dovuta esclusione di complicazioni dinamiche, della presunta assurdità di un insieme infinito di cose fatte in un tempo finito; un tentativo avanzato di capovolgere il regressus in infinitum nell'affermazione positiva dell' essere, di tramutare l'assurdo nel ragionevole, la finzione in realtà. Un tentativo non impossibile se visto nella prospettiva della già menzionata affermazione aristotelica dell'esistenza del Bene in contrapposizione all'incolmabilità delle serie illimitate, e dei successivi più espliciti argomenti di san Tommaso o di Leibniz. Un proposito forse incommensurabile, tuttavia, con le più probabili intenzioni di Lenone.

Eppure proprio il regressus in infinitum delle cause efficienti di san Tommaso dimostra, forse ancora una volta in sintonia con Zenone, come l'atto supremo emerga dall'assutdo, e come sia proprio l' assurdo a procurare quei rovesciamenti di prospettiva che conducono ad ogni tipo di trascendenza. Negli argomenti di Grünbaum, o di chi prima di lui provò con analoghi espedienti a confutare Zenone, è assente ogni allusione alla priorità dell'assurdo e alla sua forza dimostrativa; prevale invece una fiducia diretta nella realtà e legittimità della forma e nella sua vittoria finale sull'illimitato, fino al punto di estendere quanto possibile quella insopprimibile urgenza o necessità metafisica che A.O. Lovejoy chiamò «principio di pienezza» fino alle soglie di una completezza formale prossima all'infinità. Del resto anche san Tommaso introdusse l'assurdo solo per sopprimerlo subito dopo, in nome del fatto e dell'evidenza.

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Non si andrebbe lontani dalla verità se si sostenesse che un numero irrazionale non esiste affatto, pur conservando l'intima certezza che esso designa indubbiamente "qualcosa'. Un numero irrazionale sembra comunque sprovvisto di un'esistenza attuale; esso non può essere esibito come l'insieme di 'tutte' le sue cifre.

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Può accadere, in realtà, che l'insostenibilità logica di un discorso matematico, proprio perché tale, contenga il seme di una qualche verità, o addirittura che questa stessa illogicità si tramuti nella imprescindibile caratteristica dell'unico segno visibile di idee o di realtà inaccessibili.

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Ma per Bruno l'infinito di Dio è riconoscibile più come enigma insondabile che come estremo raggiungimento dell'illimitato sviluppo di un'infinità potenziale: ciò che ci consente di penetrarne il mistero non è tanto la semplice percezione di un mondo sconfinato, quanto piuttosto la lettura del più riposto significato dei segni soprannaturali di cui tale mondo è intessuto. Così pure la scoperta copernicana, come rivelò F.A. Yeats, fu per Bruno essenzialmente il pretesto per una nuova descrizione geroglifica della Creazione ispirata a motivi ermetici; e non costituì in nessun modo l'attesa prova scientifica di una celebrata infinità dell'Universo.

La scrittura geroglifica per eccellenza, capace di illustrare in segni visibili della più astratta ed essenziale trasparenza i misteri racchiusi negli archetipi fu attuata tuttavia solo nelle forme pure della matematica e delle immagini geometriche. La matematica non fu per Bruno una scienza autonoma da cui estrarre a posteriori il supporto metaforico per la comprensione di verità metafisiche; essa costituì piuttosto fin da principio una parte della filosofia contemplativa, una scienza delle cause formali, un'arte di conoscenza a priori dei princìpi, come lo fu già per Niccolò Cusano o Raimondo Lullo.

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Nel riferire questo tentativo non sarebbe in realtà corretto parlare di un modello originale al cui confronto lo scritto moderno si riduca a semplice imitazione. Di imitazione non si tratta, e neanche, ovviamente, di semplice copiatura. L'intenzione di non compromettere la libera fantasia creatrice del suo autore metterebbe al riparo il testo contemporaneo da ogni perdita di originalità: il suo valore sarebbe degnamente confrontabile con l'opera formalmente identica che l'ha preceduto.

E' possibile tutto questo? L'autore francese risponde testualmente: «La mia impresa non è difficile. Mi basterebbe essere immortale per condurla a termine». La duplicazione perfetta di un originale richiede dunque l'immortalità.

Ecco dunque un paradosso che svela un altro nome dell'infinito: l'eguaglianza. La vera eguaglianza è un punto limite irraggiungibile che l'autore contemporaneo intende afferrare senza trascorrere per l'inesauribile via delle approssimazioni successive. «L'oggetto finale d'una dimostrazione teologica o metafisica» egli sostiene «non è meno dato e comune del divulgato romanzo che mi propongo." La sola differenza è questa: che i filosofi pubblicano in gradevoli volumi le tappe intermedie del loro lavoro, e io ho risoluto di cancellarle».

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