TecaLibri: Bernard I. Cohen: Il trionfo dei numeri

| << | < | > | >> |

Pagina 13

1 • Un mondo fatto di numeri

Numeri dappertutto

Viviamo in un mondo fatto di numeri. Alcuni non li vediamo, nascosti nelle operazioni del governo, nella gestione dell'economia e della finanza, nelle attività della scienza e dell'ingegneria, e persino in alcuni aspetti della vita di ogni giorno. Altri numeri, invece, si impongono di prepotenza di fronte ai nostri occhi, nel prezzo altalenante della benzina e negli estratti conto mensili delle banche e delle carte di credito. Ci troviamo a confrontarci con i numeri nei titoli dei giornali e dei notiziari – l'indice avanzato CLI, il PIL, il Dow Jones e il Nasdaq. Gli appassionati di sport studiano «statistiche» come l'RBI, i punti battuti a casa nel baseball. I giornali ci informano dell'ammontare del debito nazionale o del bilancio dello stato. Negli estratti conto mensili delle carte di credito americane appare una misteriosa quantità numerica detta APR. Ogni giorno, inoltre, i numeri si rivelano onnipresenti, nel costo del cibo, dei vestiti, dell'affitto, dell'assistenza medica, dell'assicurazione e delle tasse scolastiche.

[...]

Anzi, dato che le piramidi sono familiari a tutti, la loro costruzione rappresenta un ottimo esempio di quanto vogliamo dimostrare. Iniziamo considerando i numeri della Grande Piramide di Giza nell'antico Egitto, nota anche come piramide di Cheope o Khufu. La piramide fu eretta intorno al 2500 a.C., circa 5.000 anni fa. Le dimensioni sono enormi. La base è un quadrato che copre poco più di 13 acri, un'area sufficiente a contenere, una a fianco all'altra, la cattedrale di San Pietro a Roma, il Duomo di Milano e quello di Firenze, insieme alla Westminster Abbey e alla St. Paul's Cathedral di Londra. L'altezza misura quasi 150 metri, più o meno come un palazzo di 40 piani. Fino alla costruzione della Torre Eiffel alla fine del XIX secolo, questa piramide è stata l'edificio più alto del mondo, una struttura mastodontica composta da 2,3 milioni di pietre, ognuna di un peso variabile dalle 2 alle 15 tonnellate. Il peso medio di una pietra è di circa 2,5 tonnellate, lo stesso di una grande roulotte o di una limousine Cadillac di altri tempi.

Studiando le relazioni fra numeri e piramidi, è opportuno operare una distinzione fra due generi di numeri relativi a queste strutture. Esiste da diversi secoli un gruppetto di individui secondo cui le dimensioni e gli orientamenti delle piramidi rappresentano una chiave d'accesso per una qualche conoscenza mistica. L'attività di tali pensatori viene indicata a volte con il termine «piramidiozia» e i praticanti di questo gioco numerico come «piramidioti». Nella cerchia rientrano alcuni scienziati di chiara fama, in particolare Sir Charles Piazzi Smyth, astronomo reale scozzese dell'Ottocento.

Ciò che ci interessa in questa sede, tuttavia, non è tanto osservare come le dimensioni o gli orientamenti delle piramidi ci possano portare a conoscenze segrete, quanto piuttosto dimostrare in che modo le considerazioni sui numeri sollevano domande fondamentali in merito alla tecnologia in uso diverse migliaia di anni fa. Vedremo che l'uso dei numeri pone interrogativi proprio riguardo alle fasi della costruzione di questi straordinari edifici.

[...]

Le pietre della Grande Piramide furono tagliate per essere inserite nella struttura con una precisione da gioiellieri. Venivano estratte sulla riva opposta del Nilo, a molti chilometri di distanza, e dovevano essere trasportate lungo il fiume fino al cantiere, dove venivano sollevate fino alla loro posizione e inserite accuratamente nell'architettura della piramide. Si stima che la costruzione impegnò circa 100.000 operai per 20 anni o più. Secondo alcune autorità antiche occorsero 10 anni soltanto per costruire una rampa con la quale far giungere le pietre a posizioni elevate quanto un palazzo di 40 piani, e che passarono poi altri 20 anni per erigere la piramide stessa.

Che cosa ci indica questa sequela di numeri? Innanzi tutto, che gli egizi dovevano possedere un sofisticatissimo sistema di contabilità per pianificare dapprima la quantità di pietre da ottenere dalla cava, poi per garantirne il trasporto regolare dalla cava al cantiere e infine per risolvere il problema ingegneristico di collocare ogni pietra al suo posto nella struttura finale.

Non bisogna dimenticare, inoltre, la necessità di provvedere a cibo, bevande e abitazioni per gli operai. E nemmeno l'incastro perfetto delle pietre, la perfezione del disegno architettonico, nonché la lunga vita di questa e altre piramidi: tutti questi fattori rendono testimonianza, con la loro presenza, delle capacità architettoniche dei progettisti e delle grandi competenze degli artigiani. Quale, fra le nostre strutture, riuscirebbe a sopravvivere per 4.000 anni!

Recentemente il problema della costruzione delle piramidi è stato affrontato in maniera innovativa da Richard H.G. Parry dell'Università di Cambridge. Parry non è un egittologo, ma fa parte del gruppo di meccanica del suolo della facoltà di Ingegneria. In qualità di ingegnere interessato alla costruzione delle piramidi Parry si è posto due interrogativi fondamentali: primo, come fecero gli egizi a trasportare queste pietre enormi dalla cava al cantiere? E secondo, come le sollevarono lungo una rampa per posizionarle nella struttura finale? Lo studioso si è concentrato sul tempo che sarebbe stato necessario per posizionare le pietre.

La Grande Piramide fu completata in circa 20 anni. Quindi, dato che furono collocate 2.300.000 pietre in 20 anni, ogni anno devono essere state posizionate in media 2.300.000/20 pietre, ossia 115.000. Presumibilmente, gli operai lavorarono ogni giorno senza interruzione, 365 giorni l'anno. Pertanto il numero medio di pietre collocate in un singolo giorno deve essere stato di almeno 115.000/365, vale a dire 315 pietre. Se ipotizziamo che gli operai lavoravano in media 10 ore ogni giorno, possiamo calcolare che il numero di pietre posizionate ogni ora fosse di 315/10, o circa 30. In altri termini, un semplice calcolo aritmetico applicato a queste cifre ci rivela che l'erezione della piramide deve aver richiesto la posa di 30 pietre, in media, per ogni ora di lavoro. Questa conclusione può essere espressa semplicemente anche in questo modo: ogni due minuti veniva aggiunta alla costruzione una pietra gigantesca. Come ottenere un tale risultato?

Dovevano essere state predisposte rampe enormi lungo le quali le pietre potevano essere trascinate dal suolo al punto in cui venivano inserite nella struttura. Tuttavia, questo è più che un semplice problema di trasporto: gli antichi egizi non disponevano di veicoli su ruote e quindi non potevano usare carretti per muovere le pietre. Per diversi anni si è immaginato che le pietre fossero issate sulle rampe dagli operai seguendo un tracciato reso scorrevole dal fango del letto del Nilo, o lungo rulli di legno inseriti di continuo di fronte a slitte o pattini, magari con l'aiuto di palanche.

Essendo un ingegnere di professione, Parry rimase colpito da queste cifre e dalla portata del problema. Egli constatò che il metodo di trasporto tramite slitte non poteva reggere una consegna di blocchi di pietra, alcuni pesanti fino a 15 tonnellate, a una velocità di uno ogni due minuti, e giunse a una soluzione del tutto nuova per il problema. Nella sua ricostruzione, le pietre vengono spostate dalla cava al cantiere e poi lungo la rampa usando lo stesso metodo di trasporto. L'ispirazione per la sua soluzione al problema della piramide gli venne dall'osservazione di alcuni modelli degli strumenti utilizzati in un tempio del Nuovo Regno, esposti oggi al Metropolitan Museum of Art di New York (figura 1.1). Queste intelaiature di legno potevano essere incastrate alle estremità di ogni pietra, creando degli enormi rulli che potevano essere spostati facilmente lungo un percorso orizzontale, per esempio dalla cava alla piramide, e poi fatti salire lungo la rampa. Parry elaborò dei modelli per questi rulli, dimostrando come essi rappresentino una soluzione efficace per il problema del trasporto.

Le prove a sostegno dell'uso di intelaiature o sostegni di legno si ritrovano in un'affermazione dello storico greco Erodoto, che scriveva intorno al 500 a.C., circa 2.200 anni dopo la costruzione della Grande Piramide. Secondo Erodoto i costruttori dell'antico Egitto facevano uso di «congegni composti da piccoli pezzi di legno per sollevare le pietre». La figura 1.2 mostra un modello in scala ridotta di una pietra incastrata in rulli circolari.

La soluzione di Parry non si è fermata alla teoria. I suoi rulli circolari sono stati testati a grandezza naturale nelle vicinanze di Tokyo dalla Obayashi Corporation (figura 1.3), usando blocchi di cemento di 0,8 metri quadrati lunghi 1,6 metri, ognuno del peso di 2,5 tonnellate. Durante questi test gli operai hanno cercato di far rotolare un blocco lungo un percorso orizzontale e su rampe con pendenze del 10 e del 25 per cento. Dagli esperimenti è risultato che bastavano tre uomini per spostare i blocchi incastrati nei rulli lungo un percorso orizzontale, mentre occorrevano da 20 a 30 uomini per spostarlo usando una slitta. Inoltre, 16-20 uomini riuscivano a far salire lungo una pendenza del 25 per cento (simile a quella della piramide) una pietra di 2,5 tonnellate incastrata nei rulli, mentre per usare la slitta ne servivano tra i 60 e gli 80.

Chiesi a Parry come mai la Obayashi Corporation avesse accettato di effettuare una prova sperimentale delle sue idee. Egli mi rispose che nel 1995 aveva tenuto al Cairo delle lezioni sulla costruzione delle piramidi (a un gruppo di ingegneri). Il suo discorso si basava sui dati ottenuti dai test realizzati con modelli in scala ridotta. Un amico giapponese seduto fra il pubblico decise allora di effettuare un test pratico a grandezza naturale. Egli riuscì a convincere la Obayashi Corporation, «una delle "Cinque Grandi" società dell'edilizia in Giappone», a condurre un esperimento per vedere se i metodi suggeriti da Parry per spostare i blocchi di pietra potessero effettivamente funzionare.

L'ultimo test da realizzare riguardò il tempo: poteva una quadra di 20 uomini far salire una pietra di 2.5 tonnellate lungo una pendenza di una ventina di metri in pochi minuti, come ovviamente richiesto dalle cifre in questione? Gli esperimenti giapponesi rivelarono che il metodo di Parry permetteva di compiere l'operazione soltanto in un minuto. Parry fu soddisfatto dei risultati. «Ne ero abbastanza certo», sarebbe stato il suo commento, «ma non si può mai essere certi al 100 per cento in questi casi». Egli credette di aver finalmente spiegato in che modo i costruttori egizi «fossero riusciti a gestire enormi blocchi di pietra e a posizionarli in un periodo di tempo brevissimo».

La soluzione trovata da Parry per la modalità di trasporto delle pietre delle piramidi rispetta il requisito temporale principale, ossia quello di collocare in media una pietra ogni due minuti. Questa modalità di trasporto risponde anche ai problemi logistici dell'erezione della struttura. Nel nostro contesto, l'aspetto più significativo del lavoro di Parry è il fatto che possiamo vedere come i numeri forniscano una chiave per la comprensione delle civiltà antiche e delle tecnologie usate in passato.

| << | < | > | >> |

Pagina 57

3 • La numerologia e la filosofia mistica: e gli scienziati giocano con i numeri

Noi tutti abbiamo grande stima dei pensatori del Seicento che introdussero i numeri nello studio della natura e nell'analisi della società. Tuttavia, il XVII secolo fu anche un periodo di interesse crescente per la numerologia tradizionale e la filosofia mistica basata sui numeri. Molti credevano che i numeri fornissero una chiave per interpretare il destino umano: alcuni numeri sono buoni, altri sono cattivi. Per fare un esempio, il 7 era considerato (e per molti lo è ancora) un numero di buon auspicio, mentre il 13 tende a essere legato alla sfortuna. La combinazione particolare di giorno della settimana e giorno del mese che si verifica tutti i venerdì 13 era vista spesso (e lo è anche oggi) come un giorno sfortunato, pieno di pericoli. La credenza che il venerdì sia un giorno infausto è stata ricondotta a diverse spiegazioni: Gesù fu crocifisso di venerdì, Adamo ed Eva mangiarono il frutto proibito di venerdì, il Diluvio Universale ebbe inizio di venerdì.

Per i giapponesi il 4 è un numero sfortunato, perché nella loro lingua la parola che indica il numero «4» ha lo stesso suono del verbo «morire». Per questo in Giappone non si vendono oggetti come tazze da tè o frutta in gruppi di quattro, ma piuttosto in gruppi di cinque.

Per diverse religioni il 33 è da tempo un numero speciale. Per i cristiani rappresenta il numero di anni trascorsi da Cristo fra gli uomini. Per gli ebrei che hanno familiarità con il Vecchio Testamento, il 33 è il numero di anni che durò il regno di Davide. I musulmani conoscono il 33 perché alcune versioni dei loro rosari contengono tre sezioni di 11 grani separate da un «testimone». Queste associazioni religiose si intrecciano talvolta con considerazioni più razionali.

Isaac Newton, i cui Principia sono visti generalmente come il culmine della rivoluzione scientifica, era affascinato dai numeri. Egli dedicò un'enorme quantità di tempo ed energie al calcolo dell'estensione del «sacro Cubito degli Ebrei», e scrisse anche tre opere sui propri calcoli delle dimensioni e della struttura del Tempio di Salomone. Non ci ha lasciato alcun indizio riguardo a cosa rappresentassero questi numeri, ma è molto probabile che fossero associati al suo interesse per le profezie. Il biografo di Newton, Richard S. Westfall, suggerisce che come corollario di questi studi sul Tempio di Salomone e sui numeri relativi alle sue dimensioni e alla sua struttura Newton intraprese lo studio dell'ebraico.

Cosa c'è in un nome? La trasformazione dei nomi in numeri

Il Libro dell'Apocalisse secondo San Giovanni, così come il Libro di Daniele, abbonda di riferimenti ai numeri. Ci sono «sette angeli» che reggono «sette trombe». Un «terzo del mare divenne sangue». Ci sono «ventiquattro seggi e sui seggi... ventiquattro vegliardi». Nel Libro dell'Apocalisse i numeri vengono associati in particolare alla «Bestia» che bestemmia contro Dio; ci viene detto che la Bestia ha «dieci corna» e «sette teste».

In Apocalisse 13,18 apprendiamo che i numeri rappresentano il nome di un uomo e che il valore numerico delle lettere del nome della Bestia è di seicentosessantasei. Annemarie Schimmel, una studiosa che ha dedicato una vita intera allo studio dei numeri e ai loro usi, osserva che il numero 666 «ha alimentato l'immaginazione di generazioni di cristiani ed è ancora oggetto di ampi dibattiti al giorno d'oggi».

Due numerologi in particolare si sono sbizzarriti nella trasformazione dei nomi in numeri. Petrus Bungus (?-1601) fu autore di un celebre trattato numerologico, Numerorum mysteria, pubblicato per la prima volta nel 1585. Il libro suscitò una tale attenzione nel pubblico da portare alla riedizione nel 1591 e nel 1618.

Nel sistema di Bungus ai numeri vengono associate delle lettere secondo lo schema indicato nella tabella 3.1. Notiamo che la I e la J coincidono, così come la U e la V; non è contemplata la W.

Da buon cattolico, Bungus intendeva dimostrare che trasformando in numeri le lettere del nome di Martin Lutero la somma sarebbe stata pari a 666, il numero della Bestia. Le lettere di MARTIN danno la somma seguente:

Il totale è 260. LUTHER (il cognome di Lutero nella sua lingua viene trattato allo stesso modo.

LUTHER dà come somma 413. Addizionando nome e cognome (260 + 413) si ottiene 673, che è di sette unità superiore all'obiettivo di 666.

Come tutti i numerologi, Bungus armeggiò con a numeri in modo da ottenere il risultato voluto, e lo fece latinizzando il cognome di Lutero, ma non il nome. Il risultato fu il seguente:

     M   A   R   T   I   N   L   U   T   E   R   A
    30   1  80 100   9  40  20 200 100   5  80   1

che porta alla somma voluta, 666.

| << | < | > | >> |

Pagina 125

7 • La statistica raggiunge la maturità: l'età di Quetelet

I numeri, la scienza dei numeri e l'Ulisse di Joyce

La storia della pubblicazione di una delle più acclamate creazioni artistiche del XX secolo, l' Ulisse di James Joyce, è un esempio spettacolare di come una scienza associata ai numeri pervada le attività della vita in modi del tutto inaspettati. Benché oggi l' Ulisse sia distribuito ampiamente, per molto tempo questo libro è stato considerato così «sporco» da essere completamente bandito sia in Gran Bretagna che negli Stati Uniti. Ciò significa che il libro non poteva essere stampato, venduto o importato. Negli anni '20 e all'inizio degli anni '30 del secolo scorso, ai viaggiatori di ritorno dall'Europa o dall'America Latina veniva perquisito regolarmente il bagaglio personale non soltanto per controllare la presenza di bevande alcoliche, ma anche di copie dell' Ulisse (oltre che dell' Amante di Lady Chatterley di David H. Lawrence ).

La situazione cambiò del tutto nel 1933, quando una sentenza del giudice John M. Woolsey, un giudice distrettuale statunitense, rimosse il bando all' Ulisse dichiarando inequivocabilmente che «l'Ulisse può... essere ammesso negli Stati Uniti». La sentenza del giudice Woolsey raggiunse un discreto livello di notorietà perché fu stampata come premessa all'edizione dell' Ulisse della Random House, la prima edizione americana legittima, e poi in ogni ristampa della collana «Modern Library». Ricordo di aver letto il testo di questa sentenza solo molti anni dopo la sua pronuncia, in un periodo in cui avevo completato i miei studi post-lauream e avevo già intrapreso la carriera di storico della matematica e della scienza. Il motivo per cui non avevo mai saputo di questa sentenza è che ero uno di quei pochi fortunati che erano riusciti a ottenere una copia «pirata» prima della rimozione del bando. Era una delle copie stampate a Parigi, rilegate in cartone blu. Quindi fu solo diversi anni dopo che ebbi in mano l'edizione della Random House e lessi la sentenza del giudice Woolsey con le sue motivazioni del perché l' Ulisse non avrebbe minato l'integrità morale degli Stati Uniti.

Successivamente appresi da alcuni colleghi, studenti di diritto costituzionale, che la sentenza del giudice Woolsey era considerata una pietra miliare nella storia del diritto. La sua delibera sulla possibilità di pubblicare e vendere l' Ulisse negli Stati Uniti comportò più che la semplice autorizzazione a distribuire in America questa grande opera di James Joyce. Il giudice compì un enorme passo avanti nella costante lotta alle oscure forze della censura. Molti scrittori, editori e lettori salutarono con gioia questa sentenza, felici che finalmente il capolavoro di James Joyce potesse essere fatto circolare liberamente. L'opera, ritenuta generalmente uno dei capolavori letterari dell'epoca moderna, poteva finalmente essere resa accessibile ai lettori. Malgrado ciò, sussiste la seria preoccupazione che il giudice Woolsey abbia dato il via a una vera e propria inondazione di pornografia in cui stiamo annegando da allora.

La sentenza del giudice era importante per diversi aspetti. Da non trascurare è il fatto che scrivendola egli adottò talvolta una sorta di stile poetico ben adatto alle cadenze liriche dell' Ulisse. Per fare un esempio, il giudice annotò alcuni fattori che riducevano l'aspetto puramente pornografico di certi episodi. Notando il «ricorrente tema del sesso» nelle «menti» dei personaggi di Joyce, il giudice affermò che i lettori dovevano ricordare che «l'ambientazione [di Joyce] era celtica e la sua stagione la primavera». Ovviamente, osservò il giudice, l' Ulisse contiene alcune «parole anglosassoni antiche» che sono state «criticate come sporche», ma queste parole — disse — sono «note a quasi tutti gli uomini e, oserei dire, a molte donne». In sostanza, il giudice Woolsey basò il suo giudizio finale su una questione legale di oscenità, e cioè se il libro tendeva «ad agitare gli impulsi sessuali o a portare a pensieri sessualmente impuri e lussuriosi».

Mentre studiavo la sentenza del giudice Woolsey non ero particolarmente interessato alle questioni legali in gioco. Piuttosto, osservando il suo testo dal punto di vista dei numeri e delle varie scienze basate sui numeri, rimasi colpito dal fatto che egli non si chiedeva se il libro potesse stimolare sessualmente qualsiasi lettore e nemmeno la maggior parte o alcuni lettori; né si concentrò sull'effetto di una possibile lettura del libro su persone di diverse età e temperamenti. Tutt'altro: egli basò la sua decisione su quello che presumeva essere l'effetto del libro «su una persona con istinti sessuali medi — quello che i francesi chiamerebbero l'homme moyen sensuel». In altre parole, il giudice prese in considerazione l'effetto su una persona di sensibilità media. Una persona così, spiegò, svolge in questo genere di inchieste lo stesso «ruolo di reagente ipotetico» dell' «"uomo ragionevole" nel diritto penale» e dell' «"uomo erudito nelle arti" nelle questioni relative all'invenzione nel diritto dei brevetti».

Il giudice Woolsey non era interessato alla portata storica di questo concetto di «homme moyen». Egli non dimostrò di sapere che si trattava di un concetto matematico che aveva assunto rilievo nel XIX secolo con l'analisi numerica dei fenomeni sociali.

Gli studiosi di diritto si sono occupati della validità di questo concetto di «reagente ipotetico», ma non hanno riconosciuto la valenza storica e numerica del tipo di persona su cui il giudice basò la propria decisione. Nemmeno gli avvocati che hanno studiato la decisione del giudice Woolsey si sono resi conto della natura e del contesto storico del concetto da lui evocato — la «persona di sensibilità media». Non viene riconosciuto, in genere, che il concetto di «homme moyen sensuel» era stato effettivamente inventato solo alcuni decenni prima della nascita di James Joyce e rappresentava la pietra angolare di una scienza totalmente nuova dell'applicazione dei numeri, la scienza della statistica applicata ai problemi della società. L'essere fittizio del giudice Woolsey, un uomo o una donna «medi», erano una creazione intellettuale di Adolphe Quetelet, uno dei pensatori più innovativi e influenti dell'Ottocento.

Il mondo dei numeri di Quetelet

Nel mondo dei numeri, i decenni a metà dell'Ottocento rappresentano un periodo di sviluppo cruciale. Crebbe sempre più l'interesse dei governi per il conteggio dei loro cittadini e per la raccolta di dati numerici su di loro. Vennero formate società nazionali di statistica, e nel 1853 si riunì il primo di numerosi congressi internazionali di statistica.

Il propulsore di questo movimento internazionale fu Adolphe Quetelet, che è stato soprannominato la «centrale elettrica del movimento statistico», il «più grande venditore di regolarità del XIX secolo». Westergaard ha riscontrato che durante l'«èra dell'Entusiasmo – 1830-1849 – Quetelet mise in ombra la maggior parte degli autori statistici contemporanei con il suo stile brillante, la sua fervida immaginazione e la sua ricchezza di idee». Inoltre, «nel periodo interessato egli rappresenta la figura centrale della letteratura statistica», e «i suoi contributi mostrano sia la forza del periodo sia i suoi punti deboli».

Anche se pochissimi lettori conosceranno il nome di Quetelet, lo studioso merita senza dubbio di essere incluso fra i «notabili» dell'Ottocento. La sua influenza non raggiunse il livello di Charles Darwin, Karl Marx o Sigmund Freud, ma ciò nonostante ha segnato sostanzialmente il nostro pensiero. È a lui che ancora oggi rendiamo onore quando utilizziamo concetti come «uomo medio», anche se il senso attribuito al termine è cambiato nel tempo, e merita un posto di rilievo nel pantheon del pensiero statistico.

Adolphe Quetelet (pronunciato «chetelé») nacque nel 1796 nella città belga di Gand, in un'epoca in cui il Belgio faceva parte dell'Olanda. Benché Quetelet dimostrasse un vero talento per la matematica, i suoi interessi intellettuali si concentrarono sulle arti. Scrisse poesie e opere di teatro, fu coautore di un'opera lirica e sviluppò altresì una certa abilità come pittore. L'interesse dell'artista per la figura umana si sarebbe rivelato prezioso in un periodo successivo, quando si occupò delle statistiche riguardanti la crescita, l'altezza, il peso, le dimensioni del petto e così via. Alla fine un amico lo convinse a passare dall'arte alla matematica, ma Quetelet continuò a scrivere poesie fino a trent'anni e oltre.

| << | < | > | >> |

Indice

| << | < | > | >> |

Pagina 13

| << | < | > | >> |

Pagina 57

| << | < | > | >> |

Pagina 125

| << | < |