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Indice

Prefazione                                              9
Introduzione                                           13


IL CALCOLATORE UNIVERSALE



I.    Il sogno di Leibniz                              17
II.   Boole trasforma la logica in algebra             38
III.  Frege: dalla grande conquista al crollo          61
IV.   Cantor: una deviazione verso l'infinito          83
V.    Hilbert vola al soccorso                        109
VI.   Gödel manda tutto per aria                      136
VII.  Turing e l'idea del calcolatore generale        174
VIII. La costruzione dei primi calcolatori universali 217
Epilogo                                               254


Note                                                  257
Bibliografia                                          299
Indice analitico                                      307
 

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Pagina 13

    Se risultasse che le logiche di base di una macchina
    progettata per la soluzione numerica di equazioni
    differenziali coincidono con quelle di una macchina
    destinata a preparare le fatture di un grande magazzino,
    penserei che si tratta della più stupefacente
    coincidenza di tutta la mia vita.
    HOWARD AIKEN, 1956

    Torniamo ora all'analogia con le macchine calcolatrici
    teoriche... Si può dimostrare che è realizzabile una
    speciale macchina di questo tipo capace di fare da sola
    il lavoro di tutte; potremmo addirittura farla funzionare
    da modello di qualsiasi altra. Questa macchina speciale
    può essere chiamata «universale».
    ALAN TURING, 1947

Le discussioni giunsero a una svolta quando, con grande disappunto di Eckert, John von Neumann, il più autorevole dei logici e sommo matematico, cominciò a far circolare (con la propria firma) la minuta di un rapporto sul progetto dell'EDVAC in cui era data scarsa attenzione ai dettagli ingegneristici, ma veniva proposta quella struttura logica fondamentale del calcolatore che va ancor oggi sotto il nome di «architettura di von Neumann».

Pur essendo una meraviglia dell'ingegneria, sul piano logico l'ENIAC era un disastro. Fu la sua competenza in questo campo (e quello che aveva imparato da un altro logico, l'inglese Alan Turing) a permettere a von Neumann di capire che in realtà una macchina calcolatrice è una macchina logica nei cui circuiti trova corpo un distillato delle intuizioni, elaborate nell'arco di vari secoli, di una straordinaria successione di pensatori. Oggi, mentre la tecnologia informatica avanza a velocità tale da togliere il respiro e ammiriamo le imprese (senz'altro degne di nota) degli ingegneri, è fin troppo facile dimenticare quei logici le cui idee le hanno rese possibili. Questo libro racconta la loro storia.

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Pagina 19

Destinato a diventare uno dei massimi matematici di tutti i tempi, il giovane Gottfried apprese i primi elementi di questa disciplina da insegnanti che non avevano idea della rivoluzione matematica in atto in altre parti d'Europa. In Germania perfino la geometria elementare di Euclide era a quei tempi matematica superiore, e veniva studiata solo all'università; ma Leibniz era ancora un ragazzino quando i precettori gli presentarono il sistema logico elaborato da Aristotele oltre due millenni prima, e ciò risvegliò la sua passione e il suo talento per la matematica. Affascinato dalla divisione aristotelica dei concetti in «categorie», concepì di lì a poco quella che avrebbe definito un'«idea meravigliosa»: creare un alfabeto speciale, i cui elementi non stessero per suoni ma per concetti. Un linguaggio basato su un simile alfabeto avrebbe permesso di stabilire, per mezzo di calcoli simbolici, quali dei suoi enunciati erano veri e quali relazioni logiche intercorrevano fra essi. Leibniz non si emancipò mai dall'influsso di Aristotele e a tale visione rimase fedele per il resto della sua vita.

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Pagina 31

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Pagina 61

Frege rispose subito a Russell, riconoscendo l'esistenza del problema. Il secondo volume del trattato nel quale applicava i suoi metodi logici alla fondazione dell'aritmetica era già in tipografia, ed egli vi aggiunse in tutta fretta un'appendice che cominciava con queste parole: «Per uno scienziato non c'è niente di peggio che veder crollare i fondamenti del suo lavoro proprio quando questo è stato appena completato. Io sono stato messo in tale situazione da una lettera del signor Bertrand Russell».

Molti anni dopo - ne erano passati oltre quaranta dalla morte di Frege - lo stesso Russell ebbe occasione di scrivere: «Quando penso ad atti d'integrità e magnanimità, mi rendo conto che fra tutti quelli che conosco non c'è niente che regga il confronto con la dedizione di Frege alla verità. L'opera della sua vita era sul punto di essere completata, gran parte di essa era stata ignorata a tutto vantaggio di uomini infinitamente meno capaci, il secondo volume stava per essere pubblicato, e quando egli scoprì che il suo assunto fondamentale era errato la lieta e serena dirittura intellettuale con cui reagì prevalse chiaramente su ogni sentimento personale di delusione. Fu una cosa quasi sovrumana, una dimostrazione significativa di ciò di cui sono capaci gli esseri umani se è al lavoro creativo e alla conoscenza che si dedicano, e non all'impresa - tanto più grossolana - di emergere e farsi conoscere».

Il filosofo contemporaneo Michael Dummett, la cui opera è in buona parte ispirata alle idee di Frege, scrive sull'«integrità» di quest'ultimo in tono ben diverso: «Per me c'è una certa ironia nel fatto che l'uomo alle cui opinioni filosofiche ho dedicato, anno dopo anno, lunghe riflessioni fosse, almeno nell'ultima parte della sua vita, un razzista virulento, e più specificamente un antisemita ... Il [suo] diario ci mostra un Frege di estrema destra, ferocemente avverso al sistema parlamentare, ai democratici, ai liberali, ai cattolici, ai francesi e soprattutto agli ebrei, che secondo lui avrebbero dovuto essere privati dei diritti politici, e preferibilmente espulsi dalla Germania. [Quando lo lessi] ne fui profondamente scosso perché veneravo Frege, nel quale vedevo un uomo assolutamente razionale».

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Pagina 74

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Pagina 80

Dal punto di vista della nostra storia, tuttavia, è più utile sottolineare un'altra limitazione della logica di Frege. Leibniz aveva sognato un linguaggio che fosse anche uno strumento di calcolo efficiente, che permettesse di eseguire in modo sistematico inferenze logiche manipolando soltanto dei simboli; nel sistema di Frege, invece, tutte le deduzioni, a parte le più elementari, sono insopportabilmente complesse. E non solo le deduzioni sono lunghe e tediose, ma le regole di Frege non forniscono alcun procedimento di calcolo che permetta di stabilire se una certa conclusione che c'interessa sia o non sia derivabile da determinate premesse nella logica della Begriffsschrift.

Poiché, tuttavia, la Begriffsschrift riassumeva tutta la logica usata nella matematica ordinaria, divenne possibile studiare l'attività matematica usando i suoi stessi metodi; e queste ricerche produssero, come vedremo, alcuni risultati imprevisti e molto notevoli. La ricerca di un metodo di calcolo in grado di stabilire se una determinata inferenza della logica fregeana era corretta toccò il punto culminante nel 1936, quando si dimostrò che non esiste nessun metodo generale di questo tipo: una pessima notizia per il sogno di Leibniz. Tuttavia fu proprio dimostrando questo risultato negativo che Alan Turing scoprì una cosa che avrebbe riempito Leibniz di gioia: che in linea di principio si sarebbe potuta costruire un'unica macchina universale capace di eseguire ogni possibile calcolo da sola.

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Pagina 181

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Pagina 187

* Viene eseguito scrivendo dei simboli nelle caselle di un nastro di carta.

* A ogni passo la persona che esegue il calcolo fa attenzione al simbolo scritto in una sola di queste caselle.

* L'azione successiva dipenderà da questo simbolo e dallo stato mentale della persona.

* Tale azione consisterà nello scrivere un simbolo nella casella osservata ed eventualmente nello spostare l'attenzione sulla casella immediatamente a destra o a sinistra.

È facile vedere che la persona può essere sostituita da una macchina nella quale il nastro - che possiamo pensare come un nastro magnetico ove i simboli scritti sono rappresentati da informazioni in codice - si muove avanti e indietro, mentre agli stati mentali dell'operatore corrispondono differenti configurazioni delle componenti interne della macchina. Quest'ultima va progettata in modo da scandire, istante per istante, uno solo dei simboli del nastro. A seconda della sua configurazione interna e del simbolo scandito, scriverà sul nastro un certo simbolo (che rimpiazzerà quello scandito), dopodiché o continuerà a scandire la stessa casella o si sposterà di un passo verso destra o verso sinistra. Ai fini del calcolo non importa come sia costruita la macchina o addirittura di che cosa sia fatta; conta solo che abbia la capacità di assumere un certo numero di configurazioni (dette anche stati) distinte e che in ognuna di esse si comporti in modo adeguato.

Il punto non è la costruzione effettiva di una di queste macchine di Turing, che dopotutto sono solo astrazioni matematiche; ciò che importa è che questa analisi della nozione di calcolo abbia consentito di stabilire che tutto ciò che è calcolabile mediante un processo algoritmico può essere calcolato da una macchina di Turing. Se quindi si può dimostrare che un certo compito non può essere eseguito da una macchina di Turing, è certo che non esiste un processo algoritmico in grado di eseguirlo; e fu così che Turing dimostrò che non esisteva un algoritmo per l' Entscheidungsproblem. Oltre a ciò, Turing mostrò come creare una singola macchina di Turing capace di fare, senza aiuti esterni, tutto ciò che poteva essere fatto da una qualsiasi macchina di Turing: era un modello matematico di calcolatore generale.

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Pagina 228

Nei tardi anni Quaranta c'erano due possibili candidati alla funzione di memoria di un calcolatore: la linea di ritardo acustica e il tubo catodico. La linea di ritardo era un tubo pieno di mercurio in cui i dati erano immagazzinati sotto forma di onde acustiche che rimbalzavano da un estremo all'altro; nei tubi catodici - che oggi sono conosciutissimi, perché servono per la televisione e i monitor dei PC diventavano invece configurazioni della superficie del tubo stesso. Entrambi i sistemi ponevano problemi ingegneristici molto seri, ma fortunatamente per il progetto EDVAC Eckert era riuscito a migliorare di molto la linea di ritardo per l'uso militare nei radar. (Nei primi anni Cinquanta, invece, furono i tubi catodici a diventare il substrato preferito per la memoria).

Quando si rievoca questo periodo, di solito parlando dei nuovi calcolatori che proprio allora venivano creati si dice che realizzavano il concetto di «programma memorizzato», perché i programmi da eseguire venivano memorizzati, per la prima volta, dentro la macchina. Purtroppo questa terminologia ha finito per oscurare il fatto che l'aspetto veramente rivoluzionario di tali calcolatori era il loro carattere generale e universale, mentre il programma memorizzato era semplicemente un mezzo in vista di un fine. La concezione di Turing e von Neumann è così semplice, ed è penetrata così a fondo nel nostro attuale clima intellettuale, che oggi ci è difficile capire quanto fosse radicale la sua novità; è molto più facile apprezzare l'importanza di una nuova invenzione, come la linea di ritardo acustica, che quella di una nuova idea astratta. Anni dopo, Eckert affermò di avere avuto l'idea del cosiddetto programma memorizzato ben prima che entrasse in scena von Neumann, e presentò come prova un appunto in cui parlava di programmazione automatica immagazzinata su dischi in lega metallica o con microincisioni. Nel documento non c'è nulla che richiami, anche lontanamente, il concetto di calcolatore generale con una memoria grande e flessibile nella quale coabitano istruzioni e dati. Ma caratterizzare il grande progresso che era stato realizzato con il concetto di programma memorizzato significa proprio confondere le due cose.

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Pagina 236

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Pagina 243

I «reckon» he's sweet-talking her in the moonlight right now.

[« Immagino che in questo momento le stia dicendo paroline dolci al chiaro di luna»].

Il malinconico protagonista di un film di serie B parla del rivale, non sapendo di avere già conquistato il cuore di lei. Egli non sta certo pensando all'aritmetica: le sue parole rispecchiano un ragionamento, basato sulla presunta conoscenza delle subdole arti del rivale. Il legame tra calcolo e ragionamento suggerito da questo uso della parola reckon è tuttavia autentico e profondo: il conteggio numerico è esso stesso una forma di ragionamento, e viceversa i ragionamenti degli esseri umani possono in molti casi essere considerati una forma di calcolo. È molto interessante che questa correlazione, almeno a livello subliminale, venga generalmente percepita. Abbiamo questa percezione ad esempio quando qualcuno viene descritto come una persona «calcolatrice».

Il tentativo di ridurre il ragionamento logico a una serie di regole formali risale ad Aristotele, ed era alla base del sogno leibniziano di un linguaggio computazionale universale, nonché del successo di Turing nel dimostrare che la sua macchina universale poteva svolgere qualsiasi calcolo. Calcolo e ragionamento logico sono due facce della stessa medaglia; e questa intuizione viene usata non soltanto per programmare i calcolatori in modo che sappiano eseguire un'impressionante varietà di compiti, ma anche per progettarli e costruirli.

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Pagina 251

Roger Penrose, illustre matematico e fisico matematico che ha scritto pagine bellissime sulla geometria dell'universo, si è chiesto se il funzionamento della mente umana sia fondamentalmente algoritmico. Adducendo il teorema d'incompletezza di Gödel, ha risposto con un energico «No!». Un modo per formulare il teorema di Gödel è il seguente:

Dato un algoritmo che produce, uno dopo l'altro, enunciati veri sui numeri naturali possiamo sempre ottenere un altro enunciato vero sui numeri naturali, che chiameremo «la proposizione di Gödel», che non è generato da questo algoritmo.

Secondo Penrose, nessuno specifico algoritmo che venga proposto come equivalente al funzionamento della mente sarà mai adeguato allo scopo perché con un atto di «intuito» possiamo vedere che la proposizione di Gödel per quell'algoritmo è vera. Questo argomento è profondamente sbagliato per una ragione che Turing aveva illustrato, quarant'anni prima, nella sua conferenza del 1947 alla London Mathematical Society. Turing aveva sottolineato che il teorema di Gödel è applicabile solo ad algoritmi che generano esclusivamente proposizioni vere, mentre nessun matematico umano può rivendicare l'infallibilità. Tutti commettiamo errori! Perciò nel teorema di Gödel non c'è niente che impedisca alle capacità matematiche della mente umana di essere equivalenti a un processo algoritmico che produca enunciati sia falsi sia veri.

Searle e Penrose respingono l'ipotesi che la mente umana, nei suoi aspetti essenziali, equivalga a un calcolatore, ma entrambi partono dal presupposto che - qualunque cosa sia - la nostra mente sia prodotta dal cervello, il quale è soggetto alle leggi della fisica e della chimica. Per parte sua Kurt Gödel era dispostissimo a credere che il cervello fosse effettivamente un calcolatore, ma rifiutava l'idea che non vi sia una mente oltre ciò che può fare il cervello umano. Qui la maggior parte dei lettori si renderà conto che al centro delle sue preoccupazioni c'era il classico problema mente-corpo. La sua convinzione che la mente dell'uomo sia, in qualche modo, indipendente dalla sua esistenza fisica era una forma di quello che va sotto il nome di dualismo cartesiano.

La discussione ci ha portati molto più in là del sogno di Leibniz, in un regno che sta tra filosofia e fantascienza. Sicuramente, se pensiamo a che cosa sono diventati i calcolatori dai tempi dei rapporti sull'EDVAC e l'ACE, ci rendiamo conto che è saggio evitare previsioni azzardate su quello che potranno o non potranno fare in futuro.

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Pagina 254

Questa storia vuole sottolineare la potenza delle idee e la vanità di ogni pretesa di prevedere dove ci porteranno. I duchi di Hannover credevano di sapere come Leibniz doveva occupare il suo tempo: lavorando alla storia della loro famiglia. Ma anche oggi accade fin troppo spesso che quelli che forniscono agli scienziati le risorse necessarie per vivere e lavorare cerchino di indirizzarli nelle direzioni che secondo loro hanno più probabilità di produrre rapidamente risultati. Tuttavia un simile tentativo non solo risulterà, verosimilmente, vano nei tempi brevi, ma - e questo è più importante - scoraggiando le ricerche prive di utilità immediata impoverirà il nostro futuro.

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