| << |  <  |  >  | >> |

Indice

Premessa   7

1.  Dalla realtà alla matematica:
        esempi e problemi 11

    Un primo esempio: la legge di crescita
        malthusiana di una popolazione, 11
    Un modello piú perfezionato:
        la legge di crescita logistica, 40
    I modelli matematici e l'isomorfismo delle
        leggi. Altri esempi, 47
    Un modello matematico della predazione, 61
    Che cos'è un modello matematico?
        Alla ricerca di una definizione, 67

2.  Matematica e realtà: dalla fisica classica
        alla modellistica matematica 81

    La matematica e la concezione della natura
        nel Seicento, 81
    Un brano di Galileo, 86
    Newton e la nuova matematica, 91
    Determinismo e meccanicismo, 98
    Cenno sui programmi alternativi al
        determinismo meccanicista, 108
    La crisi della scienza moderna, 111
    La modellistica matematica moderna, 116

3.  Qualche osservazione conclusiva. Modelli e
        calcolatori 131

    Alcuni campi di applicazione dei modelli
        matematici, 131
    Cenni sui metodi della modellistica
        matematica contemporanea, 136
    Il calcolatore e la modellistica
        matematica, 140
 

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 7

Le scienze non cercano di spiegare, a malapena tentano di interpretare, ma fanno soprattutto dei modelli. Per modello s'intende un costrutto matematico che, con l'aggiunta di certe interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati. La giustificazione di un siffatto costrutto matematico è soltanto e precisamente che ci si aspetta che funzioni - cioè descriva correttamente i fenomeni in un'area ragionevolmente ampia. Inoltre esso deve soddisfare certi criteri estetici - cioè, in relazione con la quantità di descrizione che fornisce, deve essere piuttosto semplice.

John von Neumann

La "modellistica matematica" è la forma in cui si manifesta oggi l'uso della matematica nella descrizione e nella previsione di gran parte dei fenomeni. È quindi facile intuire che essa occupa un campo sterminato. Lo scopo di questo libro non può essere quindi quello di offrire un panorama neppure lontanamente soddisfacente degli sviluppi della modellistica contemporanea. Neppure può essere quello di descriverne in modo organico e rigoroso i metodi, non soltanto per motivi di spazio ma per intuibili ragioni di difficoltà tecnica. Non è neppure facile dare, fin dall'inizio, una definizione esauriente, semplice e compatta di modello matematico. Abbiamo appena proposto, in epigrafe, la definizione data da uno dei massimi scienziati del Novecento, John von Neumann. A nostro avviso, essa è una delle piu chiare e semplici caratterizzazioni del concetto di modello matematico. Eppure, in assenza di un materiale sufficiente di esempi, essa rischia di apparire oscura e vaga. Tenteremo di mostrare nell'ultima sezione di questo capitolo che il tentativo di fornire una definizione "esatta" di cosa sia un modello matematico, è un'impresa, oltre che faticosa, inutile.

Cosa potremo fare allora? Dare un'idea introduttiva del campo dei problemi e dei metodi della modellistica matematica. E poiché non potremo seguire né un'impostazione informativa né tecnica, seguiremo un approccio culturale. Ciò significa che cercheremo di illustrare i principali problemi di ordine concettuale che si pongono nella modellistica matematica contemporanea e la loro collocazione e origine storica. Abbiamo detto illustrare, perché il modo che ci sembra migliore per affrontare questi problemi cosi complessi e difficili è quello della scelta di pochi esempi significativi e rappresentativi. Esempi, cioè, che racchiudono in sé buona parte dei problemi tipici che si presentano nella costruzione e nella verifica di un modello matematico. Ed esempi semplici, che possano essere esposti con un bagaglio tecnico minimo, talmente modesto da poter introdurre a parole le pochissime formule matematiche che useremo. Il lettore non deve però credere che queste siano le tecniche della modellistica matematica: in tal modo si troverebbe completamente fuori strada.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 47

Vogliamo mettere in luce una conseguenza delle considerazioni svolte nelle due sezioni precedenti. Abbiamo studiato il problema della crescita di una popolazione umana e abbiamo riassunto le nostre conclusioni in una legge matematica espressa dall'equazione di crescita esponenziale. Abbiamo poi constatato che tale equazione era adatta a descrivere la crescita di una qualsiasi popolazione vivente (o almeno di moltissime di esse). Lasciamo ora da parte le difficoltà che ci hanno portato alla considerazione di una descrizione matematica piu raffinata mediante l'equazione di crescita logistica. Quel che ci preme ora sottolineare è che queste equazioni (si tratti di quella di crescita esponenziale o logistica) forniscono lo schema descrittivo di una molteplicità di situazioni reali diverse.

Tralasciamo per il momento il problema dell'accordo con la realtà e diamo quindi per certo che l'equazione di crescita logistica funzioni sul piano descrittivo. Si è visto che essa serve altrettanto bene a descrivere lo sviluppo di una popolazione di Drosophila, di una popolazione di cittadini statunitensi o di protozoi Paramecium. Ciò significa che la natura è scritta in linguaggio matematico? Che l'essenza stessa delle "leggi" della natura e, piu in genere della realtà, è racchiusa in una equazione matematica? Questa è una conclusione del tutto legittima - anche se chi scrive non è d'accordo con essa ma comunque non necessaria. Si può semplicemente concludere che esistono determinate regolarità (il che, nel nostro caso, non è affatto strano né misterioso, dato che stiamo trattando di un unico problema) e che queste regolarità possono essere descritte con un solo schema matematico. Sarebbe meglio dire che le leggi di crescita di una popolazione di Drosophila, di una popolazione di Paramecium e della popolazione statunitense sono analoghe. Ovviamente i valori dei coefficienti di crescita sono specifici delle singole popolazioni ma ciò però non influisce sulla tendenza generale dello sviluppo, descritta in tutti i casi da una curva a forma di S. Perciò potremo dire che hanno analoghe qualità o, com'è d'uso nella teoria dei sistemi, che sono "leggi isomorfe" (isomorfe vuol dire testualmente "che hanno la stessa forma").

Quanto precede illustra una delle virtú della matematica: essa realizza una grande economia di pensiero. Lo studio completo di un'equazione (il che significa la conoscenza delle sue soluzioni) mette a disposizione uno strumento già confezionato e di volta in volta pronto a descrivere situazioni reali anche diversissime fra loro. Per ricavare tutte le conclusioni desiderate basterà precisare le costanti numeriche caratteristiche (come si è fatto nei casi già esaminati). (A condizione, beninteso, che l'equazione prescelta fornisca una descrizione adeguata del fenomeno in esame.) E, per ricavarle, non dovremo piu affrontare un problema di matematica, già risolto, ma soltanto un problema di calcolo numerico.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 72

Questa definizione contiene una descrizione completa delle caratteristiche di un modello matematico, che possono essere raccolte in tre punti fondamentali, non separabili l'uno dall'altro. Precisamente:

a) un modello matematico è la rappresentazione di un fenomeno;

b) tale rappresentazione non è discorsiva o a parole, ma formale, espressa cioè in linguaggio matematico;

c) non esiste una via diretta dalla realtà alla matematica. In altri termini il fenomeno specifico studiato non determina la «sua» rappresentazione matematica; ciò che invece si fa è di tradurre in formule idee e conoscenze relative al fenomeno.

Discutiamo meglio questi tre punti. Sul primo non c'è molto da dire: esso non fa altro che individuare il campo di cui ci stiamo occupando e cioè l'analisi scientifica dei processi reali. Un modello matematico è, per l'appunto, la rappresentazione (o descrizione) di un fenomeno. Non si tratta però di una semplice descrizione verbale. Il modello matematico è una descrizione che mette in luce determinati aspetti caratteristici di un fenomeno in termini formali: è la logica del processo che viene analizzata. Ed ecco il secondo punto. La descrizione che offre il modello non è infatti una descrizione contenutistica ma è una descrizione che utilizza il linguaggio formale e astratto per eccellenza, il linguaggio della matematica. Insistiamo su questa contrapposizione fra descrizione a parole o di contenuto e descrizione in linguaggio formale e quindi matematico.

Arriviamo quindi al terzo punto che è il piu delicato e importante di tutti. Perché Malinvaud dice che un modello matematico è la rappresentazione formale di «idee o conoscenze relative a un fenomeno»? Perché non dice semplicemente che è la rappresentazione formale di un fenomeno? L'esame di un aspetto della realtà non suggerisce in alcun modo come esso debba essere descritto matematicamente. In modo piu sintetico e rozzo, ma abbastanza suggestivo, potremmo dire che non esiste una via diretta, una sorta di autostrada, che porta dalla realtà alla «sua» descrizione matematica, in modo univoco. E questo per tante ragioni. In primo luogo perché la realtà è costituita da un intrico talmente complesso e inestricabile di fenomeni, da impedire una descrizione relativamente semplice e schematica qual è quella matematica.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 74

Le idee che entrano in gioco sono in primo luogo relative a cosa si vuole descrivere. Nello scegliere questo aspetto da descrivere, nell'isolarlo dai tanti altri che compongono l'intreccio in cui ci si presenta il fenomeno, noi dobbiamo isolarlo in modo corretto. Non dobbiamo cioè considerare come secondari aspetti che sono invece fondamentali per l'oggetto che ci proponiamo di studiare o viceversa. Ma non è sufficiente fare in modo corretto questa operazione di isolamento. Infatti, il fenomeno non contiene la legge, come una scatola contiene un oggetto, e il nostro compito non può ridursi quindi allo sforzo di aprire la scatola per scoprirne il contenuto. Già lo stesso concetto di «legge del fenomeno» è una nostra creazione mentale. Interviene qui in modo decisivo l'osservazione empirica e l'esperimento (che è una forma organizzata e metodica di osservazione empirica) per formarci un'idea e costruire un'ipotesi circa la legge che dovrebbe governare il processo in esame. Quel che noi facciamo quindi è di mettere insieme tutte le conoscenze empiriche e le idee che ci siamo fatti del fenomeno, per costruirne una rappresentazione matematica, che si tradurrà per lo piú in formule o equazioni di vario tipo. Abbiamo cosi ottenuto un modello matematico del processo reale in oggetto.

È sufficiente questo modo di procedere a garantire la validità del modello e cioè la sua adeguatezza a descrivere il fenomeno studiato? No di certo, visto che tutte le idee e le conoscenze che noi abbiamo utilizzato per costruirlo, possono aver introdotto delle discrepanze dalla realtà piu o meno accettabili. Ecco che allora la fase di verifica del modello è indispensabile. Per verificare il modello occorrerà dedurre dalla sua struttura matematica la previsione che esso fornisce circa il comportamento del fenomeno. Sarà compito del matematico esplicitare dal modello queste conseguenze, cioè risolverlo. Occorrerà poi confrontare queste previsioni con i dati reali, sia che si tratti di dati statistici, sia che si tratti di un esperimento eseguito appositamente per verificare la bontà del modello.

Possiamo riassumere il tipo di problemi che nascono nel mettere in opera lo strumento matematico nella descrizione dei fenomeni, citando quanto scrisse con lucida sinteticità il matematico Vito Volterra, nel saggio del 1906 Il momento scientifico presente e la nuova Società italiana per il progresso delle scienze (in Rivista di Scienza, 1907, a. I, v. II):

«Lo studiare le leggi con cui variano gli enti suscettibili di misura, l'idealizzarli, spogliandoli di certe proprietà o attribuendone loro alcune in modo assoluto e lo stabilire una o piu ipotesi elementari che regolino il loro variare simultaneo e complesso; ciò segna il momento in cui veramente si gettano le basi sulle quali potrà costruirsi l'intero edificio analitico. Ed è allora che si vede rifulgere tutta la potenza dei metodi, che la matematica largamente pone a disposizione di chi sa usarli [...] Plasmare dunque concetti in modo da poter introdurre la misura; misurare quindi; dedurre poi delle leggi; risalire da esse ad ipotesi; dedurre da queste mercé l'analisi, una scienza di enti ideali, si, ma rigorosamente logica; confrontare poscia con la realtà; rigettare o trasformare, man mano che nascono contraddizioni fra i risultati del calcolo ed il mondo reale, le ipotesi fondamentali che han già servito; e giungere cosi a divinare fatti ed analogie nuove, o dallo stato presente arrivare ad argomentare quale fu il passato e che cosa sarà l'avvenire: ecco, nei piu brevi termini possibili, riassunto il nascere e l'evolversi di una scienza avente carattere matematico».

Questo è quanto ci suggerisce la definizione di Malinvaud: ben piu di quanto ci offrono gli stereotipi dei diagrammi di flusso. Infatti, le considerazioni precedenti, per quanto approssimative, suggeriscono con quanta cura e delicatezza vada specificata la costruzione di un modello matematico in funzione dello specifico fenomeno in esame.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 77

                .
                N(t) = kN(t)

Questa è una proprietà comunemente ammessa per i sistemi meccanici macroscopici; talmente riconosciuta che, se non la si credesse fermamente valida, nessuno avrebbe mai osato spedire un solo razzo e tanto meno un uomo sulla luna. Infatti, noi siamo certi che le leggi del moto prevedono in modo inequivoco la posizione e la velocità di un corpo in moto in un qualsiasi istante successivo a quello in cui iniziamo l'osservazione. Ma che dire di un sistema biologico? L'idea che un sistema biologico sia rigidamente deterministico è lungi dall'essere accettata senza discussioni. Non parliamo poi dei sistemi sociali ed economici in cui le scelte dei singoli soggetti distruggono ogni tentativo di rappresentazione deterministica, e impongono di ammettere l'intervento di aspetti imprevedibili che, quantomeno, potrebbero essere pensati come eventi casuali. Descrivere tali processi come rigorosamente deterministici è una forzatura che può essere accettabile soltanto se è sostenuta da forti e valide ragioni e soprattutto da un buon accordo con i dati reali.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 80

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 116

In questo capitolo abbiamo usato piu volte il termine modello matematico. Il lettore si sarà reso conto dagli esempi che abbiamo fatto, dalla discussione della definizione di questo concetto, nonché che dalle considerazioni appena sviluppate che la prassi della modellizzazione non ha niente a che fare con le concezioni scientifiche di un Galileo o di un Newton.

Per convincerne il lettore desideriamo ritornare ancora una volta sulla caratterizzazione data da von Neumann della modellizzazione matematica (o, se si vuole, su quella quasi equivalente di Malinvaud). Ricordiamo che, secondo von Neumann, la scienza non pretende piu di spiegare, di scoprire l'essenza intima dei fenomeni. Essa non è alla ricerca della verità, non vuol essere specchio dei fenomeni. Ma si limita a fornirne delle immagini matematiche - i modelli - che vanno valutate soltanto sulla base di criteri di efficacia, ovvero rispetto al fatto che "funzionino" piu o meno bene, e quindi permettano di prevedere certi effetti o almeno di farsi certe idee qualitative e sia pure parziali dei fatti. Non importa quanto vere, purché

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 118

Per circa tre secoli (fin da Kepler e Galileo) questo è stato il credo della scienza, in particolare del suo nucleo eccellente, la fisica-matematica. Esso ha ruotato attorno all'idea di Galileo secondo cui il libro della natura è stato scritto da Dio in lingua matematica. E se la natura è strutturata matematicamente, la matematica non è un mero strumento descrittivo - un arsenale di modelli - ma contiene in sé l'intima essenza dei fenomeni.

Abbiamo detto - e constatato, nelle parole di von Neumann - che questa visione è stata abbandonata nel nostro secolo. Ma con quanta riluttanza! Basti pensare che ancora Einstein affermava che «abbiamo il diritto di essere convinti che la natura è la realizzazione di ciò che può essere immaginato di piu semplice dal punto di vista matematico», o che l'astronomo Jeans dichiarava che il Creatore deve certamente essere matematico. E la ricerca di un complesso di grandi leggi unitarie che spieghino il meccanismo del mondo sembra ancora essere la segreta aspirazione di ogni fisico teorico. Ad ogni modo, malgrado queste nostalgie piú o meno segrete, la scienza contemporanea sempre piu è dedita alla costruzione di modelli, di modelli matematici.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 148

Osserva Arcangelo Rossi:

«Anche ammesso [...] che una logica non monotòna sia formulabile in modo oggettivo in generale [...] potrà essa riuscire a catturare in pieno quella capacità di ricontestualizzazione della mente naturale, in modo da rendere la sua implementazione su dispositivi artificiali risolutiva rispetto all'obbiettivo di simulazione proprio dell'intelligenza artificiale, o anche solo rispetto ad un piú circoscritto obbiettivo di emulazione? C'è da dubitarne, se solo si pensa che il processo di ristrutturazione dei significati iniziali dei termini, che essa comporta come sostituzione ed adattamento innovativo, pur essendo qualcosa di piú creativo della semplice induzione per generalizzazione [...], non esaurisce certamente la capacità di ricontestualizzazione dell'intelligenza naturale. Questa infatti, oltre a modificare in modo innovativo i significati di partenza dei termini, comporta necessariamente al tempo stesso la presa di coscienza dei limiti e della relatività delle stesse acquisizioni provvisoriamente conclusive del processo, in quanto almeno virtualmente soggetto ad ulteriore sviluppo e revisione, nella consapevolezza di una sempre possibile ancor piú radicale contestualizzazione. Una contestualizzazione che non si riduce mai in ogni caso ad un mero fatto semantico di individuazione di nuovi significati linguistici di termini e di proposizioni. Essa infatti fa riferimento alla corporeità in termini di esperienze emozionali ed intuizioni, pur senza ridurvisi essendo almeno parzialmente cosciente della provvisorietà e rivedibilità di qualsiasi ristrutturazione creativa, legata alla fissazione di nuovi significati di termini e proposizioni, e prendendone quindi almeno parzialmente le distanze. Esperienze emozionali ed intuizioni accompagnano in ogni caso quelle individuazioni semantiche come loro vissuto personale, psicologicamente e socialmente connotato in termini di valori come la verità. Questi ultimi saranno però sempre almeno in parte impliciti, e sempre quindi ulteriormente esplicitabili e contestualizzabili, mai totalmente riducibili comunque a significati espliciti, e d'altra parte neppure a quelle stesse esperienze emozionali ed intuizioni che in ogni caso aderiscono strettamente ai significati stessi.» (A. Rossi, Il fantasma dell'intelligenza. Alla ricerca della mente artificiale, Napoli, Edizioni CUEN, 1998, pp. 119-121).

Questa capacità è il fondamento dell'impresa scientifica, che è una creazione della mente umana, nella quale il calcolatore può intervenire solo come un braccio meccanico.

Qual è in realtà il rischio peggiore? La visione dei primi sostenitori della cosiddetta intelligenza artificiale e dei creatori della cibernetica, aveva una sua affascinante grandezza. In quella visione non si negavano né sminuivano le specificità della mente umana e delle sue facoltà, il suo carattere di sistema aperto. Il programma era anzi quello di imitare la mente umana e il suo funzionamento senza trascurare o sottovalutare alcuna difficoltà. Ma da allora vi sono stati tanti insuccessi e il prodigioso sviluppo dell'informatica non ha segnato un solo passo in avanti sulla via della creazione della macchina pensante. E allora forse c'è il rischio che si riaffacci una versione mediocre del meccanicismo e che prevalga la tendenza opposta. Tale tendenza consiste nel considerare il pensiero come l'emanazione di una serie di processi fisico-chimici. Mente umana e macchina sarebbero (per decreto) la stessa cosa, almeno in linea di principio. E la tendenza, magari senza rendersene conto, sarebbe quella di piegare progressivamente il funzionamento della mente umana a quello della macchina, visto che l'operazione inversa non ha successo...

| << |  <  |