TecaLibri: Alfred S. Posamentier: I (favolosi) numeri di Fibonacci

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Introduzione

In una parte remota delle Alpi austriache c'è una miniera di sale, abbandonata da molto tempo, al cui ingresso si trova un cippo con l'iscrizione "anno 1180". Si riferisce all'anno in cui la miniera fu aperta. Chiaramente c'è qualcosa di sbagliato in questa indicazione: gli studiosi hanno stabilito che la prima pubblicazione in cui compaiono i numerali indiani (le nostre comuni cifre) nel mondo occidentale è stata nel 1202. In quell'anno Leonardo da Pisa (Leonardo Pisano), meglio noto come Fibonacci, pubblicò il suo fondamentale Liber Abaci, ovvero "libro del calcolo". Il primo capitolo si apriva in questo modo:

Le nove cifre indiane sono: 9 8 7 6 5 4 3 2 1.

Con queste nove cifre, e con il segno 0, che gli Arabi chiamano zefiro, si scrive qualsiasi numero.

Questa è la prima citazione formale del nostro sistema di numerazione in base dieci nel mondo occidentale. Si ipotizza, comunque, che gli Arabi avessero già introdotto questi numerali in modo informale e localmente nella Spagna della seconda metà del decimo secolo.

A differenza di grandi ingegni del passato, la cui fama oggi è legata quasi esclusivamente a una sola opera, come Georges Bizet (1838-1875) per la Carmen, Engelbert Humperdinck (1854-1921) per Hänsel e Gretel o J. D. Salinger (1919-2010) per Il giovane Holden , non bisogna pensare che Fibonacci sia noto solo per la famosa successione numerica che porta il suo nome. È stato uno dei matematici più influenti nella cultura occidentale e senza alcun dubbio la mente matematica più acuta del suo tempo. Tuttavia è stata questa successione numerica, che deriva da un problema sulle generazioni dei conigli, che lo ha reso famoso nel mondo odierno.

Fibonacci era un matematico serio, che aveva appreso la matematica in gioventù a Bugia, sulla Costa dei Barbari in Africa, una città che era stata fondata dai mercanti pisani. Viaggiò molto per i suoi traffici per tutto il Medio Oriente ed ebbe modo di incontrare molti matematici, con cui entrò in corrispondenza. Conosceva bene i metodi di Euclide (ca. 300 a.C.) e usò le sue conoscenze per diffondere in Europa la matematica in una forma utilizzabile nella vita pratica.

Fra i suoi contributi vi sono l'introduzione di un sistema di numerazione molto pratico, algoritmi di calcolo e metodi algebrici e una nuova pratica delle frazioni. Le scuole della Toscana iniziarono presto a insegnare le forme di calcolo di Fibonacci, abbandonando l'uso dell'abaco, che comportava il conteggio di palline su una corda o un'asta e poi la registrazione dei risultati con i numerali romani. La disciplina matematica ne ebbe un forte impulso, poiché con i vecchi simboli, difficili da maneggiare, era quasi impossibile formulare degli algoritmi. Attraverso il suo libro rivoluzionario e altre pubblicazioni successive, contribuì a cambiamenti drastici negli usi europei e nella comprensione della matematica.

Purtroppo, la fama di Fibonacci oggi non si estende a tutte queste importanti innovazioni. Fra i problemi matematici che propone nel capitolo 12 del suo Liber Abaci, vi è quello sulla riproduzione dei conigli. Anche se la formulazione è un po' contorta, i risultati hanno aperto la strada a una gran quantità di idee monumentali, il che ne ha determinato la fama odierna. Il problema, che è presentato a pagina 27 (Figura 1.1), dà il numero dei conigli, mese dopo mese, nella forma della successione di numeri: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ..., che oggi chiamiamo "numeri di Fibonacci". A prima vista, ci si può chiedere che cosa renda così speciale questa successione. Un rapido esame ci fa capire che la successione può continuare all'infinito, poiché comincia con due 1 e continua poi con termini che sono ogni volta la somma dei due precedenti (cioè 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5 e così via). Nulla di particolarmente sconvolgente. Però, come vedremo, non esistono in tutta la matematica altri numeri così onnipresenti quanto i numeri di Fibonacci: compaiono in geometria, in algebra, nella teoria dei numeri e in molti altri campi della matematica.

Ma, cosa ancor più spettacolare, compaiono in natura: per esempio, il numero delle spirali di brattee su una pigna è sempre un numero di Fibonacci e, analogamente, il numero delle spirali di brattee su un ananas è un numero di Fibonacci. La presenza in natura sembra senza limiti: si trovano i numeri di Fibonacci in rapporto alla disposizione dei rami in varie specie di alberi, come nel numero degli antenati in ogni generazione del bombo sul suo albero di famiglia. Praticamente non c'è fine alle situazioni in cui quei numeri compaiono.

In queste pagine esploreremo molte loro manifestazioni, così che siate motivati a trovarne altri esempi in natura. Questo libro presenterà anche una semplice, ma illuminante discussione della natura particolare di questi numeri. Le loro relazioni con altri aspetti della matematica, in apparenza del tutto differenti, aprirà la porta ad applicazioni in una serie di altri campi e di altri settori molto lontani, fino al mercato azionario.

Abbiamo voluto scrivere un libro che fungesse da introduzione a questi numeri favolosi. Presenteremo lo sviluppo dei numeri di Fibonacci, una specie di storia, si potrebbe dire. Poi indagheremo i molti "avvistamenti" di questi numeri nei diversi campi. Per esempio, in geometria esploreremo la loro relazione con il più elegante dei rapporti, la "sezione aurea". Qui i numeri di Fibonacci, presi come quozienti in coppie consecutive, approssimano la sezione aurea:

Φ = 1,6180339887498948482045868343656...

Quanto più grandi sono i numeri di Fibonacci, tanto meglio il loro quoziente approssima la sezione aurea.

Consideriamo, per esempio, il quoziente della coppia di numeri di Fibonacci consecutivi, relativamente piccoli:

 13
---- = 1,625
  8

Poi consideriamo il quoziente di una coppia di numeri di Fibonacci consecutivi un po' più grandi:

 55         ________________
---- = 1,6176470588235294117
 34

e il quoziente di una coppia ancora più grande:

 144      ____________________________________________
----- = 1,61797752808988764044943820224719101123595505
  89

Si noti come questi quozienti sembrino "circondare" il valore effettivo della sezione aurea, Φ. Se prendiamo coppie molto più grandi di numeri consecutivi di Fibonacci, il loro quoziente si avvicina sempre di più al valore effettivo di Φ. Per esempio,

 4181
------ = 1,61803405572755417956634674923...
 2584

 165580141
----------- = 1,618033988749894890909100681...
 102334155

Confrontare quest'ultimo quoziente con il valore della sezione aurea:

Φ = 1,6180339887498948482045868343656...

Parleremo anche della natura e delle meraviglie della stessa sezione aurea. La sua presenza nell'architettura e nell'arte è tutt'altro che una coincidenza. Se disegnate un rettangolo che racchiuda la vista frontale del Partenone di Atene, avrete un rettangolo aureo — un rettangolo cioè in cui il rapporto fra base e altezza è la sezione aurea. Molti artisti hanno utilizzato il rettangolo aureo nelle loro opere: nel dipinto Adamo ed Eva del grande pittore medievale Albrecht Dürer (1471-1528), per esempio, i personaggi sono racchiusi in un rettangolo aureo.

I numeri di Fibonacci, però, non sono stati veramente apprezzati, e non hanno avuto questo nome, fino a che non furono studiati, nella seconda metà dell'Ottocento, dal matematico francese Edouard Lucas (1842-1891). Lucas si chiese che cosa sarebbe successo se la sequenza fosse iniziata con 1 e 3, anziché con una coppia di 1. Studiò la nuova successione (con la medesima regola di addizione) e poi la confrontò con la successione di Fibonacci. I numeri di Lucas, che sono 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ..., sono in relazione con i numeri di Fibonacci: esploreremo più avanti anche questa relazione.

Praticamente non c'è fine all'elenco delle situazioni in cui compaiono i numeri di Fibonacci e delle loro applicazioni. Presenteremo alcune ricreazioni matematiche, e anche proprietà più serie di questi numeri – e tutte possono affascinare chi è solo un curioso tanto quanto chi già sa di matematica. Rimarrete davvero stupiti da questi numeri stupendi e con tutta probabilità continuerete coscientemente a cercare di avvistarli. Speriamo che il libro possa interessare lettori di ogni tipo, ma abbiamo sempre pensato soprattutto al lettore generico. Per chi ha conoscenze matematiche più avanzate, però, abbiamo scritto un'appendice con le dimostrazioni di quanto è affermato in tutto il libro. Il nostro obiettivo è stato mostrare la potenza e la bellezza della matematica a tutti.

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1. I numeri di Fibonacci e la loro storia

Alla fine del tredicesimo secolo, l'Europa cominciò a risvegliarsi dal lungo sonno del medioevo e a vivere le prime deboli luci del Rinascimento a venire. La nebbia cominciò ad alzarsi lentamente mentre le forze del cambiamento spingevano studiosi, crociati, artisti e mercanti a fare i loro primi passi verso il futuro. Questi primi movimenti furono particolarmente evidenti nelle grandi città commerciali e mercantili dell'Italia. Alla fine del secolo, Marco Polo (1254-1324) aveva seguito già la Via della Seta per raggiungere la Cina, Giotto di Bondone (1266-1337) aveva cambiato la storia della pittura e l'aveva liberata dalle convenzioni bizantine e il matematico Leonardo Pisano, meglio noto come Fibonacci, aveva cambiato per sempre i metodi di calcolo dell'Occidente, il che rese più agevoli i cambi di valuta e i commerci. Fibonacci poi ha presentato ai matematici sfide che ancora non sono state risolte. La Fibonacci Association, fondata nel 1963, è un tributo al maestro e ai suoi imperituri contributi.

Leonardo Pisano o Fibonacci – nome derivato dal latino filius Bonacci, ovvero "figlio di Bonacci", come tramanda la storia, ma più probabilmente derivato da de filiis Bonacci, ovvero "della famiglia Bonacci", nacque a Pisa intorno al 1175, poco dopo l'inizio della costruzione della famosa Torre. Suo padre si chiamava Guilielmo. Erano tempi turbolenti, in Europa. Erano i tempi delle crociate e il Sacro Romano Impero era in lotta con il papato. Le città di Pisa, Genova, Venezia e Amalfi, anche se spesso in guerra fra loro, erano repubbliche marinare che battevano rotte commerciali in tutti i paesi del Mediterraneo e anche oltre. Pisa aveva una lunga tradizione commerciale che risaliva ai tempi dei Romani e anche più addietro, poiché era stata porto d'elezione dei mercanti greci, e aveva stabilito da tempo avamposti commerciali fra le sue colonie e lungo le sue rotte commerciali.

Nel 1192 Guilielmo Bonacci divenne contabile nella dogana della Repubblica di Pisa, che aveva sede nella colonia pisana di Bugia (poi Bougie, oggi Behaia, Algeria) sulla Costa dei Barbari. Poco dopo il suo arrivo chiamò con sé il figlio Leonardo, perché potesse apprendere le arti del calcolo e diventare mercante. Si trattava di una conoscenza importante, perché ogni repubblica aveva la propria valuta e i commercianti dovevano essere in grado di calcolare le somme loro dovute. Questo significava dover convertire una valuta nell'altra, ogni giorno. A Bugia Fibonacci fece la prima conoscenza delle "nove cifre indiane", come chiamava i numerali indo-arabi e con "il segno 0 che gli arabi chiamano zefiro". Racconta di come rimase affascinato dai metodi di calcolo con questi numerali nell'unica fonte che ci è giunta sulla sua via, il prologo al più famoso dei suoi scritti, il Liber Abaci. Durante quel periodo passato lontano da Pisa, fu istruito da un insegnante musulmano, che lo introdusse a un libro sull'algebra intitolato Hisâb al-jabr w'al-mugabalah del persiano al-Khowarizmi (ca. 780 - ca. 850).

Fibonacci compì molti viaggi in Egitto, Siria, Greci, Sicilia e Provenza e in tutti questi luoghi non solo si occupava dei suoi affari ma cercava di incontrare i matematici per apprendere i loro modi di fare matematica. Qualche volta si riferiva a se stesso con il nome di "Bigollo", che può significare "buono a nulla" o, più positivamente, "viaggiatore". Può darsi che il doppio significato gli piacesse. Quando tornò a Pisa, verso la fine del secolo, cominciò a scrivere dei metodi di calcolo con le cifre indiane per le applicazioni commerciali nel Liber Abaci. Il testo è pieno di problemi algebrici e di quei problemi "del mondo reale" che richiedono strumenti matematici più astratti. Fibonacci voleva diffondere le nuove tecniche nel suo paese.

Non dimenticate che a quel tempo non esistevano le macchine da stampa, perciò i libri dovevano essere scritti a mano e, se se ne voleva fare una copia, anche quella doveva essere trascritta a mano. Perciò è una fortuna che ci restino copie del Liber Abaci, completato nel 1202 e poi rivisto nel 1228. Fra gli altri testi di Fibonacci vi è Practica geometriae (1220), un libro che tratta di geometria e trigonometria con un rigore paragonabile a quello dell'opera di Euclide, e con idee presentate sotto forma di dimostrazione e anche in forma numerica, mediante il suo comodo sistema di numerazione. Qui Fibonacci usa metodi algebrici per risolvere problemi geometrici e viceversa. Nel 1225 scrisse il Flos (sui fiori) e il Liber quadratorum ("Libro dei quadrati"), che dimostra le sue grandi qualità di matematico, uno dei più grandi nella teoria dei numeri. Fibonacci probabilmente scrisse anche altre opere, che sono andate perdute. Perduto è il libro sull'aritmetica commerciale, Di minor guisa, così come il commentario sul Libro X degli Elementi di Euclide, che conteneva una trattazione numerica degli irrazionali, mentre quella euclidea era geometrica.

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Pagina 24

Il Liber Abaci

Fibonacci scrisse vari libri, ma qui ci concentreremo sul Liber Abaci, un testo molto ampio e pieno di problemi molto interessanti. Basato sulle conoscenze di aritmetica e algebra che Fibonacci aveva accumulato nel corso dei suoi viaggi, fu ampiamente copiato e imitato e, come abbiamo già detto, introdusse in Europa il sistema di numerazione posizionale decimale indo-arabo e l'uso delle cifre arabe. Fu ampiamente utilizzato per circa due secoli: un vero best-seller!

Il LiberAbaci comincia così:

Le nove cifre indiane sono: 9 8 7 6 5 4 3 2 1.

Con queste nove cifre e con il segno O, che gli arabi chiamano zefiro, si può scrivere qualsiasi numero, come è dimostrato sotto. Un numero è una somma di unità e con la loro addizione aumenta passo dopo passo senza fine. Prima si compongono questi numeri, che vanno da uno a dieci. In secondo luogo, dalle decine sono fatti quei numeri che vanno da dieci fino a cento. In terzo luogo, dalle centinaia sono fatti quei numeri che vanno da cento fino a mille ... e così con una successione infinita di passi si costruisce qualsiasi numero unendo i numeri precedenti. Il primo posto nella scrittura dei numeri è a destra. Il secondo segue il primo alla sua sinistra.

Nonostante la comodità, queste cifre non furono largamente accettate dai mercanti, che diffidavano di chi sapeva usarle: avevano paura di essere imbrogliati. Possiamo tranquillamente dire che perché il nuovo sistema di numerazione si diffondesse ci vollero tre secoli, come per il completamento della Torre di Pisa.

Cosa interessante, il Liber Abaci contiene anche delle equazioni lineari simultanee. Molti dei problemi considerati da Fibonacci, però, erano simili a quelli che comparivano nelle fonti arabe. Questo non toglie valore al suo libro, poiché è la raccolta delle soluzioni a quei problemi che costituisce il grande contributo allo sviluppo della matematica. In effetti, parecchi termini matematici, che oggi sono di uso comune, furono introdotti per la prima volta nel Liber Abaci. Fibonacci parlava di factus ex multiplicatione, e da qui deriva il nostro uso di termini come "fattori di un numero" o "fattori di una moltiplicazione". Altri esempi di parole la cui introduzione nel vocabolario della matematica sembra derivare da questo libro sono "numeratore" e "denominatore".

Il secondo libro del Liber Abaci comprende un'ampia serie di problemi indirizzati ai mercanti, relativi al prezzo delle merci, alla conversione fra le varie monete in uso nei paesi del Mediterraneo, al calcolo dei profitti nelle transazioni, oltre a problemi che probabilmente arrivavano dalla Cina.

Fibonacci sapeva che i mercanti cercavano di aggirare la proibizione della Chiesa di applicare interessi ai prestiti. Perciò trovò un metodo per nascondere l'interesse in una cifra iniziale superiore al prestito effettivo, e basò i suoi calcoli sull'interesse composto.

La terza sezione del libro contiene molti problemi, come questi:

Un cane la cui velocità aumenta aritmeticamente insegue una lepre la cui velocità aumenta altrettanto aritmeticamente. Quanto percorreranno prima che il cane catturi la lepre?

Un ragno sale ogni giorno su una parete per un certo numero di piedi e ogni notte scivola indietro di un certo numero di piedi. Quanti giorni gli ci vorranno per salire fino in cima alla parete?

Calcolare la quantità di denaro che due persone possiedono dopo che una certa quantità ha cambiato di mano e sono dati gli incrementi e decrementi proporzionali.

Ci sono anche problemi sui numeri perfetti, problemi che coinvolgono il teorema cinese dei resti e problemi che riguardano la somma di serie aritmetiche e geometriche.

Nella quarta sezione Fibonacci tratta numeri come √10 sia con approssimazioni razionali che con costruzioni geometriche.

Vari problemi classici, oggi visti come matematica ricreativa, sono comparsi nel mondo occidentale grazie al Liber Abaci, ma il motivo principale della loro introduzione era sempre l'interesse per la tecnica risolutiva. Questo libro ci interessa non solo perché è stato il primo pubblicato nella cultura occidentale a usare le cifre arabe al posto delle scomode cifre romane, né perché Fibonacci è stato il primo a usare la linea orizzontale di frazione, ma perché nel suo capitolo 12 compare un problema che ha reso Fibonacci famoso per i posteri: il problema dei conigli.

Il problema dei conigli

La Figura 1.1 ne presenta la formulazione (con le note a margine).

___________________________________________________________________________

Inizio 1        Un uomo ha una coppia di conigli in un luogo chiuso e si
                vuol sapere quanti ce ne saranno alla fine di un anno,
                sapendo che è nella loro natura in un mese generare
                un'altra coppia, e che dopo due mesi anche i nuovi conigli
                possono generare. Poiché la prima coppia genera nel primo
                mese, si raddoppierà: dopo un mese ci saranno due coppie.
Primo 2         Una di queste, la prima, genera anche nel secondo mese, e
                perciò nel secondo mese ci saranno 3 coppie; di queste nel
Secondo 3       mese successivo saranno in grado di figliare due, e nel
Terzo 5         terzo mese nascono due coppie di conigli e quindi ci sono 5
                coppie alla fine del mese; nel mese successivo 3 coppie
Quarto 8        possono figliare e nel quarto mese ci sono quindi 8 coppie,
                di cui 5 possono generare altre 5 coppie; queste si
Quinto 13       aggiungono alle 8, il che fa 13 coppie nel quinto mese, ma
                altre 8 coppie sono incinte e quindi al sesto mese ci sono
Sesto 21        21 coppie; a queste vanno aggiunte le 13 coppie che nascono
Settimo 34      nel settimo mese; ci saranno quindi 34 coppie in questo
                mese; alle quali vanno aggiunte le 21 coppie che nascono
Ottavo 55       nell'ottavomese; in questo mese ci saranno 55 coppie; a
                queste si aggiungeranno le 34 che nascono nel nono mese,
Nono 89         così che in questo mese ce ne saranno 89 coppie; a queste
                si aggiungono ancora le 55 coppie che nascono nel decimo
Decimo 144      mese; ci saranno 144 coppie in questo mese; a queste si
                aggiungono ancora le 89 coppie che nascono nell'undicesimo
Undicesimo 233  mese; ci saranno 233 coppie in questo mese. A queste si
                aggiungono ancora le 144 coppie che nascono nell'ultimo
                mese; ci saranno 377 coppie e questo è il numero totale
Dodicesimo 377 delle coppie che derivano dalla coppia originale alla fine
                dell'anno.

                Si può vedere nel margine come abbiamo operato, cioè che
                abbiamo aggiunto il primo numero al secondo, cioè l'1 al 2,
                e poi il secondo al terzo e il terzo al quarto e il quarto
                al quinto, e così via fino a che abbiamo sommato il decimo
                all'undicesimo, cioè 144 a 233, e abbiamo trovato la somma
                dei conigli, cioè 377, e in questo modo si può procedere
                per trovare il numero dei conigli dopo un numero qualsiasi
                di mesi.
___________________________________________________________________________

Figura 1.1.

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Un riepilogo delle proprietà

Ecco un riepilogo delle relazioni che abbiamo trovato fra i numeri di Fibonacci (e di Lucas). Qui n è sempre un numero naturale qualsiasi, maggiore o uguale a 1.

0. Definizione dei numeri di Fibonacci Fn e di Lucas Ln:

F(1) = 1 ; F(2) = 1 ; F(n+2) = F(n) + F(n+1)

L(1) = 1 ; L(2) = 1 ; L(n+2) = L(n) + L(n+1)

1. La somma di dieci numeri di Fibonacci consecutivi qualsiasi è divisibile per 11:

11 | (F(n)+F(n+1)+F(n+2)+ ... +F(n+8)+F(n+9))

2. Numeri di Fibonacci consecutivi sono primi: il loro massimo comun denominatore, cioè, è 1.

3. I numeri di Fibonacci che hanno come indice un numero composito (fatta eccezione per il quarto) sono numeri compositi.

Detto in altre parole, se n non è primo, allora F(n) non è primo (con n ≠ 4 , perché F(4) = 3, che è un numero primo).

4. La somma dei primi n numeri di Fibonacci è uguale al numero di Fibonacci che si trova a due posizioni di distanza nella successione, diminuito di 1:

Σ(i=1,n) F(i) = F(n+2) — 1

[...]

15. La somma dei quadrati dei numeri di Lucas è uguale al prodotto dell'ultimo numero considerato e del successivo nella successione di Lucas, il tutto diminuito di 2 unità:

Σ(i=1,n) L(i)^2 = L(n) L(n+1) — 2

Anche se ci concentreremo prevalentemente sui numeri che portano il suo nome, non bisogna pensare a Fibonacci come un matematico noto solo per questa successione numerica, oggi così famosa: è stato, invece, uno dei più grandi matematici della cultura occidentale. Non solo ci ha dato gli strumenti per fare matematica in modo molto efficiente (cioè il sistema di numerazione in precedenza conosciuto in gran parte del mondo orientale), ma ha anche introdotto nel mondo europeo un procedimento di pensiero che ha aperto la strada per molti risultati matematici futuri.

Notate come i numeri di Fibonacci, nonostante le loro origini stiano in un problema molto semplice sulla proliferazione dei conigli, abbiano proprietà che vanno molto oltre quello che ci si aspetterebbe. Le relazioni fra i membri di questa successione, nel regno dei numeri, sono davvero stupefacenti. Questo fenomeno, insieme con le infinite applicazioni di questi numeri, hanno affascinato i matematici per generazioni.

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2. I numeri di Fibonacci in natura

I numeri di Fibonacci, come abbiamo visto rapidamente, hanno proprietà stupefacenti. Continueremo ora a esplorare tutta la varietà di applicazioni e di relazioni di questi numeri. Torniamo qui alla manifestazione originale dei numeri di Fibonacci: in natura. Li abbiamo visti evolvere nella progenie dei conigli; vediamo se ci sono altri esseri viventi la cui generazione può dare un'applicazione dei numeri di Fibonacci.

L'albero genealogico del fuco

Ci sono oltre trenta mila specie di api, ma la più nota è sicuramente l'ape da miele, che vive in un alveare e ha una famiglia. Ritroveremo i nostri numeri di Fibonacci proprio nell'albero genealogico del fuco, il maschio dell'ape. Dobbiamo però prima capire un po' le sue particolarità. In un alveare vivono tre tipi di api: il maschio (chiamato fuco), che non lavora; le femmine (le operaie) che svolgono tutto il lavoro; e l'ape regina, che produce le uova da cui nasceranno altre api. Un maschio nasce da un uovo non fecondato, il che significa che ha solo una madre e non un padre (ma che ha un nonno), mentre una femmina nasce da un uovo fecondato, quindi avrà una madre (l'ape regina) e un padre (uno dei fuchi). La femmina finisce per essere un'ape operaia, a meno che non abbia assunto un po' di quella "pappa reale" che la fa diventare una regina e la destina a insediare una nuova colonia di api da qualche altra parte.

Nella tabella (Figura 2.1, dove il simbolo ♂ rappresenta il maschio e ♀ rappresenta la femmina) iniziamo con il maschio di cui vogliamo rintracciare gli antenati. Come abbiamo detto, deve arrivare da un uovo non fecondato, perciò per la sua generazione è stata necessaria solo una femmina. La femmina che ha prodotto l'uovo, però, deve aver avuto sia un padre sia una madre, perciò il terzo livello dell'albero genealogico ha sia un maschio che una femmina. Poi si continua con questo schema: l'antenato immediato di un maschio è una singola femminale, una femmina invece ha come antenati immediati sia un maschio che una femmina. Sulla destra abbiamo riepilogato il numero delle api a ogni livello. Seguendo le colonne sulla destra, troverete la successione di Fibonacci, che ormai dovrebbe esservi familiare. Sorpresi? Ebbene, dovreste esserlo. La comparsa dei numeri di Fibonacci qui è chiaramente sorprendente. Anche la biologia è molto diversa rispetto allo schema riproduttivo dei conigli, da cui deriva la prima identificazione della successione.

Se Fibonacci avesse conosciuto la relazione che risulta dall'albero genealogico del fuco, forse avrebe potuto usarla al posto dell'esempio dei conigli, che alcuni considerano ben poco realistico, nel suo Liber Abaci. Il problema dei conigli, però, non è così lontano dalla realtà. Quando raggiungono l'età di tre mesi, i conigli possono generare e riprodursi ogni mese.

La riproduzione dei conigli e l'albero genealogico del fuco sono descritti dalla formula ricorsiva F(n+2) = F(n) + F(n+1), che, come abbiamo visto, significa che ogni numero nella successione è uguale alla somma dei due che lo precedono.

Se allarghiamo il nostro tema da "i numeri di Fibonacci in natura" a "i numeri di Fibonacci nella società", possiamo usare la diffusione delle dicerie come esempio: possiamo creare un modello per la diffusione di una diceria, che genererà i numeri di Fibonacci.

Il messaggio (cioè la diceria) viene passato a una sola persona alla volta. Più precisamente:

1. Se alla persona x arriva la diceria, la comunicherà a qualcun altro solo il giorno successo.

2. La persona x comunica la diceria solo a una persona al giorno.

3. Dopo che la persona x ha comunicato la diceria due volte, non è più interessata all'argomento, perciò non la diffonderà ulteriormente.

Un diagramma (Figura 2.2) di questo flusso di eventi mostrerà ancora la successione di Fibonacci.

Troviamo che p(n) = F(n-2) – 1.

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Molto è stato scritto sulla disposizione di foglie, petali e altri elementi delle piante, ma i primi lavori erano di natura esclusivamente descrittiva: non cercavano di trovare collegamenti fra numeri e crescita delle piante, consideravano solo la geometria delle configurazioni. L'idea più costruttiva è venuta da una pubblicazione recente di due fisico-matematici francesi, Stéphane Douady e Yves Couder, i quali hanno sviluppato una teoria della dinamica di crescita delle piante, attraverso modelli al calcolatore ed esperimenti di laboratorio, in riferimento proprio alla successione di Fibonacci. Douady e Couder hanno trovato anche una spiegazione dinamica per l'angolo aureo (137,5°): hanno ottenuto questo angolo come conseguenza di semplici regole di dinamica, senza doverlo postulare, come invece hanno fatto molti dei loro predecessori, che lo vedevano semplicemente come conseguenza di una disposizione per risparmiare spazio. La configurazione a spirale non richiede una spiegazione botanica speciale.

Infine, possiamo continuare la nostra ricerca dei numeri di Fibonacci nel corpo umano. Un essere umano ha 1 testa, 2 braccia, 3 articolazioni delle dita, 5 dita su ogni mano — sono tutti numeri di Fibonacci. Ma non basta.

Tutto sommato i numeri di Fibonacci "piccoli" possono essere pure coincidenze, perché in fin dei conti fra gli otto numeri compresi fra 1 e 8 ben cinque sono numeri di Fibonacci. Dunque, è facile incontrarne uno per pura coincidenza. La percentuale dei numeri di Fibonacci in mezzo a tutti gli altri, però, è molto minore, e diventa in effetti molto piccola quando si considerano intervalli numerici più ampi. Se si possono trovare due numeri di Fibonacci grandi in un solo girasole, allora, come è possibile? (Vedi a pagina 58.)

In particolare verso la fine del diciottesimo secolo, molti scienziati erano convinti che la sezione aurea fosse una legge universale, o una legge divina della natura. Ma la sezione aurea, Φ, può essere vista come il limite di una successione i cui elementi sono i rapporti fra numeri di Fibonacci successivi. (Ne parleremo più ampiamente nel Capitolo 4.) Perché mai, dunque, l'uomo, "orgoglio della creazione", non dovrebbe essere stato disegnato secondo i principi della sezione aurea?! E qualcuno lo ha pensato veramente.

Leonardo da Vinci (1452-1519) ha calcolato le proporzioni del corpo umano secondo la sezione aurea Φ (vedi il Capitolo 7). Leonardo ha suddiviso il volto verticalmente in tre parti: fronte, porzione centrale, mento. I chirurghi plastici la dividono ulteriormente in orizzontale in cinque parti, Ancora una volta, entrano in scena due numeri di Fibonacci, 3 e 5.

Il belga Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874), matematico, astronomo e fondatore della statistica sociale, e il tedesco Adolf Zeising (1810-1876), scrittore, critico, autore teatrale, poeta e filosofo, hanno misurato il corpo umano e ne hanno messo in relazione le proporzioni con la sezione aurea, influenzando molto le generazioni successive.

L'architetto francese Le Corbusier (Charles-Edouard Jeanneret, 1887-1965) ipotizzava che le proporzioni del corpo umano si basassero sulla sezione aurea e formulò in questo modo le proporzioni ideali: altezza 182 cm, altezza all'ombelico 113 cm; altezza fino alla punta delle dita, con le braccia sollevate, 226 cm. Il rapporto fra altezza complessiva e altezza all'ombelico è 182/113 = 1,610619469, una buona approssimazione di Φ. Con un'altra misurazione delle stesse caratteristiche ottenne un analogo rapporto di 176 cm/109 cm = 1,6147, un'altra buona approssimazione del rapporto fra due numeri di Fibonacci, 13 e 21, ovvero

 21
---- ≈ 1,615384615
 13

Cercando un po' più lontano (forse un po' troppo lontano!), l'americano Frank A. Lonc ha misurato sessantacinque donne per confermare il lavoro di Leonardo e Zeiseng, determinando il rapporto medio fra l'altezza di una donna e la sua altezza all'ombelico. Ne ha quindi stabilito che le proporzioni ideali sono vicine a 1,618, cioè all'incirca la sezione aurea. T. Antony Davis e Rudolf Altevogt hanno sostenuto che il valore di "un corpo umano di bell'aspetto" in base a Le Corbusier, sia per ragazzi che per ragazze di età simile, è approssimativamente la sezione aurea. Specificamente, prendendo come campione 207 ragazzi di Münster, in Germania, e 252 bambini di Calcutta, in India, hanno derivato il valore 1,615.

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4. I numeri di Fibonacci e la sezione aurea

È venuto il momento di prendere in considerazione la rappresentazione geometrica dei numeri di Fibonacci, la cui bellezza è stata apprezzata in molti campi. Vedremo le relazioni fra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo, che sono state osservate nella sezione aurea, nel rettangolo aureo e nel triangolo aureo, e in altre figure apparentate a queste. È un'escursione geometrica che val la pena di intraprendere.

I rapporti di Fibonacci

Nel capitolo precedente, abbiamo visto i numeri di Fibonacci come successione anziché come numeri singoli. Abbiamo osservato che la successione di Fibonacci è in relazione con altre successioni numeriche molto lontane. Ora considereremo la relazione fra i membri consecutivi della successione, attraverso il loro quoziente. Vedremo che, al crescere dei numeri, il loro quoziente sembra avvicinarsi sempre di più a un numero specifico. Quale?

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7. I numeri di Fibonacci in arte e architettura

La sezione aurea sembra onnipresente, nell'arte e nell'architettura. Sul perché, possiamo solo fare ipotesi. Abbiamo già detto che è stato proclamato il rapporto più bello di tutti i tempi – sia numericamente sia geometricamente. Qui faremo una rapida rassegna delle occasioni in cui fa la sua comparsa in questi due campi, e considereremo le arti visive sia in due che in tre dimensioni.

Nel corso del Rinascimento lo studio delle proporzioni in architettura, scultura e pittura, come dispositivo matematico estetico si basava sull'idea che l'armonia e la bellezza nell'arte potessero essere determinate al meglio mediante particolari numeri, spesso visti in relazione con altri numeri. È così che la sezione aurea è venuta in primo piano. Esiste un numero infinito di articoli e di libri che cercano di dimostrare che grandi opere d'arte e d'architettura sono derivate, in una forma o nell'altra, dal principio della sezione aurea.

La sezione aurea, il cui rapporto è considerato di grande bellezza, era già nota nell'antichità, per esempio dai pitagorici quando costruirono un pentagono e un dodecaedro regolari. Molti architetti, nel corso della storia, intuitivamente o deliberatamente, hanno usato la sezione aurea nei loro schizzi e nei loro piani di costruzione, o per un'intera opera o per definire le proporzioni di parti di un'opera. In particolare, questo orientamento estetico si è manifestato spesso sotto forma di rettangolo aureo. Dato che la sezione aurea, Φ = (√5 + 1) / 2, è un numero irrazionale, gli architetti hanno utilizzato rettangoli con lati di lunghezze il cui rapporto approssimava Φ. E, come sappiamo bene, le più comuni approssimazioni per Φ sono i numeri di Fibonacci. Inoltre, quanto più grandi sono questi numeri, tanto più vicino il rapporto è a Φ.

I numeri di Fibonacci in architettura

Da molto tempo gli architetti hanno usato la sezione aurea, Φ, nei loro disegni, qualche volta sotto forma di rettangolo aureo, altre volte come indicatore di partizione. Per aggirare la difficoltà di usare il numero irrazionale (Φ), i rettangoli aurei che venivano costruiti normalmente avevano come dimensioni numeri di Fibonacci. Il rapporto aureo (un ideale) era ben approssimato, poiché, come sappiamo, il rapporto di numeri di Fibonacci consecutivi approssima la sezione aurea e, più grandi i numeri di Fibonacci, tanto migliore l'approssimazione di Φ.

Forse la più famosa fra le strutture che presentano il rettangolo aureo è il Partenone sull'Acropoli di Atene. Il progetto artistico per la costruzione di questa magnifica struttura è dovuto a Fidia (460-430 a.C.). Fu eretta per ringraziare Pericle (500-539 a.C.) per aver salvato Atene durante le guerre persiane (447-432 a.C.). Era destinata a ospitare la statua della dea Atena e si pensa che l'attuale designazione della sezione aurea con la lettera Φ sia derivata dalla prima lettera del nome di Fidia (ΦΙΔΙΑΣ, in greco). Dobbiamo sottolineae, a questo punto, che non abbiamo alcuna prova che Fidia conoscesse la sezione aurea; possiamo ipotizzarlo solo in base alla forma della struttura. Come si può vedere nella Figura 7.1, il Partenone si inscrive perfettamente in un rettangolo aureo. Inoltre, nella figura, si possono notare vari altri rettangoli aurei generati dalla struttura dell'edificio.

Se si misurano i vari elementi al di sopra delle colonne, la sezione aurea continua a spuntare. La Figura 7.2 mostra le varie situazioni in cui, nel Partenone, si presenta. In che misura gli antichi architetti usassero consapevolmente il rettangolo aureo è ancora in gran parte un mistero. Qualcuno pensa che noi moderni cerchiamo solo di sovraimporre un rettangolo aureo su una struttura specifica — anche se nessuno può negarne la presenza.

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L'artista italiano Mario Merz (1925-2003) ha elevato un monumento ai numeri di Fibonacci con parecchie opere d'arte. Merz è stato il decano dell'arte povera, che si distingue per la povertà dei materiali e per i gesti semplici che utilizza, risposta europea all'arte minimalista americana. Per Merz i numeri di Fibonacci sono stati un faro e una fonte di ispirazione.

Fibonacci Napoli (1971) e Animali da 1 a 55 (1997-2000) sono le più conosciute fra le sue opere, ma come esempio del suo lavoro, in bianco e nero, il suo disegno Ivy può illustrare meglio graficamente il suo rispetto per la semplice eleganza dei numeri di Fibonacci (Figura 7.23).

"I numeri di Fibonacci si espandono rapidamente... I numeri hanno il potere di abbattere i muri." Così Mario Merz descriveva la particolarità e gli effetti di questo sistema storico di progettazione.

Merz ha assemblato, su otto piastre di marmo, la sua scultura Igloo Fibonacci (1970), con tubi di ottone e cardini d'acciaio; sulla struttura ha poi montato dei pezzi di nastro adesivo con dei numeri (bianchi). Gli otto bracci dell'igloo sono collegati fra loro con giunti posti a distanze che riflettono le proporzioni di Fibonacci (Figura 7.24).

Ovviamente Merz era molto affascinato dai numeri di Fibonacci, il che è ulteriormente documentato dal fatto che li ha usati per decorare la sala principale della stazione ferroviaria centrale di Zurigo, in Svizzera. Ha usato i numeri di Fibonacci anche per decorare ciminiere: la ciminiera di 52 m del Center for International Light Art a Unna, in Germania, nel 2001 (Figura 7.25) e una ciminiera a Turku, in Finlandia, nel 1994 (Figura 7.26).

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I numeri di Fibonacci e la pittura

Leonardo da Vinci (1452-1519) illustrò il De divina proportione del frate francescano Fra Luca Pacioli (ca. 1445-1517) con uno studio anatomico dell'uomo "vitruviano". Il disegno andava a sostegno della discussione condotta da Pacioli sull'architetto romano Vitruvio (ca. 84-27 a.C.), i cui documenti sull'architettura fanno pensare che credesse che le proporzioni del corpo umano sono la base dell'architettura. Il rapporto fra il lato del quadrato e il raggio del cerchio in questa famosa immagine (Figura 7.33) corrisponde alla sezione aurea con una deviazione solo dell'1,7 per cento.

Anche il grande pittore tedesco Albrecht Dürer (1471-1528) utilizzò ampiamente il lavoro di Vitruvio, quando scrisse i suoi Quattro libri sulle proporzioni umane nel 1523. Qui perfezionò le ricerche precedenti e le espresse sotto forma di sistema di proporzioni, dove l'unità di misura è il corpo umano e le sue parti sono espresse come frazioni.

Nei libri di Dürer sulla geometria, la costruzione di fortificazioni e le proporzioni umane, sostenne tutte le sue idee con argomentazioni teoriche (matematiche), non semplicemente estetiche. Di fatto, i suoi lavori di geometria descrittiva hanno influenzato alcuni fra i maggiori pensatori del Rinascimento, fra i quali anche Johannes Kepler (1571-1630) e Galileo Galilei (1564-1642).

Nel suo famoso autoritratto (ca. 1500), Dürer si raffigurò con una capigliatura ondulata, i cui contorni creano un triangolo equilatero. Lo si può vedere nella Figura 7.34, dove lo stesso Dürer ha sovrapposto il triangolo e parecchie altre linee guida al suo autoritratto. La base del triangolo equilatero divide il quadro, nel senso dell'altezza, secondo la sezione aurea; e anche il mento divide il quadro in altezza secondo la sezione aurea (nella direzione opposta).

Non sappiamo perché Dürer non abbia mai collegato la sezione aurea al suo disegno del pentagono regolare, visto che a ventinove anni aveva già inserito la sezione aurea nel suo autoritratto.

Un altro dipinto famosissimo è La nascita di Venere (Figura 7.35) di Sandro Botticelli (1477). Sir Theodore A. Cook (1867-1928) lo ha analizzato con l'ausilio della sezione aurea. Ha sovrapposto alla figura di Venere una scala numerica, con le prime sette potenze di Φ.

Come prima nel caso delle applicazioni dei numeri di Fibonacci in architettura e scultura, ci troviamo ancora di fronte al problema di stabilire se della sezione aurea o dei numeri di Fibonacci sia stato fatto un uso consapevole o meno. Molti studiosi del diciannovesimo e del ventesimo secolo sono andati alla ricerca di applicazioni della sezione aurea, ma queste applicazioni debbono essere analizzate in modo critico e sensato. Spesso, ci imbattiamo in frazioni che approssimano la sezione aurea e subito siamo portati a pensare che la sezione aurea fosse l'obiettivo vero. Dobbiamo stare attenti a non trarre conclusioni che non siano ben fondate.

Nelle opere degli ultimi secoli si possono trovare moltissimi esempi; proviamo ad analizzarne qui soltanto qualcuno. Cominceremo con quello che è probabilmente il dipinto più famoso in tutto il mondo occidentale, la Gioconda di Leonardo da Vinci (Figura 7.36), dipinta fra il 1503 e il 1506 e conservata oggi al Museo del Louvre a Parigi. Re Francesco I di Francia pagò 15,3 kg d'oro per avere quest'opera. Noi esaminiamo questo capolavoro dal punto di vista della sezione aurea. Innanzitutto, si può tracciare un rettangolo attorno al volto della Gioconda e si scopre che si tratta di un rettangolo aureo. Nella Figura 7.37, potete notare parecchi triangoli: i due più grandi sono triangoli aurei. Inoltre, nella Figura 7.38, si possono osservare vari punti specifici sul corpo della Monna Lisa, che sono coerenti con la sezione aurea. Dal momento che Leonardo ha illustrato il De divina proportione di Luca Pacioli, in cui si parla a lungo della sezione aurea, si può immaginare che si sia lasciato guidare consapevolmente da questo meraviglioso rapporto.

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8. I numeri di Fibonacci e la musica

Dati su Fibonacci in Internet

Possiamo ipotizzare che, dato che state leggendo questo libro, avete già fatto qualche ricerca in Internet sulla successione di Fibonacci e i suoi rapporti con la musica? Alcuni dei siti web che si incontrano sono molto affascinanti, ma quel che si trova spesso è confuso o poco significativo. Purtroppo, la maggior parte delle informazioni che si presentano sul vostro schermo non sono né sensate né accurate. Può darsi che si tratti di testi scritti da qualche autore benintenzionato che pensava ai bambini delle elementari e voleva dar loro qualcosa di facilmente digeribile su Fibonacci e la musica. Beh, queste cose spuntano dovunque, e non ci dicono in generale nulla di significativo su quella relazione. È vero che il violino è un meraviglioso esempio di applicazione della sezione aurea nella produzione di strumenti nell'Italia del diciottesimo secolo, ma le discussioni sulle scale a otto note sono del tutto sbagliate. Le scale diatoniche che tutti conosciamo e apprezziamo hanno sette note, non otto, perché l'ottava è una "ripresa" della prima e continua il movimento della scala nell'ottava successiva. Il fatto poi che i tasti neri sulla tastiera del pianoforte si suddividano in gruppi di due e tre non ha nulla a che vedere con la successione di Fibonacci, perché non si riferiscono ad altro se non ai tasti bianchi che li separano. Una vera tastiera di Fibonacci avrebbe 2, 3, 5 e 8 tasti neri in ogni ottava. Allora sì che potremmo dirne qualcosa!

È fuorviante anche suggerire che certi rapporti di frequenze che risultano piacevoli all'orecchio, come 5:3 (che corrisponde a una sesta maggiore) e 8:5 (una sesta minore) siano in relazione con la successione di Fibonacci, poiché sono solo alcuni dei moltissimi rapporti che contribuiscono alla ricchezza degli intervalli armonici nella musica che conosciamo e amiamo. Che dire della terza maggiore (5:4) e della terza minore (6:5) che sono le fondamenta dell'accordo maggiore su cui è costruita tutta la popular music che avete memorizzato sul vostro iPod? E infine, se ascoltate i brani generati da applicazioni dei numeri di Fibonacci alle altezze e/o al ritmo, troverete musica che magari è interessante al primo ascolto, ma in genere non ne vale un secondo. Dunque, parliamo di applicazioni della successione di Fibonacci che hanno davvero una qualche importanza.

La sezione aurea è stata usata con successo dai compositori soprattutto in due aree del processo compositivo: la prima si riferisce alla collocazione del climax e la seconda si riferisce alla forma. Parliamo prima del climax, perché si tratta di un concetto più facile da affrontare, in particolare se in vita vostra non siete mai stati costretti a prendere lezione di pianoforte.

I Preludi di Chopin

I Preludi di Frederic Chopin (1810-1849) sono uno dei grandi monumenti della letteratura pianistica del diciannovesimo secolo. Il volume contiene ventiquattro miniature musicali che sono fra le cose più straordinarie mai scritte, ciascuna un mondo a sé.

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Indice

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