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Indice

VII   Presentazione

  1   I.  Giochi da Procida

  3   1.  Ferragosto 2006
  7   2.  Un tipo singolare
 10   3.  Cena sub condicione
 14   4.  La signora Camilla
 17   5.  Esperti di mare
 20   6.  Il club delle arzille vecchiette
 23   7.  Le ragazze del lido Vivara
 26   8.  Una cena estiva
 29   9.  Commiato 2008
 32  10.  Il tipo supertecnologico
 36  11.  La signora Ermelinda
 40  12.  La signora delle cascettelle
 44  13.  Sono finite le vacanze

 49  II.  Altri giochi

 51  14.  Affari di matematica
 53  15.  Tra assurdo e matematica

 57  16.  Ex malo bonum
 61  17.  Le tre porte

 65  III. La matematica dei giochi

 67  18.  Il caso
 70  19.  Probabilità
 74  20.  Montecarlo
 77  21.  Lotto
 81  22.  Superenalotto
 85  23.  Mescolamenti
 88  24.  Poker
 91  25.  Roulette
 95  26.  Scacchi
 99  27.  Sudoku

103 Soluzioni

147 Bibliografia



 

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Pagina VIII

Insomma, questo libro vuole essere un'introduzione non convenzionale ad alcune idee della matematica, partendo da ciò che da sempre spinge avanti la ricerca: la curiosità e il piacere della scoperta. Ovviamente è un'introduzione severamente vietata ai matematici!

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Pagina 3

Claudio Bartocci ha curato un bel libro intitolato Racconti matematici e pubblicato da Einaudi. Si tratta di una raccolta di ventisei racconti, i cui autori sono Borges, Asimov, Calvino, Buzzati (incantevole la sua novella I sette messaggeri), Saramago... Nei racconti entrano idee matematiche, numeri transfiniti, geometrie non euclidee, «balenano metafore costruite su concetti tratti dall'algebra o dalla logica». Il filo conduttore dell'antologia di Bartocci è tutto lì: mettere in luce come la matematica abbia affascinato molti grandi narratori, magari per formazione diversi l'uno dall'altro, ma tutti suggestionati dal fascino della regina delle scienze e avvicinatisi a essa solo per curiosare tra le idee. A Ferragosto ne ho parlato sulla spiaggia con alcuni amici. Mi hanno promesso di leggerlo – forse solo per non dispiacermi — a patto però che ne regalassi una copia ciascuno. Ed erano una decina. Ho fatto loro una proposta: domani vi sottopongo quattro giochini, chi ne risolve almeno tre riceverà il libro in regalo. Affare fatto!

E venne il giorno dopo. Al riparo del classico ombrellone sono partito con i quiz. Ecco il primo.

1. I bicchieri

Su un tavolo vi sono 147 bicchieri. Uno contiene veleno. Gli altri 146 acqua. Per individuare dove sia il veleno non è necessario analizzare il contenuto di tutti i bicchieri. C'è un metodo che consente di raggiungere l'obiettivo eseguendo al più 8 analisi. Qual è?

Il primo a rinunciare è stato Elio, ottimo medico ma assai poco incline ai giochini matematici. Di fronte alle analisi lui sa fare una sola cosa: spedire i campioni al laboratorio biologico. Così se ne è andato a fare un giretto con il suo preistorico gozzetto. E io sono passato al secondo quiz.

2. Le ragazze

Un ragazzo abita a Mergellina, nei pressi della stazione della metropolitana. E ha due ragazze, egualmente amate. La prima, Gina, abita a Fuorigrotta; l'altra, Pina, a piazza Cavour. Poiché non sa scegliere tra le due si affida al caso. Arriva in un orario casuale in stazione e sale sul primo treno che passa. Il treno per Fuorigrotta passa ogni dieci minuti. Così pure quello per piazza Cavour. Eppure in media il ragazzo su dieci volte vede nove volte Pina e una Gina. Come si può spiegare il fenomeno?

A questo punto altri hanno rinunciato. Tra di loro Alberto, che pur di non ammettere la sconfitta si è rifugiato in improbabili scuse: "Uso sempre la Vespa, mai la metropolitana. E poi nella mia vita c'è una sola donna...". E si è affidato ai flutti, con il suo scalcagnato gommoncino e la sua unica donna. Tra i superstiti c'era ancora Marco, noto giornalista napoletano, che si diverte da morire "a non saper risolvere" problemini di probabilità. Così gliene ho dedicato uno. Ricordando che a ragionare con le probabilità bisogna andarci cauti.

3. Le carte

Giovanni ed Enzo giocano con quattro carte, due rosse e due nere. Giovanni, dopo averle mescolate, le dispone coperte sul tavolo. Quindi ciascuno sceglie una carta. E la tiene accuratamente nascosta. Giovanni scommette che le due carte sono dello stesso colore. Enzo ci pensa su e accetta la scommessa. Così ragiona Giovanni: "Ci sono tre casi ugualmente probabili. Le carte possono essere o entrambe rosse, o entrambe nere o di colore diverso. Pertanto la probabilità che siano dello stesso colore è 2/3". Enzo invece ragiona così: "Ci sono quattro casi ugualmente probabili. Le carte possono essere tutte e due rosse, tutte e due nere, la prima rossa e la seconda nera, oppure la prima nera e la seconda nera. Quindi la probabilità che le due carte siano dello stesso colore è due su quattro ovvero 1/2". Quale ragionamento è giusto? O sono entrambi sbagliati?

Marco ci sta ancora pensando! Per risolvere un quesito che ha dissolto la residua compagnia.

4. Lanciare i dadi

È più probabile avere almeno un 6 lanciando quattro volte un dado o avere almeno una volta il doppio 6 lanciando ventiquattro volte due dadi?

Forse con 40 gradi all'ombra non è umano chiedere di risolvere questi problemi, e poi non vorrei passare per spilorcio. Uno che per non regalare una decina di libri è andato a saccheggiare Gardner e il Progetto Polymath.

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Pagina 67

I1 caso non è solo fonte di speranze e di delusioni, come nel gioco del lotto o nella roulette. È di estrema utilità in molti campi della scienza, laddove è necessario simulare risultati di un fenomeno che non si è in grado di valutare direttamente. L'efficacia della simulazione si fonda sulla possibilità di generare sequenze di numeri casuali.

Se lanciamo per tre volte un dado generiamo una sequenza casuale. Ma lo scienziato non può generare sequenze casuali con i dadi, o estraendo carte da un mazzo. Pertanto si ricorre ai calcolatori. E qui casca l'asino. Può un calcolatore generare sequenze di numeri casuali? Esso applica una formula, un procedimento complesso, sofisticato, ma pur sempre un procedimento.

E se conosciamo la regola con cui si produce la sequenza, questa, stricto iure, non è più casuale, per il semplice motivo che "l'apparizione" di un numero può essere prevista. Consideriamo la sequenza a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Viene da dire che non è casuale, dato che si capisce subito quale è la regola: "Scrivere in ordine crescente i numeri da 1 a 9".

Se invece consideriamo la sequenza b) 4, 5, 4, 9, 7, 5, 6, 6, 5, si è tentati di considerarla casuale perché la regola che l'ha prodotta non è immediatamente riconoscibile. Eppure la regola c'è, e consiste nel prendere i numeri della sequenza a), contare le lettere dell'alfabeto che compongono ogni singola cifra (1 = tre lettere, ... 4 = sette lettere...) e sommare al risultato alternativamente 1 e 2. Dunque la sequenza b) non è casuale. Ma allora l'essere o non essere casuale di una sequenza è un fatto soggettivo, legato al possesso dell'informazione sulla regola usata? O all'acume matematico necessario a coglierla? Può mai essere accettabile che ciò che è casuale per Tizio non lo sia per Caio? Nella riflessione scientifica, come osserva Martin Gardner nel suo Carnevale matematico, il caso fa la sua apparizione nell'Ottocento: l'entropia che misura il disordine (risultato del caso), l'evoluzionismo con la selezione casuale, la meccanica quantistica con l'indeterminismo casuale ("Dio non gioca a dadi"). Sui numeri casuali hanno riflettuto molti grandi scienziati, da Karl Popper a John von Neumann ad Alan Turing. Per Richard von Mises una sequenza di numeri è casuale se non vi sono regole che possano essere utilizzate per migliorare le previsioni circa il numero successivo. Il criterio di von Mises va in crisi di fronte al caso di sequenze infinite. Per esempio, se appaiono in successione 1, 2, 1, 2, 1, 2... per mille miliardi di miliardi di volte e poi compare 3 la sequenza è casuale. E come si controlla in pratica questo tipo di casualità? Quante verifiche occorre fare? Una strada può essere: poiché i numeri casuali sono equiprobabili (come 1, 2, ... 6 nel lancio di un dado) è necessario fare dei test per verificare che tale proprietà sussista. E questi test in matematica esistono.

Sant'Agostino (citato in Luciano Cresci, I numeri celebri ) attribuiva il caso alla volontà di Dio: «Sors non est aliquid mali, sed res; in humana dubitatione, divinam indicans voluntatem».

Una bella definizione di numero casuale è la seguente: "Un numero è casuale quando codifica una quantità infinita di informazioni". In altri termini, per inviare un messaggio sms che descrive una lista di numeri casuali devo scriverli uno a uno. Non posso sintetizzare il messaggio in alcun modo.

Von Neumann mise a punto una procedura molto semplice per generare sequenze di numeri casuali. Elevare un numero abbastanza grande al quadrato, prenderne le cifre centrali, elevare di nuovo al quadrato, prenderne le cifre centrali e così via. Ogni metodo, però, nasconde un'insidia. Il metodo di von Neumann non funziona con il numero 3792: elevato al quadrato dà 14379264, le cui cifre centrali sono ancora 3792. Oggi sono disponibili generatori di numeri casuali (cioè regole, algoritmi) molto sofisticati. Le sequenze di numeri generate da un calcolatore, dunque, sono frutto dell'applicazione di regole molto ingegnose, ma poiché non garantiscono l'assoluta causalità le sequenze generate sono dette "pseudocasuali".

Insomma, sembra che il caso sia dappertutto. Nell'universo, nella natura, nella nostra vita. Eppure è quasi impossibile generarlo artificialmente. Forse, questo non è un caso.

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Pagina 81

Agosto a Procida. Chi arriva su quest'isola non ama il palcoscenico, l'esibizione, il chiasso, gli scherzi gridati. Di giorno un po' di mare, tra un'insenatura e l'altra. Una tirata con la vela di Arcangelo, grande marinaio, o un giro sul gozzetto di Elio, vera autorità dell'isola. Elio è delegato all'accoglienza di ogni nuovo arrivato e all'assistenza di ogni villeggiante bisognoso. Cerchi casa? Lo chiami. Ti serve un motorino? Te lo procura. Vuoi mangiare pesce fresco? Lo va a pescare e poi lo cucina pure...

Di sera una cenetta alla Corricella, il più bel villaggio di pescatori del Mediterraneo. E ancora puoi godere delle dotte illustrazioni della storia dell'isola del presidente Schiano. A fare da amalgama la proverbiale e raffinata ospitalità di Michele Scudiero e le insuperabili serate nel giardino di Ferdinando Russo. Certo non manca qualche tipetto in rosa shocking... ma glissons. Proprio Ferdinando mi ha dato lo spunto per queste pagine. "Guido, perché non scrivi una cosa sul superenalotto? Mi farebbe piacere capire se è ragionevole giocare." Si può dire di no a Ferdinando? Quindi ci provo. Anche se il meccanismo è un po' complicato. Prima del superenalotto va introdotto un concetto, quello di probabilità condizionata: la probabilità di un evento A condizionato all'evento B – che si indica con P(A/B) – è la probabilità che si verifichi l'evento A supponendo che si verifichi l'evento B. È noto che (almeno in determinate condizioni) la probabilità dell'evento A condizionato all'evento B è uguale alla probabilità dell'evento A divisa per la probabilità dell'evento B. In formula:

Un esempio facile facile. Voglio calcolare la probabilità che lanciando un dado esca 3. Tutti sanno che è P(3) = 1/6. E se lanciato il dado qualcuno mi informa che è uscito un numero dispari? Ovviamente le probabilità che esca 3 ora sono cambiate. La probabilità di 3 va calcolata solo sui numeri dispari del dado. Dunque è uguale a 1/3. Ciò si ricava facilmente dalla formula.

Posto P(A) = "probabilità che esca 3" = 1/6,

e P(B) = "probabilità che esca un numero dispari" = 1/2 ,

allora P(A/B) = P(A)/P(B) = (1/6)/(1/2) = 1/3.

Analogamente se conosciamo P(A/B) e P(B) possiamo calcolare P(A). Ed è proprio quello che faremo per il problema del superenalotto. Esso prevede cinque diverse tipologie di giocate. Esaminiamone una sola, la più attraente perché più difficile da realizzare. Chi gioca deve indicare sei numeri al fine di indovinare una sestina che potrebbe anche non esistere (non scherzo è proprio così). Per costruire la sestina che lo scommettitore deve individuare si procede come segue. Intanto si tiene conto delle estrazioni sulle ruote di Bari, Firenze, Milano, Napoli, Palermo, Roma. Il primo numero della sestina è il primo estratto sulla ruota di Bari. Se accade che il primo estratto di Firenze coincide con quello di Bari, allora sulla ruota di Firenze si sceglie il secondo estratto. Così se il primo estratto sulla ruota di Mi- lano coincide con uno dei due numeri precedenti si passa al secondo estratto. Se anche questo coincide con uno dei due numeri precedenti si passa al terzo estratto. Procedendo così fino alla ruota di Palermo si arriva a costruire una cinquina. Per esempio: 7, 45, 39, 58, 81. Se, per caso, la cinquina estratta a Roma coincide proprio con 7, 45, 39, 58, 81 allora non è possibile comporre la sestina. E il montepremi viene sommato a quello della settimana successiva.

Fatta questa premessa vediamo qual è la probabilità di "fare 6 al superenalotto". Il modo corretto di procedere è il seguente. Si indica con A l'evento "il giocatore indovina la sestina" e con B l'evento "è stato possibile costruire la sestina". Si applica a questo punto la formula della probabilità condizionata vista prima:

Calcolare P(A/B) (cioè la probabilità di azzeccare una sestina a condizione che sia stato possibile costruirla) e P(B) non è molto complicato. Serve soltanto una formuletta. Che si impara al primo anno di matematica, di fisica, di chimica... Nel gioco del lotto il numero delle possibili combinazioni di sei numeri è :

Se al posto di 6 metti 5 trovi il numero delle possibili cinquine, se metti 4 quello delle quaterne, e così via. Pertanto il numero delle possibili sestine è 622.614.630. La probabilità di indovinare una data sestina è allora 1/622.614.630. Cioè circa 1,6061299427 x (10)^-9. Questa è P(A/B), cioè la probabilità di azzeccare una sestina a condizione che sia stato possibile costruirla. Usando la stessa formuletta si può calcolare che P(B) = 0,999999977. Applicando la formula della probabilità condizionata per avere P(A) non resta che fare la moltiplicazione P(A/B) x P(B). Arrotondando si trova P(A) = 1,6061299057 x (10)^-9 che è la probabilità di fare 6 al superenalotto.

Caro Ferdinando, la probabilità di vincere al superenalotto è davvero molto bassa. E quasi più facile che un cammello passi per la cruna di un ago...

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