TecaLibri: Dario De Toffoli: Numeri

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PROLOGO

Sui tavolieri, con le carte, con le parole: mi è sempre piaciuto giocare e occuparmi di giochi, tanto che del gioco ho fatto la mia attività, abbandonando venticinque anni fa - e con grandissima soddisfazione - la mia promettente professione "regolare". Un posto di riguardo nel mio cuore lo hanno sempre avuto i rompicapo matematici. Fin da ragazzo, ben prima di scoprire l'esistenza di quel vasto, variegato e regolato universo dei giochi che poi mi ha definitivamente catturato, sono stato incuriosito dalle stimolanti pagine di Martin Gardner, mi sono divertito a trovare soluzioni alternative agli enigmi che mi venivano proposti, sono stato attratto dai numeri.

Se alla "matematica ricreativa" cominciava a venir riconosciuta dignità culturale, buona parte del merito va attribuito proprio all'opera divulgativa di Gardner, che per circa trent'anni curò la rubrica di "Mathematical Games" sulla prestigiosa rivista Scientific American, raccogliendo poi i suoi scritti nei mitici Giochi ed enigmi matematici (voll. I-V, Sansoni, 1967-1976).

Non è dunque un caso che la mia prima rubrica giornalistica si intitolasse proprio "Matematicamente logico". Mi sono divertito a curarla, dal 1983 al 1986, nella gloriosa ControMossa, la rivista considerata, assieme a Pergioco, artefice e al tempo stesso testimone dell'età "eroica" del gioco in Italia. ControMossa era la rivista dell'Arci Dama/Scacchi, ma dal finire del 1982 ospitò anche articoli su altri giochi. Dal 1983 divenne una vera rivista di giochi, ampliando il panorama degli argomenti. Anima della trasformazione fu Sebastiano Izzo, uno dei personaggi che maggiormente ha contribuito al diffondersi della cultura ludica in Italia. In redazione con lui c'erano Piero Zama ed Ennio Peres.

Comunque sia, la matematica ricreativa veniva pur sempre trattata come una bizzarria un po' elitaria: quando solo accennavo a concetti come "palestra per la mente" o "allenamento per il cervello" ottenevo in risposta benevoli sorrisetti.

Le cose hanno cominciato a cambiare verso la fine del secolo (a proposito di secolo, prendete una matita e scrivete qui a margine la data dell'ultimo giorno del XX secolo, poi ne riparleremo). Piano piano si diffondeva la consapevolezza che anche il cervello, così come il corpo, va tenuto in allenamento e che i giochi (e in particolare i giochi logico-matematici) potevano essere l'attrezzo ideale per tenersi in esercizio.

Il secolo scorso è stato caratterizzato dalla diffusione, per certi versi abnorme, dei giochi del fisico (sport) come fenomeno sia di massa che agonistico-spettacolare. Questo secolo potrebbe conoscere un paragonabile sviluppo delle attività ricreativo-sportive per la mente. Con questa ben chiara idea di fondo nacquero nel 1997 le "Mind Sports Olympiad", una manifestazione pionieristica che si svolge annualmente in Inghilterra proponendo un centinaio di competizioni nelle più disparate discipline mentali.

Vedremo.

Intanto i primi timidi segnali sono diventati una vera e propria tendenza, trainata e alimentata dal boom mondiale del Sudoku del 2005 (e pensare che il Sudoku c'era in Italia dal 1981, e nessuno se n'era accorto). Ormai il "brain training" lo praticano anche le casalinghe di Voghera e le iniziative editoriali sulla matematica ricreativa sono innumerevoli, anche in lingua italiana. Improbo - e fuori dai nostri scopi - darne un serio e completo riscontro bibliografico.

Contemporaneamente anche la matematica (tutta la matematica, non solo quella ricreativa) sta conoscendo un trend positivo senza precedenti, impensabile solo pochi anni fa.

Decine di migliaia di partecipanti al Festival della Matematica all'Auditorium della musica di Roma, tra lo stupore degli stessi relatori, che mai avevano visto simili folle alle loro conferenze.

Il matematico (impertinente e impenitente) Piergiorgio Odifreddi sbanca in libreria e diventa un personaggio famoso, tra i più gettonati ospiti della tivù. Ci sono serial televisivi dedicati alla matematica, penso naturalmente a Numb3rs, e altri in cui i numeri rivestono un ruolo comunque importante, come Lost, di cui parliamo nelle "divagazioni".

Assistiamo ad un fiorire di pubblicazioni divulgative a tutti i livelli.

Si diffondono nelle scuole e fuori delle scuole vere e proprie "gare di matematica", sia nazionali che internazionali. I concorrenti vengono divisi per fasce di età e devono risolvere una serie di problemi in un tempo stabilito. È il punto di incontro fra la matematica ufficiale e la matematica ricreativa. Ci sono le Olimpiadi della Matematica (dominate, guarda caso, dai cinesi) e ci sono i Campionati Internazionali di Giochi matematici, le cui selezioni italiane sono organizzate dal Centro Pristem dell'Università Bocconi e coinvolgono oltre 25.000 ragazzi e adulti. Il bello è che gli italiani hanno sempre ottenuto ottimi risultati alle finali che si svolgono in agosto a Parigi: c'è davvero di che andarne fieri. Magari parte del merito va ascritto agli allenamenti che si svolgono ogni anno verso fine luglio a Caldè (sul Lago Maggiore) nel corso della simpaticissima manifestazione "Tutto è Numero", organizzata da Nando Geromini.

Insomma c'è fermento e lo testimonia il successo internazionale in libreria del nuovo filone della narrativa a sfondo matematico, spesso opera di autorevoli matematici. La scelta è vasta e il livello letterario di tutto rispetto, c'è anche la possibilità di optare per titoli più o meno impegnativi, in ragione delle proprie conoscenze. È una grande nuova opportunità per coniugare il piacere della lettura con la passione per la matematica. Vale davvero la pena ricordarne alcuni titoli. Il mago dei numeri (Einaudi, 1997) di Hans Magnus Enzensberger è la miglior opera divulgativa che io abbia letto, adatta non solo ai ragazzini, ma anche a molti adulti che si "vantano" di non capir nulla di matematica (voi lo sapevate, vero, che tra un numero e il suo doppio c'è sempre un numero primo...). Con grazia sono trattati molti dei temi fondamentali della matematica, in particolare dell'aritmetica. La scoperta dello straordinario mondo dei numeri da parte di un ragazzo che odiava la matematica, avviene sotto la guida di un simpatico e imprevedibile diavoletto, e infatti il titolo originale tedesco è Der Zahlenteufel, che sarebbe il "diavolo dei numeri", più che il mago.

Si entra nel magico Oriente con L'uomo che sapeva contare (Salani, 1996) di Malba Tahan: una storia incantata, per penetrare il segreto dei numeri e i loro legami con i problemi filosofici e morali dell'uomo. Il teorema del pappagallo (Tea, 1998) di Denis Guedj si presenta come un giallo, ma il giallo che fa da sfondo è solo una scusa per raccontare con garbo e semplicità la storia della matematica attraverso l'incontro con tanti tanti matematici di tutti i tempi. Non è richiesta alcuna specifica competenza, ma può piacere anche agli addetti ai lavori.

Mark Haddon ne Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte (Einaudi, 2003) ci mostra il mondo attraverso gli occhi di un ragazzino problematico: nella finzione narrativa è proprio il piccolo protagonista a scrivere il libro e lo fa mettendo in risalto ciò che più gli piace, per esempio la matematica. Particolare curioso, i capitoli non seguono la sequenza dei numeri naturali, ma dei numeri primi. C'è anche qualche cenno di quel calcolo mentale che sarà approfondito nella seconda parte di questo libro, per esempio calcolare al volo 251x864 (864x1.000:4+864). Nel complesso una lettura facile, godibile e coinvolgente.

Claudio Bartocci ha raccolto nei Racconti matematici (Einaudi, 2006) alcune fra le migliori opere brevi della letteratura mondiale a sfondo matematico. Si gioca con gli infiniti di Cantor (affronteremo l'argomento nel capitolo "Dal numero all'infinito") sia ne L'hotel straordinario di Stanislaw Lem (con aleph zero stanze, l'hotel riesce a ospitare tutti gli infiniti ospiti di infiniti hotel similari), sia ne Il libro di sabbia di Jorge Luis Borges (il volume ha un numero di pagine pari ad aleph zero, non ha inizio né fine e la numerazione appare casuale: "Pensai al fuoco, ma ebbi paura che la combustione di un libro infinito fosse altrettanto infinita e soffocasse il pianeta in fumo."). In Nove volte sette, tipico racconto di Isaac Asimov, viene riscoperta la possibilità di far di conto a mano (persa a favore delle macchine): sarà usata per fini bellici. Quanto scommettiamo, di Italo Calvino, demolisce con straordinaria leggerezza il cosiddetto "demone di Laplace": l'esilarante gioco di scommesse fra le due entità precedenti l'origine dell'universo Qfwfq e Decano(k)yK lo porta alle estreme conseguenze e ne rivela l'inapplicabilità. In Eupompo diede lustro all'Arte mediante i numeri, Aldous Huxley ci presenta il contare fine a se stesso, elevato a scopo.

Concludiamo questa mini-rassegna con un'opera per certi versi eccezionale, L'enigma dei numeri primi (BUR, 2003) di Marcus du Sautoy, un libro che riesce ad essere, oltre che profondo, anche appassionante. Adatto ai lettori un po' più smaliziati, racconta un sacco di cose che vanno ben oltre l'inquietante storia della comprensione dei numeri primi. Si intravede la grandezza di tanti matematici (Gauss, Eulero, ecc.) e se ne conosce un po' la vita. Si soffre per gli appunti di Riemann bruciati dalla sua governante. Ci si interessa ai propositi di Hardy per l'anno nuovo. Ci si appassiona alla dimostrazione di Erdos per trovare n numeri interi consecutivi che non siano primi. Eccola. (n+1)! è divisibile per tutti i numeri da 1 a n. Se aggiungo uno qualsiasi dei numeri da 1 a n a (n+1)!, il numero che ne risulta sarà divisibile per n, perché entrambi gli addendi lo sono. Dunque tutti i gli n numeri da (n+1)!+2 a (n+1)!+(n+1) non sono primi. Ci si fa un'idea sul tanto citato e poco conosciuto Teorema di Gödel, che ha distrutto la convinzione di Hilbert che in matematica non ci sia nulla di inconoscibile. Incredibile coincidenza: nel 1930 Hilbert teneva il suo discorso mentre riceveva la cittadinanza di Königsberg e lo terminava con un trionfale "Wir müssen wissen. Wir werden wissen" (Noi dobbiamo sapere. Noi sapremo). Ma solo 24 ore prima, proprio a Königsberg il venticinquenne Gödel aveva espresso le teorie che l'avrebbero smentito! Mi fermo qui, ma si potrebbe continuare a lungo, con tanti altri entusiasmanti titoli.

Di tutto questo, del nuovo sorprendente trend positivo della matematica, che speriamo comporti una crescita quantitativa e qualitativa delle conoscenze matematiche dei nostri studenti, discutevo lo scorso anno con Marcello Baraghini e Angelo Leone, in occasione della Fiera del libro di Torino. La loro casa editrice, Stampa Alternativa, già si era mostrata sensibile ai temi della matematica ricreativa, pubblicando Cibo per la mente I e Cibo per la mente II (Dario De Toffoli e Dario Zaccariotto, 2004 e 2005) ed ora era il momento di un nuovo progetto.

Ho abboccato subito, per me era come un invito a nozze, così ho proposto un'idea che si discosta dai consueti canoni della matematica ricreativa, un volume dedicato specificamente ai numeri, un incrocio fra un testo divulgativo e uno di giochi matematici.

Fatto salire a bordo quell'impareggiabile giocherellone di Dario Zaccariotto, che si è subito entusiasmato cominciando a punzecchiarmi con improbabili numeri di cui calcolare al volo i quadrati, e convinta la giovane Margot De Rosa a darci una mano, abbiamo deliberatamente progettato un prodotto insolito, trasversale, incentrato sui numeri, ma che li interpreta a nostro modo. Naturalmente un libro di giochi: come avrebbe potuto essere diversamente? Ma non solo. Abbiamo concepito un bel po' di "divagazioni", osservazioni sui numeri, che ci parevano utili e interessanti. E per completare la disomogenea omogeneità dell'opera, abbiamo anche pensato che poteva essere la volta buona per parlare di quella misconosciuta disciplina che va sotto il nome di "calcolo mentale".

Il risultato è Numeri, il libro che tenete nelle mani.

Ma prima di passare al libro vero e proprio, rimane un'ultima cosa di cui parlare. I numeri sono i protagonisti di questo volume: oggi sono un'entità del tutto acquisita dalla nostra cultura, ma... da dove vengono? Per dare qualche prima parziale risposta, ripercorriamo brevemente assieme alcuni tratti della loro storia, poche noterelle senza nessuna pretesa di esaustività. Per chi si incuriosisse e volesse approfondire qualsiasi questione concernete la storia delle cifre e del calcolo, l'opera di riferimento, completa e dettagliata è Histoire universelle des chiffres di Georges Ifrah (Robert Laffont, 1994), di prossima pubblicazione in Italia col titolo di Enciclopedia Universale dei numeri (Mondadori, 2008).

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Una notazione posizionale senza l'uso dello zero è stata usata in India fin dal VI secolo, mentre le prime evidenze dello zero come cifra decimale risalgono al IX secolo (lo si scriveva come un punto). Il sistema di numerazione indiano a base 10 raggiunse l'Europa con gli arabi attraverso la penisola Iberica ed è per questo che le nostre cifre sono note come "numeri arabi".

Fu però Leonardo da Pisa, conosciuto come Fibonacci, a far conoscere in Occidente i numeri come li conosciamo oggi. Ne scrisse nel suo Liber Abaci, pubblicato nel 1202:

«Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur.»

Egli tradusse in zephirum l'arabo sifr e da queste parole discendono sia zero (con zevero come passaggio intermedio) sia cifra.

Il grande vantaggio del sistema posizionale è evidente quando facciamo dei calcoli. Infatti i romani per fare di conto utilizzavano l'abaco, con carta e penna era praticamente impossibile. Inoltre con il loro sistema di numerazione riuscivano a scrivere solo numeri naturali e non fino all'infinito.

Insomma la storia dei numeri è lunga e travagliata e il nostro modo di esprimerli, che ci sembra del tutto naturale, è il prodotto di secoli di evoluzione.

SU QUESTO LIBRO

Bene, è ora di entrare nel dettaglio di Numeri. Il volume è un viaggio alla scoperta del mondo dei numeri, esplorato da diverse angolazioni.

Si inizia dalla parte meno ludica, una serie di divagazioni che mettono in luce aspetti noti e meno noti del serio mondo dei numeri, simpatiche curiosità, contaminazioni con la moderna fiction. Tra gli innumerevoli (!) possibili argomenti, ne abbiamo scelti alcuni, a nostro soggettivo gusto. Speriamo che siano di un qualche interesse anche per voi.

Nei nostri giochi si maneggiano in modo quasi esclusivo i numeri naturali, con al più qualche incursione nei numeri negativi; per i nostri calcoli, abbiamo invece bisogno anche dei numeri frazionari. Ma di numeri ce ne sono anche di irrazionali, di immaginari... La prima divagazione è dunque una sorta di riepilogo dei vari "insiemi numerici", giusto in caso qualcuno avesse qualche confusione nei suoi ricordi scolastici.

Si passa poi ad un approfondimento sul numero 2, affrontato con un'ottica insolita e stimolante, seguito da qualche curiosità sui numeri "perfetti" e sui numeri "figurati".

Dal numero, il ragionamento si sposta poi all'infinito (o agli infiniti infiniti), concetti importanti, che danno le vertigini, entrati a pieno titolo nella matematica solo sul finire dell'Ottocento, che noi proviamo a raccontarvi in modo quanto più possibile discorsivo, per stimolare la vostra curiosità. Magari vi vien voglia di approfondire e potete leggervi L'infinito (Editori Riuniti, 1981) di Lucio Lombardo Radice, ottimo per un primo approccio all'idea di infinito, non solo in matematica, ma anche in filosofia (occidentale): si parte da Pitagora per arrivare a Cantor e sono anche trattati ampiamente i problemi legati ai vari paradossi antichi e moderni. Chiaro e semplice, ma interessante e mai banale. La Breve storia dell'infinito (Adelphi, 1980) di Paolo Zellini è invece adatto a chi vuole approfondire gli aspetti storico filosofici concernenti l'infinito: partendo da Aristotele, vengono delineate le varie tappe fondamentali che conducono alle idee riguardanti l'infinito proprie delle matematiche del Novecento.

Chiusa la parentesi sull'infinito, si ritorna pesantemente sulla terra col capitolo sulla "prova del 9". Tutti la conoscono (o l'hanno conosciuta a scuola), ma pochi ne comprendono il funzionamento e si rendono conto della matematica che c'è dietro: è l'occasione buona per colmare la lacuna.

Certo di questioni interessanti sui numeri ce n'erano anche tante altre, ma noi abbiamo scelto questi argomenti e magari voi potete approfondirne altri. Se avete una certa familiarità con le matematiche di base potete per esempio leggervi le lezioni tenute da Ettore Carruccio all'università di Bologna e raccolte da Bruno D'Amore in Matematiche elementari da un punto di vista superiore (Pitagora, 1972). Vengono sviluppati vari aspetti della logica matematica, dalla definizione dei numeri agli infiniti di Cantor; interessante anche dal punto di vista storico, specie per il modo rigoroso con cui vengono trattati i problemi classici dell'antica Grecia. Per concludere le divagazioni, ci siamo divertiti a preparare tre piccole e inconsuete "schede", su un serial tivù, un libro e un film: naturalmente ci sono numeri che giocano un ruolo di primo piano o hanno un particolare significato nell'intreccio della trama.

Dalle divagazioni si passa ai calcoli. Eh sì, siamo gente un po' strana, d'accordo. Tanto a me quanto a Zaccariotto fare i calcoli piace, ci dà soddisfazione trovare il risultato. E se il calcolo lo abbiamo fatto a mente la soddisfazione è ancora più grande.

Però in giro per il mondo c'è gente ancora più strana di noi, che del "calcolo mentale" ha fatto una vera e propria disciplina agonistica. Io li ho incontrati e vi garantisco che fanno paura.

Senza arrivare agli eccessi di questi campioni, l'occasione di questo libro ci è parsa quella giusta per raccontare alcune delle tecniche che si usano per fare i calcoli a mente, per provare a convincere chi si impietrisce davanti a un'operazione, che non c'è motivo di spaventarsi, che il calcolo può essere risolto in modo assai più semplice di quanto si possa pensare.

È il nostro personale tributo ai numeri, raccontare che far di conto può essere bello in sè, che si tratta di una vera e propria attività ludica, un delizioso passatempo mentale.

Dunque, dissertazioni sulle tecniche del calcolo mentale: addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, fattori primi, frazioni, quadrati, cubi, radici, sempre però partendo dai casi più semplici, adatti davvero a tutti, per arrivare anche a spiegare – se mai ci fosse qualche interessato – in che modo i campioni riescono nelle loro performance, quali sono i loro trucchi. Diciamo che ognuno si può fermare al livello che crede.

Ogni capitolo è corredato da numerosi esercizi di allenamento e alla fine sono proposti veri e propri test per valutare il livello raggiunto.

E siamo ai giochi, la parte più consistente del volume, e non avrebbe potuto essere diversamente: tanti giochi, dei più vari livelli di difficoltà, accomunati da un tema centrale, i numeri.

Forse qualcuno potrebbe immaginare che la parte del leone la faccia il Sudoku, il rompicapo logico che dal 2005 spopola in tutto il mondo. Ma invece di Sudoku in questo libro nemmeno l'ombra. E non solo perché ci sono già troppe pubblicazioni che se ne occupano, ma soprattutto perché il Sudoku non è un gioco di numeri. Ripeto: il Sudoku non è un gioco di numeri. Certo, si usano le cifre da 1 a 9, ma soltanto come simboli. Andrebbero altrettanto bene lettere dell'alfabeto o forme geometriche o qualunque altra serie di 9 simboli. Semplicemente, si usano i numeri perché si va meglio a individuare quali simboli mancano nell'intera sequenza, i numeri sono la sequenza di simboli di cui più facilmente si ricorda l'ordine, molto più facilmente dell'alfabeto: provate.

Dunque niente Sudoku, ma una bella raccolta di rompicapo noti e meno noti (dal Kakuro al Contiamo, dal Crucifreccia al terribile Sukuro). Tutti i giochi sono preceduti da ampie spiegazioni, da consigli tecnici e da esempi completamente risolti. E non è finita qui. Dulcis in fundo, nella terza di copertina è stampato il tavoliere di un gioco inedito per due persone (o due squadre) con a fianco le regole complete: potrete divertirvi a giocarlo con i vostri amici e, guarda caso, si tratta di un gioco numerico!

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LOST

4, 8, 15, 16, 23, 42 è la sequenza di numeri che compare nella serie televisiva Lost. Si tratta delle avventure di un gruppo di superstiti di un incidente aereo, che si ritrovano su un'isoletta del Pacifico.

Questi numeri sembrano essere la causa di varie sventure (tra cui quelle personali di Hurley, uno dei personaggi principali), che si svolgono prima e dopo l'incidente e sono misteriosamente connesse tra loro.

Di questi numeri si percepisce l'importanza, ma il significato sfugge sempre; vengono ricevuti per la prima volta da due militari in una trasmissione radio di origine sconosciuta in una spedizione in mezzo al Pacifico, per poi causare la pazzia di un ascoltatore e il suicidio dell'altro. E proprio Hurley utilizza i numeri che il sopravvissuto continua a mormorare; gli serviranno per vincere alla lotteria, ma inizieranno anche le sue sfortune, fino a che si convincerà che i numeri stessi siano maledetti.

Ma come sono stati scelti questi numeri?

I fan hanno cercato delle spiegazioni e ipotizzato improbabili teorie, spingendosi a volte fino al maniacale, tipo porsi domande su quante volte un personaggio domanda "scusi" in un episodio!

Altri hanno pensato di adottare tecniche di numerologia, accorgendosi tra l'altro che se interpretati come coordinate terrestri (latitudine e longitudine) i numeri indicano un luogo in mezzo al Pacifico...

La versione "ufficiale" appare nel gioco di Lost, realizzato dagli stessi autori della serie. Questi numeri sarebbero la soluzione dell'equazione di Valenzetti atta a calcolare il momento in cui avverrà l'estinzione dell'umanità; l'equazione sarebbe trattata nel primo libro di Troup, che altri non è che un personaggio secondario di Lost.

Si tratta di pura finzione, anche se il fenomeno Lost è talmente grande che i vari personaggi hanno ottenuto identità virtuali al di fuori della serie televisiva: in Internet si trovano riferimenti all'autore Troup, come fosse uno scrittore reale!

Deliri fanatici a parte, la sequenza è scelta bene, contiene numeri matematicamente interessanti.

4 è il primo numero composto che compare nella sequenza dei numeri naturali, 4 = 2+2 = 2x2 è quindi una potenza di 2, come 16 e 8; quest'ultimo fa parte della successione di Fibonacci.

15 è un numero figurato: triangolare e esagonale. Anche 23 e 42 sono dei numeri del tutto particolari.

Nei vari episodi compaiono anche 108 (la somma dei sei numeri) e 7.418.880 (il loro prodotto), ma... non vi sveliamo nulla, per non guastarvi la suspense.

Un altro numero significativo è 815, oltre che essere composto dal secondo e terzo numero della sequenza iniziale, è il numero del volo Oceanic dove si trovano tutti i personaggi nel momento dell'incidente e cercando si possono trovare tanti altri riferimenti, sia nella finzione che nella realtà; per esempio proprio il numero 815 di Entertainment Weekly forniva un dossier su Lost ed è uscito il 15 aprile (2005), cioè il 15 del 4, altri due numeri della serie.

Alla fine chi cerca trova! Se si diventa fanatici, si possono interpretare come coincidenze misteriose fatti assolutamente normali, quindi occhio a non esagerare.

    Lost (serial TV, dal 2004)
    ideato da J.J. Abrams, Damon Lindelof, Jeffrey Lieber
    con Matthew Fox, Evangeline Lilly, Jorge Garcia,
    Terry O'Quinn, Michael Emerson

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KAKURO

Le regole sono semplici:

• i numeri riportati come definizioni rappresentano la somma delle cifre da inserire nelle corrispondenti caselle bianche;

• i numeri nei triangoli inferiori sono le definizioni verticali, quelli nei triangoli superiori le orizzontali;

• si possono usare le cifre dall'1 al 9 e in ogni risposta una cifra può comparire una sola volta.

Il Kakuro è un rompicapo numerico divenuto abbastanza popolare dal 2006, sull'onda del successo del Sudoku. In realtà era già arrivato in Italia all'inizio degli anni Ottanta, col nome di Crucisomme sulle pagine della rivista Cruciverba e Passatempi. Il Kakuro è il gioco cui dedichiamo il maggior numero di pagine, perché ci sembra quello che meglio rappresenta lo spirito di questo libro: giocare con i numeri. Mentre nel Sudoku i numeri sono usati semplicemente come simboli facilmente ordinabili (non c'è alcun calcolo da fare), nel Kakuro i numeri si usano per davvero, sono il gioco stesso.

Cominciamo con l'affrontare un semplicissimo mini-schema, per capire quali tipi di ragionamento sono coinvolti.

Incrocio del 3 col 4: il 3 è la somma di 1 e 2, il 4 è la somma di 1 e 3, dunque l'1 va nella casella comune: 1+2 per il 3 e 1+3 per il 4. Incrocio del 17 coll'11: il 17 è la somma di 8 e 9; il 9 non può stare nell'incrocio con l'11 perché gli altri due numeri dell'11 dovrebbero dare somma 2, e ciò non è possibile; dunque 9+8 per il 17. Le altre due cifre dell'11 devono essere 1 e 2, ma il 2 non può stare nella prima casella perché già compare nell'incrocio con il 10. Dunque per l'11 abbiamo 1+2+8.

10 (verticale): il 10 in 4 caselle può essere solo composto da 1, 2, 3 e 4; 1 e 2 sono già posizionati, il 3 non può andare nella seconda casella perché è già presente nel 21 che incrocia, pertanto il 10 deve essere 2+4+1+3.

Il meccanismo di soluzione appare dunque chiaro: si cercano le posizioni dove c'è una somma "univoca", fatta cioè essere necessariamente con certi addendi (per esempio il 3 in due caselle può essere solo composto 1+2, o il 17 in due caselle può essere solo 8+9), e si prova a capire come posizionare questi addendi.

Evidentemente non tutte le somme proposte saranno univoche, ma è molto utile riconoscere subito se una somma è univoca o meno e la seguente tabella, che riassume tutte le possibili somme univoche, può certo aiutare.

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LEWIS CARROLL

Il diacono anglicano Charles Lutwige Dogdson, nasce a Daresbury (vicino Manchester in Inghilterra) il 27 gennaio 1832. Nella sua vita è matematico e giocatore: nel 1856 il giocatore prende il nome di Lewis Carroll. Il matematico è un noioso insegnante al Church College di Oxford, che scrive libri (di scarso rilievo) su Euclide, il giocatore è un appassionato di prestidigitazione e di teatro di burattini e la combinazione dei due dà vita ad un vulcano di idee.

Nella sua attenzione alle piccole cose si pone a risolvere i problemi quotidiani, inventa così (tra l'altro) un sistema mnemonico per i numeri, la carta stradale pieghevole, la scacchiera da viaggio con i pioli, un sistema di codifica delle lettere, una scala di misurazione di cartone per liquori, uno sterzo aerodinamico per triciclo, il nastro biadesivo, un progetto per controllare il traffico a Covent Garden, un metodo per assegnare i premi nei tornei di tennis e una procedura elettorale. Carroll ha anche il tempo di occuparsi di fotografia, risultando noto pioniere ed eccellente ritrattista; inoltre inventa giochi da tavolo (il Lanrick), di carte (il Court Circular), di parole (Doublets, Syzygies, Mish-mash), varianti del Backgammon e del Croquet, fa costruire un biliardo circolare, ecc. ecc.

Non minore è stato l'aiuto che Dogdson ha dato a Carroll nella scrittura dei suoi libri, o nel fare divertire le sue piccole amiche. Lewis Carroll è l'autore di Alice nel Paese delle Meraviglie e Attraverso lo specchio, più altri libri di racconti e di poesie in cui fa spicco il gioco e il nonsense. Gioco e nonsense che Carroll usa in modo dirompente contro la pedagogia contemporanea. Carroll ha un'enorme antipatia verso la mania didattica dei suoi tempi di inculcare con racconti, filastrocche e poesiole debitamente fornite di morale, idee e strutture mentali "vittoriane" ai bambini; un esempio di collegamento tra narrazione e matematica è quando la protagonista dice: "Proverò a vedere se so ancora tutte le cose che sapevo prima. Allora: quattro per cinque fa dodici, e quattro per sei fa tredici, e quattro per sette fa... oh, povera me! Non arriverò mai a venti di questo passo!"

Come interpretereste questa frase? Tenete conto che nel mondo di Alice non dovete pensare nel modo usuale, nella fattispecie è il nostro sistema di far di conto che dovete scordarvi... Però attenzione, questa storiella l'abbiamo proposta più per curiosità, che per indurvi a cercare un'interpretazione. Il nostro consiglio è di non rompervi (inutilmente) la testa e di andare subito a leggere la spiegazione, che è talmente astrusa che per un secolo nessuno aveva supposto potesse esserci... nemmeno Martin Gardner!

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